合肥市2020 年高三第二次教学质量检测数学理科试题（附参考答案）

高三数学试题 理科 答案 第 1 页 共 4 页 合肥市2020 年高三第二次教学质量检测 数学试题 理科 参考答案及评分标准 一 选择题 本大题共12小题 每小题5分 共60分 一 选择题 本大题共12小题 每小题5分 共60分 二 填空题 本大题共4小题 每小题5分 共20分 二 填空题 本大题共4小题 每小题5分 共20分 13 1 14 3 8 15 2yx 16 2 51 2 第一空2分 第二空3分 三 解答题 本大题共6小题 满分70分 17 本小题满分12分 三 解答题 本大题共6小题 满分70分 17 本小题满分12分 解 1 设 n a的公差为d 由 2 1a 7 14S 得 1 1 1 72114 ad ad 解得 1 11 22 ad 所以 2 n n a 2 1 22 123 22 n n nn n b bbb 1 2 1231 2 n n n b bbb 2n 两式相除得2n n b 2n 当1n 时 1 2b 适合上式 2n n b 5分 2 cos2 cos 2 n nnn n cba 234212 2 21 3 2cos2 cos2 cos2 cos 22cos2cos 222 nn n n Tn 2462 2462 2 cos2 cos 22 cos 32cos 222 1 2 n nn n 1 4 14 44 145 n n 12分 18 本小题满分12分 18 本小题满分12分 解 1 CDAB 理由如下 连结CD 分别取AFBE 的中点MN 连结DMCNMN 由图 1 可得 ADF 与BCE 都是等腰直 角三角形且全等 则DMAF CNBE DMCN 如图 平面ADF 平面ABEF 交线为AF DM 平面ADF DMAF DM 平面ABEF 同理得 CN 平面ABEF DMCN 又 DMCN 四边形CDMN为平行四边形 CDMN MN 分别是AFBE 的中点 MNAB CDAB 5分 2 在AB边上取一点P 使得APDF 由图 1 可得 ADFP为正方形 即APFP M为AF的中点 MPMA 由 1 知 MD 平面ABEF MAMPMD 两两垂直 以M点为坐标原点 直线MAMPMD 分别为坐标轴建立空间直角坐标系xyzM 如图 设2AF 则D 0 0 1 A 1 0 0 P 0 1 0 F 1 0 0 FD 1 0 1 FEAP 1 1 0 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B C A D A B D A C D 高三数学试题 理科 答案 第 2 页 共 4 页 设平面DFE的一个法向量为 mxyz 由 0 0 FD m FE m 得 0 0 xz xy 令1x 则11yz m 1 1 1 由平面ADF是坐标平面xMz可得 平面ADF一个法向量为n 0 1 0 设平面ADF与平面DFE所成的锐角二面角为 则 3 coscos 3 m n m n mn 平面ADF与平面DFE所成锐二面角的余弦值为 3 3 12分 19 本小题满分12分 19 本小题满分12分 解 1 设直线l的方程为 1 2 yxm 设A 11 xy B 22 xy 由 22 1 43 1 2 xy yxm 得 22 30 xmxm 则 2 1212 3xxmx xm 由 22 430mm 解得22m 又 点P 3 1 2 在直线l的左上方 21m 若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点 2 F 则 22 0AFBF 即 1122 110 xyxy 化简得 2 74110mm 解得 11 7 m 或1m 舍 直线l的方程为 111 27 yx 5分 2 1212 1212 333131 222222 1111 PAPB yyxmxm kk xxxx 12 11 11 11 m xx 12 1212 2 11 1 xx m xxx x 2 2 11 13 m m mm 2 2 2 10 2 mm mm 直线1x 平分APB 即PAB 的内切圆的圆心在定直线1x 上 12分 20 本小题满分12分 20 本小题满分12分 解 1 01 021 01 31 p p p 解得 1 0 3 p 1400400 1200400400200E Apppp 1200300900100300200E Bpppp 1 0 4 E AE Bp 1 4 E AE Bp 11 43 E AE Bp 当 1 0 4 p 时 应选择方案A 当 11 43 p 时应选择方案B 当 1 4 p 时 既可以选择方案A也可以选择方案B 5分 2 因为 0 2p 根据 1 的结果 应选择方案A 所以新产品的年度总成本为 32 1 2 810160 3 yxxx 设市场行情为畅销 平销和滞销时 新产品的年利润分别为 1 2 和 3 则 高三数学试题 理科 答案 第 3 页 共 4 页 11 60 xy 21 3 60 4 x xy 31 60 x xy 的分布列为 111 3 0 4600 4600 260 4 Exyx xyx xy 32 215 50160 32 xxx 9分 设 32 215 50160 32 f xExxx 020 x 2 21550fxxx 0010fxx 01020fxx f x在 0 10 上单调递增 在 10 20 上单调递减 当10 x 时 f x取得最大值 即年产量为10万件时 E 取得最大值 此时 max 10423 3f xf 万元 由 1 知 预期平均年利润的期望 400200360E Ap 万元 因为423 3360 所以在年产量为10万件的情况下 可以达到甚至超过预期的平均年利润 12分 21 本小题满分12分 21 本小题满分12分 解 1 sin x f xex 定义域为R sincos2sin 4 xx fxexxex 由 0fx 解得sin0 4 x 解得 37 22 44 kxk kZ f x的单调递减区间为 37 2 2 44 kk kZ 4分 2 由已知 sin x g xexax sincos x gxexxa 令 h xgx 则 2cos x hxex 0 x 当0 2 x 时 0hx 当 2 x 时 0hx h x在0 2 上单调递增 在 2 上单调递减 即 gx 在0 2 上单调递增 在 2 上单调递减 01ga 0gea 当10a 即01a 时 00 g 0 2 g 0 2 x 使得 0 0gx 当 0 0 xx 时 0gx 当 0 xx 时 0gx g x在 0 0 x 上单调递增 在 0 x 上单调递减 00g 0 0g x 又 0ga 由零点存在性定理可得 此时 g x在 0 上仅有一个零点 若13a 时 0 g 10a 又 gx 在0 2 上单调递增 在 2 上单调递减 又 2 0 2 gea 1 60 xy 1 3 60 4 x xy 1 60 x xy p 0 4 0 4 0 2 高三数学试题 理科 答案 第 4 页 共 4 页 1 0 2 x 2 2 x 使得 1 0gx 2 0gx 且当 1 0 xx 2 xx 时 0gx 当 12 xxx 时 0gx g x在 1 0 x 和 2 x 上单调递减 在 12 xx 上单调递增 00g 1 0g x 22 3 0 222 geae 2 0g x 又 0ga 由零点存在性定理可得 g x在 12 xx 和 2 x 内各有一个零点 即此时 g x在 0 上有两个零点 综上所述 当01a 时 g x在 0 上仅有一个零点 当13a 时 g x在 0 上有两个零点 12分 22 本小题满分10分 22 本小题满分10分 1 曲线C的参数方程 3cos4sin 129 cossin 55 x y 消去参数 得 曲线C的普通方程为 22 1 259 xy sin3 3 3 cossin2 30 直线l的直角坐标方程为32 30 xy 5分 2 设直线l的参数方程为 1 2 2 3 2 xt yt t为参数 将其代入曲线C的直角坐标方程并化简得 2 76630tt 121 2 6 9 7 ttt t M点在直线l上 2 12121 2 3630 2 436 497 MPMQttttt t 10分 23 本小题满分10分 23 本小题满分10分 1 由题意知 3 2 为方程135xxm 的根 39 15 22 m 解得1m 由1351xx