CH3导数与微分

2020 4 24 1 Chapt3导数与微分 2020 4 24 2 微积分是一门以变量为研究对象 以极限方法作为研究工具的数学学科 应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题 就产生了微分学 应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题 就产生了积分学 2020 4 24 3 微积分的主要内容是微分学与积分学 而微分学的基本概念是导数与微分 导数的思想最初是法国数学家费马 Fermat 为解决极大 极小问题而引入的 但导数作为微分学中最主要概念 却是牛顿和莱布尼茨分别在研究力学与几何学过程中建立的 2020 4 24 4 牛顿 莱布尼茨 2020 4 24 5 莱布尼茨 Leibniz 1646 1716 是17 18世纪之交德国最重要的数学家 物理学家和哲学家 一个举世罕见的科学天才 他博览群书 涉猎百科 对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献 莱布尼茨出生于德国东部莱比锡的一个书香之家 父亲是莱比锡大学的道德哲学教授 母亲出生在一个教授家庭 莱布尼茨的父亲在他年仅6岁时去世 给他留下了丰富的藏书 莱布尼茨因此得以广泛接触古希腊 罗马文化 阅读了许多著名学者的著作 由此获得了坚实的文化功底和明确的学术目标 2020 4 24 6 15岁时 他进了莱比锡大学学习法律 一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程 还广泛阅读了培根 开普勒 伽利略等人的著作 并对他们的著述进行深入的思考和评价 在听了教授讲授欧几里德的 几何原本 的课程后 莱布尼茨对数学产生了浓厚的兴趣 17岁时在耶拿大学学习了短时期的数学 并获得了哲学硕士学位 20岁时 莱布尼茨转入阿尔特道夫大学 这一年 他发表了第一篇数学论文 论组合的艺术 这是一篇关于数理逻辑的文章 其基本思想是出于把理论的真理性论证归结于一种计算的结果 这篇论文虽不够成熟 但却闪耀着创新的智慧和数学才华 2020 4 24 7 莱布尼茨在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界 从1671年开始 他利用外交活动开拓了与外界的广泛联系 尤以通信作为他获取外界信息 与人进行思想交流的一种主要方式 在出访巴黎时 莱布尼茨深受帕斯卡事迹的鼓舞 决心钻研高等数学 并研究了笛卡儿 费马 帕斯卡等人的著作 1673年 莱布尼茨被推荐为英国皇家学会会员 此时 他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学 开始了对无穷小算法的研究 独立地创立了微积分的基本概念与算法 和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学 2020 4 24 8 1676年 他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长 1700年被选为巴黎科学院院士 促成建立了柏林科学院并任首任院长 1716年11月14日 莱布尼茨在汉诺威逝世 终年70岁 莱布尼茨对中国的科学 文化和哲学思想十分关注 是最早研究中国文化和中国哲学的德国人 2020 4 24 9 莱布尼茨曾说 在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中 牛顿的工作超过了一半 的确 牛顿除了在天文及物理上取得伟大的成就 在数学方面 他从二项式定理到微积分 从代数和数论到古典几何和解析几何 有限差分 曲线分类 计算方法和逼近论 甚至在概率论等方面 都有创造性的成就和贡献 2020 4 24 10 费马 2020 4 24 11 费马著名数学家 于1601年8月17日在法国南部图卢兹附近波蒙 德洛马涅出生 早年于家乡受教育 后入图卢兹大学供读法律 毕业后任职律师 自1631年起任图卢兹议会议员 任职期间 他利用工余时间钻研数学 并经常以书信与笛卡儿 梅森 惠更斯等著名学者交往 讨论数学问题 他饱览群书 精通数国文字 掌握多门自然科学的知识 虽年近三十才认真注意数学 但成就累累 1665年1月12日在卡斯特尔逝世 2020 4 24 12 他生前由于性情淡泊 为人谦逊 因此较少发表论著 大多成果只留在手稿 通信或书页之空白处 他的儿子于1679年把这些遗作整理汇集成书 共两卷 在图卢兹出版 费马对数论尤其钟爱 他证明或提出众多命题 如形如4n 1之素数均可唯一地表示两个平方数之和 费马小定理 即如p是素数 a是正整数 则p a p a 等 其中以 费马大定理 最为著名 即不可能有满足x n y n z n n 2 之正整数解 2020 4 24 13 这命题载于丢番图 算术 1621年拉丁文译本第二卷之空白处 一个高于二次的幂是不可能分成两个同次的幂 为此 我确信已发现一美妙的证法 可惜这里空白地方太少 写不下 后来因找不到费马的证明 这激发起历代数学家之研究 直至1995年才由英国数学家怀尔斯 AndrewWiles 彻底证明费马大定理 历时超过300多年 2020 4 24 14 一 引例 1 直线运动的速度问题 如图 取极限得 瞬时速度 第一节导数的概念 2020 4 24 15 2 切线问题 TangentLines 切线 割线的极限 M N T 割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT 直线MT就称为曲线C在点M处的切线 2020 4 24 16 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2020 4 24 17 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2020 4 24 18 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2020 4 24 19 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2020 4 24 20 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2020 4 24 21 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2020 4 24 22 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2020 4 24 23 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2020 4 24 24 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2020 4 24 25 2 切线问题 割线的极限位置 切线位置 2020 4 24 26 2020 4 24 27 二 导数的定义 DefinitionofDerivatives 1 定义 2020 4 24 28 导数定义其它常见形式 即 2020 4 24 29 1 注1 2导函数 2020 4 24 30 很明显 2 2020 4 24 31 右导数 Right handDerivative 三 单侧导数 左导数 Left handDerivative 2020 4 24 32 步骤 例1 解 2020 4 24 33 例2 解 更一般地 例如 2020 4 24 34 例3 解 2020 4 24 35 例4 解 2020 4 24 36 例5 解 2020 4 24 37 四 导数的几何意义 1几何意义 GeometricInterpretation 切线方程为 法线方程为 2020 4 24 38 例6 解 根据导数的几何意义 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 2020 4 24 39 五 函数可导与连续的关系 定理凡可导函数都是连续函数 证 2020 4 24 40 例7 解 2020 4 24 41 解 例8 2020 4 24 42 小结 1 导数的实质 增量比的极限 3 导数的几何意义 切线的斜率 4 函数可导一定连续 但连续不一定可导 5 求导数最基本的方法 由定义求导数 6 判断可导性 不连续 一定不可导 连续 直接用定义 看左右导数是否存在且相等 2020 4 24 43 思考题 2020 4 24 44 思考题解答 2020 4 24 45 2020 4 24 46 2020 4 24 47 2020 4 24 48 练习题答案 2020 4 24 49 一 和 差 积 商的求导法则 定理2 定理1 第二节求导法则 2020 4 24 50 证 1 2 略 2020 4 24 51 推论 例1 解 2020 4 24 52 定理3 推论 注意 2020 4 24 53 例2 解 定理4 2020 4 24 54 证 2020 4 24 55 注意 2020 4 24 56 例3 解 同理可得 2020 4 24 57 例4 解 同理可得 例5 分段函数求导时 分界点导数用左右导数求 2020 4 24 58 解 2020 4 24 59 例6 解 2020 4 24 60 2020 4 24 61 二 反函数的求导法则 证 法则 2020 4 24 62 于是有 即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数 2020 4 24 63 例7 解 同理可得 2020 4 24 64 例8 解 同理可得 2020 4 24 65 例9 解 特别地 2020 4 24 66 三 复合函数的求导法则 链式法则 ChainRules 证明 2020 4 24 67 注1 链式求导法则 即因变量对自变量求导 等于因变量对中间变量求导 乘以中间变量对自变量求导 2020 4 24 68 注2 例10 解 2020 4 24 69 例11 解 注 熟练以后 可以不写出中间变量 此例可以这样写 2020 4 24 70 例12 解 2020 4 24 71 1常数和基本初等函数的导数公式 小结 2020 4 24 72 2函数的和 差 积 商的求导法则 2020 4 24 73 3复合函数的求导法则 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决 2020 4 24 74 思考题 求曲线上与轴平行的切线方程 2020 4 24 75 思考题解答 令 切点为 所求切线方程为 和 2020 4 24 76 练习题 2020 4 24 77 2020 4 24 78 练习题答案 2020 4 24 79 定义 隐函数的显化 问题2 隐函数不易显化或不能显化如何求导 问题1 隐函数是否可导 第三节隐函数及参数式函数的导数 2020 4 24 80 一 隐函数求导法 解 直接对方程两边求导 2020 4 24 81 对数求导法 1对数求导法 2适用范围 先在两边取对数 然后利用隐函数的求导方法求出y的导数 2020 4 24 82 幂指函数求导 2020 4 24 83 例2 解 等式两边取对数得 2020 4 24 84 2020 4 24 85 例3 解 等式两边取对数得 2020 4 24 86 二 由参数方程所确定的函数的导数 消参数法 消参困难或无法消参的求导可用复合函数求导方法 1由参数方程确定的函数的定义 2由参数方程所确定的函数的求导数的方法 2020 4 24 87 由复合函数及反函数的求导法则得 2020 4 24 88 2020 4 24 89 小结 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 对数求导法 对方程两边取对数 按隐函数的求导法则求导 参数方程求导 实质上是利用复合函数求导法则 2020 4 24 90 思考题 2020 4 24 91 思考题解答 不对 2020 4 24 92 练习题 2020 4 24 93 2020 4 24 94 2020 4 24 95 练习题答案 2020 4 24 96 2020 4 24 97 变速直线运动的加速度问题 即加速度是位移对时间的导数的导数 第四节高阶导数 2020 4 24 98 高阶导数的定义 记作 类似地 二阶导数的导数称为三阶导数 记作 2020 4 24 99 三阶导数的导数称为四阶导数 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数的定义 2020 4 24 100 高阶导数的求法 例1 解 1直接法 求高阶导数就是多次接连地求导数 例2 2020 4 24 101 例3 解 2020 4 24 102 例4 解 2数学归纳法证明高阶导数 2020 4 24 103 例5 解 同理可得 2020 4 24 104 3高阶导数的运算法则 公式 3 称为莱布尼兹公式 2020 4 24 105 例6 解 2020 4 24 106 3间接法 几个初等函数的高阶导数 利用已知的高阶导数公式 通过四则 运算 变量代换等方法 求出n阶导数 2020 4 24 107 例7 解 2020 4 24 108 例8 解 2020 4 24 109 小结与思考判断题 高阶导数的定义 高阶导数的运算法则 n阶导数的求法 几个初等函数的高阶导数 2020 4 24 110 思考题 设连续 且 求 2020 4 24 111 思考题解答 可导 不一定存在 故用定义求 2020 4 24 112 练习题 2020 4 24 113 2020 4 24 114 2020 4 24 115 练习题答案 2020 4 24 116 2020 4 24 117 1面积问题设有一边长为的正方形 第五节函数的微分 2020 4 24 118 2自由落体问题 2020 4 24 119 一 微分的概念 定义 2020 4 24 120 M N 二 几何意义 如图 2020 4 24 121 注1 注2 注3 2020 4 24 122 三可微与可导关系 定理 证 1 必要性 2020 4 24 123 2 充分性 注1 2020 4 24 124 函数的变化率问题 函数的增量问题 微分 导数 注3 导数与微分的区别 2020 4 24 125 例1 解 2020 4 24 126 四基本初等函数的微分公式与法则 先计算函数的导数 再乘以自变量的微分 1基本初等函数的微分公式 2020 4 24 127 2函数和 差 积 商的微分法则 2020 4 24 128 3复合函数的微分法则 结论 微分形式的不变性 2020 4 24 129 例2 解 解 例3 2020 4 24 130 例4 解 2020 4 24 131 例5 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数 使等式成立 2020 4 24 132 小结 微分学所要解决的两类问题 函数的变化率问题 函数的增量问题 微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法 叫做微分法 研究微分法与导数理论及其应用的科学 叫做微分学 导数与微分的联系 2020 4 24 133 导数与微分的区别 2020 4 24 134 思考题 2020 4 24 135 思考题解答 说法不对 从概念上讲 微分是从求函数增量引出线性主部而得到的 导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限 它们是完全不同的概念 2020 4 24 136 练习题 2020 4 24 137 2020 4 24 138 练习题答案 2020 4 24 139 2020 4 24 140 微分在近似计算中的应用 一 计算函数增量的近似值二 计算函数的近似值三 误差估计四 小结 2020 4 24 141 一 计算函数增量的近似值 例1 解 2020 4 24 142 二 计算函数的近似值 例1 解 2020 4 24 143 2020 4 24 144 常用近似公式 证明 2020 4 24 145 例2 解 2020 4 24 146 三 误差估计 由于测量仪器的精度 测量的条件和测量的方法等各种因素的影响 测得的数据往往带有误差 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差 我们把它叫做间接测量误差 定义 问题 在实际工作中 绝对误差与相对误差无法求得 2020 4 24 147 办法 将误差确定在某一个范围内 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差 2020 4 24 148 例3 解 2020 4 24 149 四 小结 近似计算的基本公式 2020 4 24 150 练习题 2020 4 24 151 2020 4 24 152 练习题答案 2020 4 24 153 导数在经济学上的简单应用 一 边际函数 定义3 4 设函数 可导 则导函数 称为 的边际函数 称为 在 处的边际 函数值 2020 4 24 154 边际函数值的意义 表示在 处 当x增加一个单位时y的改变量 注正数表示增加 负数表示减少 例1 设函数 求 解 当x增加一个单位时y增加300个单位 2020 4 24 155 边际成本的经济含义 表示当产量 达到 1 边际成本 时 再增加一个单位的产量所引起 的总成本的变化量 例2已知某商品的成本函数是 求Q 10时的总成本 平均成本 边际成本 解 2020 4 24 156 边际收益的经济含义 表示当销售量 达到 2 边际收益 时 再增加一个单位的销售量所引 起的总收益的变化量 例3已知某商品的收益函数是 求Q 50时的总收益 平均收益 边际收益 解 2020 4 24 157 边际利润的经济含义 表示当销售量 达到 3 边际利润 时 再增加一个单位的销售量所引 起的总利润的变化量 例4设某厂每月生产产品的固定成本为1000 元 生产x单位产品的可变成本为 元 如果每单位产品的售价为30元 试求 边际成本 利润函数 边际利润为零时的产量 2020 4 24 158 解 令 得 含义 当月产量为1000时 再多生产 一个单位产品不会增加利润 2020 4 24 159 二 函数的弹性 若 问 自变量改变百分之一时 函数值改变 百分之几 2020 4 24 160 设函数 处可导 定义3 5 在点 函数的相对改变量 与自变量的相对改