两个随机变量的函数的分布幻灯片

课件制作 应用数学系概率统计课程组 概率论与数理统计 第五节二维随机变量的函数分布 3 5 1和的分布 3 5 1 1离散型随机变量和的分布 3 5 1 2连续型随机变量和的分布 3 5 2一般函数的分布 3 5 4最大值 最小值的分布 在第二章中 我们讨论了一维随机函数的分布 现在我们进一步讨论 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题 然后将其推广到多个随机变量的情形 当随机变量X1 X2 Xn的联合分布已知时 如何求出它们的函数Y g X1 X2 Xn i 1 2 m的分布 一 离散型分布的情形 例1若X Y独立 P X k ak k 0 1 2 P Y k bk k 0 1 2 求Z X Y的概率函数 解 a0br a1br 1 arb0 由独立性 此即离散卷积公式 r 0 1 2 和的分布 Z X Y 解 依题意 由卷积公式 i 0 1 2 j 0 1 2 由卷积公式 即Z服从参数为的泊松分布 r 0 1 例3设X和Y相互独立 X B n1 p Y B n2 p 求Z X Y的分布 回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释 我们给出不需要计算的另一种证法 同样 Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数 每次试验中A出现的概率为p 若X B n1 p 则X是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数 每次试验中A出现的概率都为p 故Z X Y是在n1 n2次独立重复试验中事件A出现的次数 每次试验中A出现的概率为p 于是Z是以 n1 n2 p 为参数的二项随机变量 即 若X与Y相互独立 X B n1 p B n p 则X Y B n1 n2 p 二项分布的可加性 类似已知 若X Y相互独立 X P 1 Y P 2 则X Y P 1 2 Possion分布的可加性 例4设X和Y的联合密度为f x y 求Z X Y的密度 解 Z X Y的分布函数是 FZ z P Z z P X Y z 这里积分区域D x y x y z 是直线x y z左下方的半平面 一 连续型分布的情形 和的分布 Z X Y 化成累次积分 得 由X和Y的对称性 fZ z 又可写成 以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式 特别 当X和Y独立 设 X Y 关于X Y的边缘密度分别为fX x fY y 则上述两式化为 这两个公式称为卷积公式 为确定积分限 先找出使被积函数不为0的区域 解 由卷积公式 即 如图示 于是 解法二从分布函数出发 当z 0时 可用卷积公式直接求密度函数与通过分布函数求密度函数两种方法求和的分布 当0 z 1时 当1 z 2时 z 1 当2 z时 例6甲乙两人约定中午12时30分在某地会面 如果甲来到的时间在12 15到12 45之间是均匀分布 乙独立地到达 而且到达时间在12 00到13 00之间是均匀分布 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率 又甲先到的概率是多少 解 设X为甲到达时刻 Y为乙到达时刻 以12时为起点 以分为单位 依题意 X U 15 45 Y U 0 60 所求为P X Y 5 及P X Y 甲先到的概率 由独立性 先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率 解一 P X Y 5 P 5 X Y 5 1 6 1 2 P X Y 解二 P X Y 1 6 1 2 被积函数为常数 直接求面积 P X Y P X Y 5 类似的问题如 甲 乙两船同日欲靠同一码头 设两船各自独立地到达 并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 若甲船需停泊1小时 乙船需停泊2小时 而该码头只能停泊一艘船 试求其中一艘船要等待码头空出的概率 把长度为a的线段在任意两点折断成为三线段 求它们可以构成三角形的概率 例7设随机变量X1和X2相互独立 且均服从标准正态分布N 0 1 求Y X1 X2的概率密度函数 解由题意得 X1和X2相互独立 故 结论 两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从正态分布 X1 X2 N 1 2 12 22 正态分布的可加性 即 若X1 N 1 12 X2 N 2 22 X1 X2独立 则 有限个独立正态变量的线性组合仍服从正态分布 更一般地 可以证明 推论 有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布 即 若Xi N i i2 i 1 2 n X1 X2 Xn相互独立 实数a1 a2 an不全为零 则 特别 若X1 X2 Xn独立同正态分布N 2 则 记 例8设二维随机变量 在矩形 试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度函数 上服从均匀分布 解易知 的联合概率密度为 因为 所以 三 M max X Y 及N min X Y 的分布 求M max X Y 及N min X Y 的分布函数 设X Y是两个相互独立的随机变量 它们的分布函数分别为FX x 和FY y M max X Y 不大于z等价于X和Y都不大于z 故有 P M z P X z Y z 又由于X和Y相互独立 于是得到M max X Y 的分布函数为 FM z P M z P X z P Y z P X z Y z 即有FM z FX z FY z 类似地 可得N min X Y 的分布函数是 下面进行推广 即有FN z 1 1 FX z 1 FY z 1 P X z Y z FN z P N z 1 P N z 1 P X z P Y z 设X1 Xn是n个相互独立的随机变量 M max X1 Xn 的分布函数为 N min X1 Xn 的分布函数是 特别 当X1 Xn相互独立且具有相同分布函数F x 时 有 FM z F z nFN z 1 1 F z n 与二维情形类似 可得 需要指出的是 当X1 Xn相互独立且具有相同分布函数F x 时 常称 M max X1 Xn N min X1 Xn 为极值 由于一些灾害性的自然现象 如地震 洪水等等都是极值 研究极值分布具有重要的作用和实用价值 下面我们再举一例 说明当X1 X2为离散型r v时 如何求Y max X1 X2 的分布 解一 P Y n P max X1 X2 n P X1 n X2 n P X2 n X1 n 记1 p q 例9设随机变量X1 X2相互独立 并且有相同的几何分布 P Xi k p 1 p k 1 k 1 2 i 1 2 求Y max X1 X2 的分布 解二 P Y n P Y n P Y n 1 P max X1 X2 n P max X1 X2 n 1 P X1 n X2 n P X1 n 1 X2 n 1 那么要问 若我们需要求Y min X1 X2 的分布 应如何分析 留作同学课后思考 练习 设系统L由两个相互独立的子系统联接而成 联接的方式分别为 i 串联 ii 并联 如图所示设L1 L