构造全等三角形种常用方法

构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为：ABCDFEG图（1）搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考 1截长补短法例1如图（1）已知：正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E，求证：AB+BE=AC解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC，由已知AEFAEC，F=ACE=45，BF=BE，AB+BE=AB+BF=AF=AC解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知 ABEAGE，EG=BE, AGE=ABE,ACE=45, CG=EG,AB+BE=AG+CG=AC 2平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt,有时可作出斜边的中线ABCPQDO 例2ABC中，BAC=60，C=40AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ证明：如图（1），过O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，AB+BP=AD+DB+BPOABCPQD图（2）ABCPQDE图（3）O=AQ+OQ+BO=AQ+BQ 说明：本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长补短法” 本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： 如图（2），过O作ODBC交AC于D，则ADOABO来解决 如图（3），过O作DEBC交AB于D，交AC于E，则ADOAQO，ABOAEO来解决ABCPQ图（5）DO 如图（4），过P作PDBQ交AB的延长线于D，ABCPQ图（4）DO则APDAPC来解决 如图（5），过P作PDBQ交AC于D，则ABPADP来解决（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究） 3旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。图 3例3如图3所示，已知点、分别在正方形的边与上，并且平分，求证：。分析：本题要证的和不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将绕点旋转到，则，=，从而将转化为线段，再进一步证明即可。证明略。 4倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。EABCDFH 例4如图（7）AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE求证：AC=BF证明：延长AD至H使DH=AD，连BH，BD=CD，BDH=ADC，DH=DA，BDHCDA，BH=CA，H=DAC，又AE=EF，DAC=AFE，AFE=BFD，AFE= 图（7）BFD=DAC=H，BF=BH，AC=BF 5翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形例5如图（8）已知：在ABC中，A=45, ADBC，若BD=3，DC=2， 求：ABC的面积ABCDEGF解：以AB为轴将ABD翻转180，得到与它全等的ABE，以AC为轴将ADC翻转180，得到与它全等的AFC，EB、FC延长线交于G，易证四边形AEGF是正方形，设它的边长为x，则BG=x3，CG=x2，在RtBGC中，（x-3）+（x-2）=5 解得x=6，则AD=6，SABC=56=15 图（8） ABCPD练习：例3已知：如图（6），P为ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数分析：直接求APB的度数，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，联想到构造直角三角形略解：将BAP绕A点逆时针方向旋转60至ACD，连接PD，则BAPADC，DC=BP=4，AP=AD，PAD=60，又PC=5，PD+DC=PC 图（6）PDC为Rt, PDC=90APB=ADC=ADP+PDC=60+90=150、平移法构造全等三角形例如图所示，四边形中，平分，若，求证：。分析：利用角平分线构造三角形，将转移到，而与互补，从而证得。主要方法是：“线、角进行转移”。图证明：在上截取，在与中， （SAS） , , ， , , .、翻折法构造全等三角形例如图所示，已知中，平分，求证：。证明： 平分，将沿翻折后，点图 2落在上的点，则有，在与中， （SAS） , 已知中， , , , 。3、旋转法构造全等三角形图 3例3如图3所示，已知点、分别在正方形的边与上，并且平分，求证：。分析：本题要证的和不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将绕点旋转到，则，=，从而将转化为线段，再进一步证明即可。证明略。4、延长法构造全等三角形图 4例4如图4所示，在中，求证：。分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。本