列写微分方程的一般方法及线性化

1 第二章控制系统的数学模型 机电学院自动化研究所 柯海森仰仪南楼310电话 86914549 2 2 1列写系统微分方程式的一般方法 2 2非线性数学模型的线性化 2 3传递函数 2 4系统框图及其等效变换 2 6信号流图和梅逊公式的应用 2控制系统的数学模型 2 5控制系统的传递函数 3 系统的数学模型 描述系统输入 输出变量以及内部其它变量之间关系的数学表达式 2 1列写系统微分方程式的一般方法 实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述 例如微分方程 传递函数等 建立合理的控制系统数学模型是控制系统分析中最重要的内容 与系统性能密切相关 4 2 状态变量描述 不仅可以描述系统的输入 输出之间的关系 而且还可以描述系统的内部特性 或称内部描述 例如状态变量空间法 矩阵 适用于多输入 多输出系统 也适用于时变系统 非线性系统和随机控制系统 控制系统中常见的两种数学模型形式 1 输入 输出描述 把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来 或称端部描述 例如微分方程 传递函数 框图和差分方程 适用于单输入 单输出系统 2 1列写系统微分方程式的一般方法 5 数学模型分为静态模型和动态模型两种 系统的动态特性 建立系统数学模型 2 根据所应用的系统分析方法 建立相应的数学模型 1 全面了解系统特性 确定研究目的以及准确性要求 决定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模型 2 1列写系统微分方程式的一般方法 解析法 实验法 6 1 明确系统每一元件的输入 输出量 根据基本的物理 化学等定律 列写出系统中的输入与输出的微分方程式 2 明确系统的输入 输出量 各元件方程叠加 消中间量 求得系统输入输出微分方程 3 标准化处理 与输出量有关项列左侧 输入量有关项列右侧 建立系统微分方程的步骤 2 1列写系统微分方程式的一般方法 例2 1 图2 1为一R L C电路 其输入电压为ur 输出电压为uc 试写出ur与uc之间的微分方程式 图2 1R L C电路 解 根据电路理论中的基尔霍夫定律 写出下列方程式 消去中间变量 则得 2 1 在列写每一个元件的微分方程式时 必须注意到它与相邻元件间的相互影响 下面举例说明 例2 2 已知R C网络如图2 2所示 试写出该网络输入与输出间的微分方程 图2 2R C滤波网络 解 对于图2 2所示的电路 由基尔霍夫定律写出下列方程组 消去中间变量 得 2 2 可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程 例2 3 设弹簧 质量 阻尼器系统如图2 3所示 试求外力与质量块位移之间的微分方程式 式中 f为阻尼系数 k为弹簧的弹性系数 2 3 经变换得 解 根据牛顿第二定律得 可知该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程 10 2 2非线性数学模型的线性化 严格讲 构成控制系统的元件 在其输出信号与输入信号之间 都具有不同程度的非线性 因此在研究控制系统动态过程时就会遇到求解非线性微分方程的问题 然而 对于高阶非线性微分方程来说 在数学上不可能求得一般形式的解 因此 当研究这类控制系统的运动过程时 在理论上将会遇到困难 问题提出 11 2 2非线性数学模型的线性化 但是 如果对求解非线性运动方程作某些近似或缩小研究问题的范围 那么对控制系统中所采用的大多数元件来说其输出和输入信号间的关系可近似看成是线性的 并可用常系数线性微分方程来描述 这种将非线性微分方程在一定条件下近似转化为线性微分方程的方法 称为非线性微分方程的线性化 通过线性化得到的线性微分方程将有条件地 近似地描述系统的动态过程 也就是说 只有近似条件成立时 基于线性化微分方程来讨论系统的运动状态才有实际意义 12 2 2非线性数学模型的线性化 线性化的基本思想 1 对于一些较复杂的函数 为了研究方便 往往希望用一些简单的函数来近似表达 2 由多项式表示的函数 只要对自变量进行有限的加 减 乘三种运算 便能求出它的函数值来 因此我们经常用多项式来近似表达函数 13 控制系统都有一个平衡的工作状态和响应的工作点 非线性数学模型线性化的一个基本假设是变量对于平衡工作点的偏离很小 微偏法 若非线性函数不仅连续 而且其各阶导数均存在 则由级数理论可知 可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数 并略去二阶和二阶以上的各项 用所得到的线性化方程代替原来的非线性方程 这种线性化的方法就叫做微偏法 2 2非线性数学模型的线性化 14 必须注意 如果系统在原平衡工作点处的特性不是连续的 而是呈现折线或跳跃现象 如图2 10 那么就不能应用微偏法 图2 10本质非线性特征 2 2非线性数学模型的线性化 设一非线性元件的输入为x 输出为y 它们间的关系如图2 11所示 相应的数学表达式为 y f x 2 5 在给定工作点 附近 将上式展开为泰勒级数 或写为 2 6 式 2 6 就是式 2 5 的线性化方程 0 微分方程式是描述线性系统运动的一种基本的数学模型 通过求解 可以得到系统在给定信号作用下的输出响应 1 求解难度大 2 很难反映系统的结构 参数与其性能间的关系 在控制工程中 一般也不需要精确的知道其输出响应 希望用简单的方法判断系统的稳定性和动态性能指标 以及判别当系统中某些参数改变或校正装置对系统性能的影响 以传递函数为工具的根轨迹法和频率响应法就可以实现上述要求 17 拉普拉斯变换传递函数的定义传递函数的基本性质典型环节函数的数学模型 2 3控制系统的传递函数 18 拉普拉斯变换 1 复数有关概念 复数 复函数 例 2 拉氏变换定义 3 几种常见函数的拉氏变换单位阶跃 单位速度 f t t 单位加速度 p30 指数函数 p30 正弦函数 0 微分的拉氏变换 令 若 其中分母多项式可以分解因式为 Pi为A S 的根 特征根 当 无重根时 23 例1 待定系数法 代入特殊值 x 3得B 6 x 2得A 5 拉普拉斯变换 24 例2 解 终值定理 极限确实存在时 拉普拉斯变换 25 引入拉普拉斯变换的一个主要优点 是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性 这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性 见信号流程图 动态结构图 分析控制系统的运动过程 见根轨迹法 奈奎斯特稳定判据 以及综合控制系统的校正装置 见控制系统校正方法 提供了可能性 拉普拉斯变换 26 2 3控制系统的传递函数 微分方程式的阶次一高 求解困难 且计算量也大 对于控制系统的分析 不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应 而且更重视系统的结构 参数与其性能间的关系 对于后者的要求 显然用微分方程式去描述是难于实现的 问题的提出 在控制工程中 一般并不需要系统的精确解 而是希望用简单的方法了解系统是否稳定及其在动态过程中的主要特征 能判别某些参数的改变或校正装置的加入对系统性能的影响 27 传递函数的定义 线性定常系统在零初始条件下系统 或元件 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 设系统输入r t 输出c t 则系统传递函数为 当传递函数和输入已知时C s G s R s 通过反变换可求出时域表达式c t 2 3控制系统的传递函数 将上式求拉氏变化 得 令初始值为零 称为环节的传递函数 式中 r t 为输入信号 c t 为输出信号 为常系数 设系统或元件的微分方程为 因为控制理论着重分析系统的结构 参数与系统的动态性能之间的关系 所以为简化分析 设系统的初始条件为零 p21 29 以Ur为输入 I为输出 经拉氏变换得到 2 3控制系统的传递函数 R L C电路 经拉氏变换得 经拉氏变换得 传递函数的求取方法及应用举例 依据系统微分方程确定输入输出间传递函数 依据微分方程组代入消元法求传递函数 电网络可利用复阻抗直接求取传递函数 依据系统输入输出信号求取传递函数 方法3 求解如下 复阻抗 R 1 CS LS 和分压定理使电网络传递函数的求取过程大大简化 p28 系统单位输入及零初始条件下的输出相应为 求传递函数 方法4 关于传递函数的几点说明 传递函数的概念适用于线性定常系统 它与线性常系数微分方程一一对应 且与系统的动态特性一一对应 传递函数不能反映系统或元件的物理性质 物理性质截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数 而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统 传递函数仅与系统的结构和参数有关 与系统的输入无关 只反映了输入和输出之间的关系 不反映中间变量的关系 传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统 若系统有多个输入信号 在求传递函数时 除了一个有关的输入外 其它的输入量一概视为零 对于多输入多输出系统 不能用一个传递函数去描述 而是用传递函数矩阵去表征系统的输入与输出间的关系 传递函数忽略了初始条件的影响 传递函数是S的有理分式 对实际系统而言分母的阶次n大于分子的阶次m 此时称为n阶系统 一个传递函数由相应的零 极点组成 36 传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一 利用传递函数 可以 不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程 了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响 分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求 综合 2 3控制系统的传递函数 1 比例环节 又叫放大环节 特点 输出量按一定比例复现输入量 无滞后 失真现象 运动方程 c t Kr t K 放大系数 通常有量纲 传递函数 2 微分环节运动方程 传递函数 3 积分环节 4 惯性环节 又叫非周期环节 特点 其输出量延缓地反映输入量的变化规律 传递函数 运动方程 5 振荡环节 式中 阻尼比 T振荡环节的时间常数 特点 包含两个独立的储能元件 当输入量发生变化时 两个储能元件的能量进行交换 使输出带有周期性振荡的性质 运动方程 传递函数 6 纯滞后环节 特点 它的输出是经过一个延迟时间后 完全复现输入信号 如右图所示 其传递函数为