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题根研究 二项式(a+b)n展开式寻根湖南衡阳县五中 陈 胜 北京 万尔遐一、课堂奇遇 从( a + b)2 说起老师要讲新课二项式(a+b)n的展开式了.他的提问从初中数学“和的平方公式”开始. 【题1】 在二项式(a+b)n中，分别求n=2和n=3的结果.【解答】 根据乘法法则，分别有：(a+b)2 = a2+2ab+b2(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3老师开始向“新课”引渡：(a+b)4 =？ 甲生答：(a+b)4 =a4 + 4a3b + 6a2b2+4ab3+b4老师再问：(a+b)5=？ 乙生回答：(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5老师疑思：难道学生已经掌握了二项式定理？于是，干脆把问题推到“一般式”，问：(a+b)n=？全场寂静，无人应声. 良久，丙生反问：这里(a+b)n中的n为多少？任意正整数！这个我们不会，您必须告诉，n为多少？老师退一步说：n=6丙生马上回答：(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6老师追问：你怎么知道的？丙生回答： (a+b)6 展开式是个6次齐次式. 字母a降幂排列，从6降到0；字母b升幂排列，从0升到6. 至于各项的系数，只要把(a+b)5展开系数“错位相加”即得. 草式如下，从n=5到n=6：老师大惊：谁告诉你们的？学生回答：初中数学中的多项式乘法的“系数分离法”，乘法变成加法算，草式如下：到此，老师明白了，学生已经从乘法公式的递推运算中掌握了二项式定理. 剩下的任务只是如何将各项系数实现“符号化”的问题，即在展开式：(a+b)n =A0an+ A1an-1b+ An-1 abn-1+ Anbn中，如何将系数A0，A1，An-1，An用n的计算式表示出来.二、错位加法 演出杨辉三角老师顺势引导学生：这个递推的“错位加法”很有意思，是否可以把草式简化，只把各行的“加法结果”依次开列出来，比如，开出一个表来.于是，各式各样的二项式(a+b)n展开式的“系数表”送来了，其中使大家感兴趣的是“等腰三角表”.“好呀！”老师高兴地说：“如果你们能早点出生，这个三角形就可以用你们名字命名啦！现在这个等腰三角表已经命名为杨辉三角形了！”大家也很高兴：我们也成数学家啦！丁生提议：这个三角形可命名为“1+1三角形”.因为：（1）这个三角形是从1+1开始的；（2）三角形的任何一行数的和，自我相加之后变成了下一行各数之和.甲生提议：这个三角形可命名为“2打滚三角形”，因为从2开始，上行各数之和翻一倍，便成为下行各数之和.乙生提议：这个三角形还可命名为“肩挑两数三角形”，因为这个三角形的任何一个数，都等于这个数肩上2数之和. 如三角形中第5行的第3数10，就等于它的肩上两数第4行第2、3两数的和：10=4+6.老师插问：“肩挑两数”中的这两个数是唯一的吗？于是有下面的问题.【题2】 在杨辉三角形中，第5行第3数上的数10，写成肩上2数的和，可以是：A.10=4+6 B.10=3+7 C.10=2+8 D.10=5+5【解答】 杨辉三角形中的任何一个数，都由1+1的错位加法形成，加法的结果是唯一的. 因此，第5行第3数10，肩挑两数的结果是4+6. 答案为A.丙生提议：这个三角形还可以命名为“单肩串数三角形”. 因为三角形中任何一个数都等于它的“一个肩上数斜向上顶住的一串数”.如三角形中第5行第3数10，它等于它右肩上的数6，并由6向左斜上方串联的一组数的和，即10=6+3+1它也等于它左肩上的数4，并由4向右斜上方串联的一组数的和，即10=4+3+2+1老师说，这个发现很有意思. 要知道，“单肩串数”这个性质实为“肩挑两数”性质推论或发展. 谁能讲出这个道理来？丁生发言：“单肩串数”实为“肩挑两数”进行递推的结果，例如数10，如果是右肩串数，则是3次“肩挑两数”的结果.10=6+4=6+（3+1）=6+3+（1+0）=6+3+1+0如果是左肩串数，则是4次“肩挑两数”的结果：10=4+6=4+（3+3）=4+3+（2+1）=4+3+2+（1+0）=4+3+2+1+0老师总结：“单肩串数”是“肩挑两数”的递推结果；而“肩挑两数”又是“错位加法”的累计结果.错位加法是问题之根.三、a的相乘 实为b的组合为了弄清二项式 (a+b)n = (a+b) (a+b)(a+b)= A0an+ A1an-1b+ An-1 abn-1+ Anbn 展开时系数的形成过程，我们先回头看“和的平方”展开时，系数是怎样形成的.(a+b)2 = (a+b) (a+b)此式中，我们视a为主字母，视b为系数，其中的2个b分别记作b1和b2，于是有(a+b)2 = (a+b1) (a+b2) =a2+ (b1 +b2)a+ b1b2 =a2+2ab+b2由此看到，最高项a2的系数为1. 次高项a的系数是b1 +b2，这是从集合 b1，b2中，每次取1个元素所成的组合. 其组合数为=2.常数项b1b2，是从集合 b1，b2每次取出2个元素所成的组合，组合数为=1.统一地看，最高项a2中不含b，因此可以看作，从集合 b1，b2每次取出0个元素所对应的组合.组合数为=1.这样一来，“和的平方”展开式可写成 (a+b)2 =a2+ab+b2有了这个基础，我们也可以用“组合数”表示二项式(a+b)n展开后各项的系数.【题3】 试用组合数表示二项式 (a+b)n=(a+b) (a+b)(a+b) = A0an+ A1an-1b+ An-1 abn-1+ Anbn展开式中各系数A0，A1，An-1，An.【解答】 对于an，它是从集合 b1，b2，bn 中每次取出0个元素的组合. 组合数为A0=.对于an-1b，它是从集合 b1，b2，bn 中，每次取出1个元素的组合，组合数为A1=.对于abn-1，它是从集合 b1，b2，bn 中，每次取出n-1个元素的组合，组合数为.对于bn，它是从集合 b1，b2，bn 中，每次取出n个元素的组合，组合数为.于是，二项式(a+b)n可展开成如下形式(a+b)n=an+an-1b +abn-1 +bn这就是所谓的“二项式定理”.它是“和的平方式”的一般形式，或者说，(a+b)2 = a2+2ab+b2是二项式定理的特殊形式.从数学思想上说，“和的平方式”是“二项式定理”之根. 反过来，二项式定理为和的平方之果.四、“肩挑两数” 组合的加法性质将杨辉三角形中的第一个数，都用组合符号表示出来，则得图右的三角形. 自然，“肩挑两数”的性质可写成组合的加法式. 如 这里，（1）相加两数和是“下标相等，上标差1”的两数；（2）其和是“下标增1，上标选大”的组合数.一般地，杨辉三角形中第n+1行任意一数，“肩挑两数”的结果为 这就是组合的加法性质：“下标相等上差1，下标增1选大的”.逐次利用可以得 即 这是组合加法性质的推广：组合数. 可以写成n-1个组合数相加，各加数的上标都是r-1，而下标则是从n开始，依次递减为r-1例如，将第5行第4数展开，即是 这就是“单肩串数”的加法式，图示如右.有了组合的加法性质，二项式(a+b)n展开式的证明就变得非常简便了.【题4】 求证二项式定理(a+b)n=an+an-1b +abn-1 +bn【证明】 （1）当n=1时，a+b =a +b=a + b 命题真.（2）假设 n=k时命题真，即 (a+b)k =ak +ak-1b +abk-1 +bk两边同乘以(a+b)，由“错位加法”可得 (a+b)k+1 =ak+1 +()akb +()ak-1 b2 +()ab k + bk+1 =ak+1 + akb + ab k + bk+1综合（1），（2）可知，对任意的nN+，二项式(a+b)n展开式成立.“错位加法”是二项式(a+b)n展开时计算系数的“根法”.以下这道高考题，如果利用这种“根法”，可以实现一望而答.【考题1】 在(x-1) (x+1)8的展开式中，求x5的系数.【分析】 (x-1) (x+1)8中x5的系数，由(x+1)8中，x4与x5两项的系数错位相加而得.【解答】 (x-1) (x+1)8 = (x-1) ( +x5+x4+) = +(-)x5 + 故x5项的系数为-=14.五、n始于1 r始于0在杨辉三角形中，我们看到：n从1开始，但是第1行有2个数，第2行有3个数，第k行有k+1个数，这正是二项式展开时“错位相加，项数多1”的结果.(a+b)n=an+an-1b +an-rbr +bn展开式中的r从0取到n，故(a+b)n展开式有n+1项，其中关于r的通项an-rbr不是第r项，而是第r+1项. 故二项式展开式的通项公式为 Tr+1=an-rbr 初学者经常说成 Tr=an-rbr【题5】 在的展开式中，第几项含x3？【说明】 在通项公式an-rbr中求得r值，对应的r+1为其项数.【解答】 Tr+1 =(2x)4-r=24-r 令 得r =2 T3=(2x)2x=24x3 故展开式的第3项含x3项24x3.【考题2】 已知，求展开式中x9的系数.【说明】 x9的系数不是二项式中的系数，但可通过通项公式an-rbr求出对应的r来.【解答】 设展开式的第r+1项能化简得到x9项.则有 Tr+1 =(x2)9-r=令 18-3r = 9 得r =3 故 x9的系数为 【考题3】 若展开式中存在常数项，则n的值可以是A.8 B.9 C.10 D.12【解答】令第r +1项Tr+1= 0，得 3n=5r，选项中只有C合适.六、公式一个 特式万千二项式定理是个公式，其中的a，b，n可“任意”取值.(a+b)n=an+an-1b +an-rbr +bn （1）n取特值可得到具体的乘方公式，如 (a+b)4 =a4 + 4a3b + 6a2b2+4a1b3+b4（2）a，b取特值，可得许许多多的组合式令a=b=1 得 +=2n令a=1，b=-1 得 +=+=2n-1令a=b，b=a 得 【考题4】 若(1-2x)2004=a0+a1x+a2x2+a2004x2004（xR），则(a0+a1)+ (a0+a2)+ (a0+a3)+(a0+a2004)= .（用数字作答）【分析】 这是利用“公式”研究“特式”的值，关键是研究在公式中取x的特值.【解答】 在原式中，令x=0，