辽宁省葫芦岛市普通高中2020届高三上学期学业质量监测（期末）数学（理）

葫芦岛市普通高中20192020学年第一学期学业质量监测考试高三数学（供理科考生使用）注意事项:1.本试卷分第卷、第卷两部分，共6页满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上3.用铅笔把第卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第卷的答案写在答题纸的相应位置上4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回第卷（选择题，共60分）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1. A=x|x-10,B=x|x2-x-60，则AB=A.-2,1) B.-2,3 C. (1,3 D.1,3)2.已知i是虚数单位，复数 =Ai-2 Bi+2 C-2 D23.在等比数列an中，a4,a6是方程x2+5x+1=0的两根，则a5=A.1 B. 1 C. D.4. 已知 a,b均为单位向量，则|a-2b|=|2a+b|是ab的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5. 2018年辽宁省正式实施高考改革。新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课 . 这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想。考改实施后，学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习。某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的A样本中的女生数量多于男生数量B样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C样本中的男生偏爱物理D样本中的女生偏爱历史等高堆积条形图2等高堆积条形图1 OyxOyxyxOyxO6. 函数f(x)=的图像大致为 A. B. C. D.7. 在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，B=30，a+c=2b，ABC的面积为，则b=A. B. C. D. 8. 函数f(x)=ln(x2-ax-3)在(1,+)单调递增，求a的取值范围A.a2 B.a2 C. a-2 D. a-29. 若ab1,0c1,则下列不等式不成立的是A. logaclogbc B. alogbcblogac C. abcbac D. ac3时，不等式f (-k-sinq -1) f (k2-sin2q )对任意的k-1,0恒成立,则q 的可能取值是A.- B. C.- D.第卷（选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，第15题为两空题，第一空2分，第二空3分。）13. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为_111侧（左）视图正（主）视图俯视图14. 周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，是算经十书之一，书中不仅记载了“天圆如张盖，地方如棋局”一说，更是记载了借助“外圆内方”的钱币及用统计概率得到圆周率的近似值的方法具体做法如下：现有“外圆内方”的钱币(如图)，测得钱币“外圆”半径（即圆的半径）为2 cm,“内方”（即钱币中间的正方形孔）的边长为1 cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取“内方”之外部分的概率是p，则圆周率的近似值为 . 15. (1+ax2)(x-3)5的展开式中x7系数为2，则a的值为_, x5的系数为_.16. 已知双曲线C：- =1(a0,b0)的左，右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线C右支上异于顶点的一点，PF1F2的内切圆与x轴切于点（2,0），且直线y= -2x经过线段PF1的中点且垂直于线段PF1，则双曲线C的方程为 _.三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17. (本小题满分12分)如图，在四棱锥中，侧面是等边三角形，PABCDE且平面平面，为的中点，,，.（1）求证：平面；（2）求二面角P-AC-E的余弦值.18. (本小题满分12分)已知数列an其前n项和Sn满足:Sn=2-(n+1)an+1(nN*), a1=0.（1）求数列 an的通项公式;（2）当n=1时，c1=1,当n2且nN*时，设cn= ,求cn的前n项和Tn.19. (本小题满分12分) 冬季历来是交通事故多发期，面临着货运高危运行、恶劣天气频发、包车客运监管漏洞和农村交通繁忙等四个方面的挑战. 全国公安交管部门要认清形势、正视问题，针对近期事故暴露出来的问题，强薄弱、补短板、堵漏洞，进一步推动五大行动，巩固扩大五大行动成果，全力确保冬季交通安全形势稳定. 据此，某网站推出了关于交通道路安全情况的调查，通过调查年龄在15,65)的人群，数据表明，交通道路安全仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此类问题的约占80%现从参与调查并关注交通道路安全的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组15,25)，第2组25,35)，第3组35,45)，第4组45,55)，第5组55,65)，得到的频率分布直方图如图所示（1）求这100人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（2）现在要从年龄较大的第4,5组中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行问卷调查，求第4组恰好抽到2人的概率；（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注交通道路安全的人数为随机变量X，求X的分布列与数学期望20. (本小题满分12分)椭圆E：1(ab0)的上顶点为A，点B (1，- )在椭圆E 上，F1,F2分别为E的左右焦点， F1AF2=120.（1）求椭圆E的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作x2+y2=b2的切线交椭圆于C，D两点,且C,F2,D不共线,问：DCF2D的周长是否为定值？若是求出定值；若不是说明理由. 21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=xlnx+kx，kR.（1）求y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;（2）若不等式f(x)x2+x恒成立，求k的取值范围;（3）求证：当时，不等式成立.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时就写清题号。22(本小题满分10分) 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=2sin.（1）求圆C的直角坐标方程及直线l的斜率；（2）直线l与圆C交于M,N两点，MN中点为Q，求Q点轨迹的直角坐标方程.23(本小题满分10分) 选修45：不等式选讲设a,b是正实数, 求证:（1）若a+2b=1，求a2+b2的最小值;（2）若a2+4b2=1，求的最大值.葫芦岛市普通高中20192020学年第一学期学业质量监测考试高三数学（理）参考答案及评分标准一、选择题CBBCD AACBD AD二、填空题13. 14. 15. 2；181（本小题第一空2分，第二空3分） 16. - =1三、解答题17（本小题满分12分）解：（1）如图，取PA中点F，连结EF,BF. 因为E为PD中点，AD=4，所以EFAD，EF=AD=2.又因为BCAD，BC=2，所以EFBC，EF=BC，所以四边形EFBC为平行四边形. 2所以CEBF.又因为CE平面PAB,BF平面PAB，所以 CE平面PAB 4 （2）取AD中点O，连结OP，OB.因为DPAD为等边三角形，所以POOD.OPABCDEF又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD.因为ODBC，OD=BC=2，所以四边形BCDO为平行四边形.因为CDAD，所以OBOD. 6如图建立空间直角坐标系O-xyz，则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1, ),P(0,0,2)所以=(2,4,0), =(0,3,). =(0,2,2)设平面ACE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，则即令x1=-2，则n1=(-2,1,-)，8显然，平面ACP的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，则即 令z2=1，则n2=(2,-,1)，10所以cos=.由题知，二面角P-AC-E为锐角，所以二面角P-AC-E的余弦值为.12 18. （本小题满分12分）解：(1) 当n=1时，a1=S1=2-2a2=0,得a2=12当n2时，an=Sn-Sn-1=nan -(n+1)an+1,即(n+1)an+1=(n-1)an,因为a20，所以= 4= =, an=综上所述，an= 6 (2) 当n=1时,T1=1 8当n2时,cn=(n-1)2n Tn=1+22+223+(n-1)2n 2Tn= 2+ 23+(n-2)2n +(n-1)2n+1 -Tn=3+23+ 2n-(n-1)2n+110= 3+-(n-1)2n+1=-5-(n-2) 2n+1 Tn=5+(n-2)2n+1 综上所述，Tn=5+(n-2)2n+1 1219. （本小题满分12分）解 ：(1)由10(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1，得a=0.035， 1平均数为200.1+300.15+400.35+500.3+600.1=41.5岁；2设中位数为x，则100.010+100.015+(x-35) 0.035=0.5，x42.1岁 3(2)第4,5组抽取的人数分别为6人，2人设第4组中恰好抽取2人的事件为A，则P(A)= 6(3)从所有参与调查的人中任意选出1人，关注交通道路安全的概率为P=，8X的所有可能取值为0,1,2,3，P(x=0)=C(1-)3=，P(x=1)=C()1 (1-)2= , P(x=2)=C()2 (1-)1= , P(x=3)=C()3= ， 10所以X的分布列为：X0123PXB(3,)， E(X)=3=1220. （本小题满分12分）解：(1)由 F1AF2=120，得=,B点 (1，)代入椭圆方程得 1,由得a2=4,b21，所以椭圆E的方程为y21. 4（2）由题意,设CD的方程为y=kx+m(k0),CD与圆x2+y2=1相切,=1,即m2=1+k2,由得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0 , D0设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2= - , x1x2= 6|CD|=|x1-x2|= 8又|CF2|2=(x1-)2+y2=(x1-)2+1-(x1-4)2 ,|CF2|=(4-x1) 10同理|DF2|=(4-x2),|CF2|+|DF2|=4 - ( x1+x2)= 4+|CD|+|CF2|+|DF2|=4即CF2D的周长为定值. 1221. （本小题满分12分）解：(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1+lnx+k, f(1)=1+ k,f(1)=k,函数y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-k=(k+1)(x-1),即y=(k+1)x-1 3(2)设g(x)=lnx-x+k-1, g(x)=-1,x(0,1), g(x)0,g(x)单调递增，x(1,+), g(x)0，lnx-x+k-10,g(x)max=g(1)=k-20即可，故k26 (3)由（2）可知：当k=2时，lnxx-1恒成立，令x= ,由于iN*，0.故，ln1-变形得：ln(4i2-1)1-，即：ln(4i2-1)1-( - )i=1,2,3,n时，有ln31- (1-) ln51- (1-) ln(4n2-1) 1- ( - )两边同时相加得： n-(1-)=所以不等式在nN*上恒成立.22. （本小题满分10分）解：(1)由=2sin得x2+y22y=0,即圆C的直角坐标方程为x2+(y)2=5.2 由直线l的参数方程可得=1,故直线l的斜率为1. 4(2)设M(x1,y1),N(x2,y2), 中点Q(x,y) ,将M,N代入圆方程得：x12+y122y1=0, x22+y222y2=0, -得:(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2-2)=06化简得2x+(2y2)=0因为直线l2的斜率为1，所以上式可化为x+y=08代入圆的方程x2+y22y=0，解得x=所以Q点的轨迹方程为x+y=0，