内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间

第九章内积空间和希尔伯特 Hilbert 空间 9 1内积空间的基本概念 教学目标 1 掌握内积空间和希尔伯特空间的定义 运用定义能够证明 2 掌握施瓦茨不等式与极化恒等式 并能熟练运用 3 培养学生抽象 理解 概括 归纳能力和迁移能力 教学重点 理解内积空间和希尔伯特空间的定义 教学难点 证明过程及运用 在复欧氏空间中 向量除了有长度的概念外 还定义了两个向量的内积的运算 即若则a与b的内积定义为 其中表示的复共轭 并且内积与向量a的长度有以下关系由内积定义 可知两个向量a与b正交等价于 显然 在有限维复欧氏空间中 由 1 定义的内积具有下述性质 1 2 3 在复欧氏空间的欧几里得几何学中所用到内积的性质主要是上面三条 因此利用这三条性质 我们也在一般的线性空间中引入内积的的概念 定义1设是复线性空间 如果对中任何在两个向量有一复数与之对应 并且满足下列条件 1 2 3 则称为与的内积 称为内积空间 如果是实的线性空间 则条件3就改为从内积的定义 立即可以得到下面的等式 设是内积空间 令那么是上的范数 事实上 由内积定义 2 式 不难证明为了证明范数不等式 我们首先证明施瓦茨 Schwarz 不等式 引理1 Schwarz不等式 设按内积成为内积空间 则对于中任意向量成立不等式当且仅当与线性相关时 不等式 4 中等号才成立 证明 如果 易知对一切因而 4 式成立 若 则对每个复数 由内积条件1 有令那么上式方括号中式子为0 所以 两边乘以 并且开方 即可得到要证的Schwarz不等式若与线性相关 通过直接计算 易知 4 式中等号成立 反之 若 4 式中等号成立 假定 则与自然线性相关 若 令由Schwarz不等式推导过程 易知 即 所以与线性相关 证毕 由Schwarz不等式 立即可知满足范数不等式 事实上 所以 称由 3 式定义的范数为由内积导出的范数 所以内积空间是一种特殊的赋范空间 若按 3 式中范数完备 则称为Hilbert空间 设是由内积导出的范数 通过计算 不难证明对中任何两个向量 成立平行四边形公式它是平面上平行四边形公式在内积空间中的推广 反之可以证明 若是赋范线性空间 其中范数对中任何向量 满足平行四边形公式 5 那么一定可在中定义内积 使就是由内积导出的范数 因此 5 式是内积空间中范数的特征性质 下面举一些内积空间的例子例 对中任意向量 定义易知按 6 中内积成为内积空间 又由内积 6 导出的范数 即为第七章第 节例 中当时所定义的范数 因此由第七章第 节定理 知 成为Hilbert空间 例 设定义则按 7 中内积也成为Hilbert空间 例 当时 不成为内积空间 事实上 令则且但 所以不满足平行四边形公式 5 这说明中范数不能由内积导出 因而不是内积空间 例 按不成为内积空间 事实上 令则且 但因为 所以因此不满足平行四边形公式 这就证明了不是内积空间 设为内积空间 由 3 给出了上的范数 反之 通过直接计算可以证明 内积与范数之间成立如下不等式 8 式称为极化恒等式 它表示内积可以用它所导出的范数来表示 当为实内积空间时 极化恒等式变为由Schwarz不等式 立即可知内积是两个变元的连续函数 即当时 有 事实上 因为因收敛 故有界 所以