固体物理学第三章PPT课件

第三章晶体振动和晶体的热学性质 2 材料的热学性能 材料的热学性能主要有热容 热膨胀 热传导 热稳定性等 有什么用 为选材 用材 改善材料热学性能 探索新材料和新工艺等打下物理理论基础 材料的热学性能和材料中什么东西有联系 原子振动 电子运动 3 分子 原子都在不停地运动 气体 固体 液体的分子原子的运动形式不同 晶体中的分子原子在其平衡位置做振动 由于热运动 各原子离开了它们的平衡位置 由于原子间的相互作用 有回到平衡位置的趋势 这两个矛盾相互作用的结果 使每个原子在平衡位置附近作微振动 原子间的相互作用使晶体中各个原子间的运动是相互耦合的 相互有关系的 晶格系统可以看成是一个相互耦合的振动系统 这种运动称为 晶格振动 LatticeVibrations 或晶体振动 CrystalVibrations 5 晶格具有周期性 晶格的振动具有波的形式 格波格波的研究 先计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程 最后求解方程 6 晶格振动的近似处理方法 绝热近似 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的影响 简谐近似 晶体的两原子间的平衡间距为r0 原子振动时 间距变化量为 则相互作用能为 周期边界条件 为恢复力常数 7 3 1一维单原子链的振动 8 9 设原子链为一维 则 原子间距为a 第n个原子的平衡位置为rn na第n个原子离开平衡位置的位移为xn 3 1 1一维单原子链的振动 原子间发生相对位移 xn xn 1 后 两原子间的互作用势能因原子微振动而由平衡时的U a 变为U a 因为是微振动 很小 所以将U r 在平衡点a附近 按泰勒级数展开 得 简谐项 非简谐项 简谐近似 振动很微弱 势能展式中只保留到二阶项 11 12 两原子间相互作用力F为 原子做简谐振动时 可以用量子力学中谐振子的简谐运动描述其振动特性 简谐振动的动力学基本特征 力与平衡位置的位移大小成正比 方向相反 为恢复力常数 只考虑最邻近原子的相互作用 对第n个原子 考虑n 1 n 1原子对它的作用 它的简谐振动的运动方程可写成 设方程组的解是一振幅为A 角频率为 的简谐振动 把它代入到运动方程组中 可得振动频率 和波矢q之间的关系式 即与n无关 表明N个联立方程都归结为同一个方程 15 方程组解的意义 晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系 也即在晶格中存在着角频率为 的平面波 这种波称为格波 一个格波解表示所有原子同时做频率为 的振动 不同原子之间有位相差 此波的波长 2 q 17 3 1 2格波频率与波矢关系 色散关系 与q的这种函数关系称为色散关系或色散曲线 格波的传播速度 格波传播速度是波长 的函数 波长不同的格波传播速度不同 这与可见光通过三角棱镜的情况相似 不同波长的光 在棱镜中的传播速度不同 折射角就不同 从而导致色散 所以称 与q的这种关系为色散关系 18 因为 即qa改变2 的整数倍 原子的振动是一样的 这样 q的取值范围只需要控制在 a之间即可 这个区间称为第一布里渊区 小结 格波是晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动 不同原子间有振动位相差 这种振动以波的形式在整个晶体中传播 19 20 21 色散关系的上述二个性质对更为复杂的晶格振动也是适用的 它们实际上与晶格振动系统的对称性有关 前者涉及时间反演对称性 后者与晶格的周期结构有关 由于色散关系的周期性 可以把它约化到第一 或简约 布里渊区中来表示 23 24 此时频率与波矢为线性关系 相速度与群速度相等 为与波矢无关的常数 由于q取小值属于长波振动模 故上述线性关系为长波近似时的结果 由于长波近似下 格波的波长远大于原子间距 晶格就象一个连续介质 在连续介质中传播的波为弹性波 其波速为声速 它是与波矢无关的常数 故单原子链中传播的长波近似下的格波叫声学波 26 q 0波长无穷大 整个晶格象刚体一样作整体运动 原子间没有相对位移 因而恢复力为0 0 27 29 q a时 2a 邻近原子反向运动 位相相反 所以 恢复力和频率取极大值 30 3 1 4周期边界条件对长度有限的原子链 必须考虑边界条件 玻恩 卡曼Born VonKarman提出了周期边界条件 由N个原子组成一个环状链 原子数目有限 但各原子完全等价 第j个原子的运动与第mN j个原子的运动情况完全一样 一维链的Born VonKarman条件 在BornVonKarman条件下 第一个原子与第N 1个原子的运动状态一样 因此 n为整数 表明描述有限晶格振动状态的波矢q不能连续取值 只能取一些分立的值 32 对一维布拉维晶格 对一维单原子链组成的布拉维晶格 n的取值只能取从 N 2到N 2包括0在内的N个整数值 q也只能取N个不同的值 q的取值数目恰好等于晶体中原胞的数目 每个q对应一个格波 N为一维单原子链的自由度数 表明已经得到了全部振动模 33 3 2一维双原子链许多晶体的原胞里含有的原子数多于一个 为了表示复式格子的晶格振动特性 考虑由两个不同原子组成的一维双原子链 红色原子质量M 绿色原子质量m 34 对绿色原子 对红色原子 当原子链包含N个原胞 即有N个绿色原子和N个红色原子共2N个原子 时 应有2N个方程组成的联立方程组 35 令方程有解 代入 同理 同样与n无关 表明2N个联立方程都归结为同一个方程 36 整理后改写为 齐次方程组有非零解的条件是 一维双原子链的色散关系 38 长光学支格波与长声学支格波的本质差别 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动 振动频率较高 它包含了晶格振动频率最高的振动模式 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移 原胞做整体运动 振动频率较低 它包含了晶格振动频率最低的振动模式 波速是一常数 它代表原胞质心的振动 任何晶体都存在声学支格波 但简单晶格 非复式格子 晶体不存在光学支格波 39 40 仍然采用周期性边界条件 又因为 41 即n共有N个不同的取值 由N个原胞 共含2N个原子 组成的的一维双原子链 q可以取N个不同的值 每个q对应两个解 一共2N个不同的格波 数目正好等于链的自由度 得到了链全部的振动模式 42 43 这三支曲线都是声学波 44 三 晶格振动的一般结论一般地 对m维 原胞包含n个不同种类原子的晶体晶格振动的波矢数 晶体的原胞数单个原胞中的格波支数 原胞内原子的自由度数mn其中有m支声学波 有m n 1 支光学波晶格振动的模式数 晶体的自由度数 即原胞数乘以原胞中的自由度数 46 晶体的弹性力常数 约为15N m 若一个原子的质量为6 10 27Kg 则晶格振动的最大圆频率为 m 1014弧度 秒 最大频率 m约为1013Hz即10THz THz波段在微波与红外光之间 不同材料的晶格振动频谱具有各自的特征 可以作为这个材料的 指纹 THz谱技术作为一种有效的无损探测方法 通过晶格振动频谱可以鉴别和探测材料 格波的应用 47 例 金刚石结构有几支格波 几支声学波 几支光学波 设晶体有N个原胞 晶体振动模式数为多少 解 金刚石结构为复式格子 每个原胞有2个原子 有6支格波 3支声学波 3支光学波 振动模式数为6N 48 3 4声子 phonon 49 51 52 补充 晶体中的原子或分子是按一定的规律排列在晶格上的 彼此间有相互作用 原子并非是静止的 它们总是围绕着其平衡位置在作不断的振动 另一方面 这些原子又通过相互作用力而连系在一起 即它们各自的振动不是彼此独立的 原子之间的相互作用力一般可以很好地近似为弹性力 形象地讲 若把原子比作小球的话 整个晶体犹如由许多规则排列的小球构成 而小球之间又彼此由弹簧连接起来一般 从而每个原子的振动都要牵动周围的原子 使振动以弹性波的形式在晶体中传播 这种振动在理论上可以认为是一系列基本的振动 即简正振动 的叠加 总结 当原子振动的振幅与原子间距的比值很小时 如果我们在原子振动的势能展开式中只取到平方项的话 即所谓的简谐近似 那么 这些组成晶体中弹性波的各个基本的简正振动就是彼此独立的 换句话说 每一种简正振动模式实际上就是一种具有特定的频率 波长 和一定传播方向的弹性波 整个系统也就相当于由一系列相互独立的谐振子构成 按照量子力学 这些谐振子的能量则必须是量子化的 只能取的整数倍 即 其中为零点能 这样 相应的能态 n就可以认为是由 个能量为的 激发量子 相加而成 而这种量子化了的弹性波的最小单位就叫声子 思考题 温度一定 一个光学波的声子数目多呢 还是声学波的声子数目多 解 频率为 的格波的 平均 声子数为 因为光学波的频率比声学波的频率高 大于 所以在温度一定情况下 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目 计算题 试求由5个原子组成的一维单原子晶格的格波频率 设原子质量m 8 35 10 27kg 恢复力常数 15N m 1解 一维单原子链的解为据周期边界条件 此处N 5 代入上式即得 n为整数 由于格波波矢取值范围 故n可取 2 1 0 1 2这五个值 57 相应波矢 由于 代入 m及q值则得到五个频率依次为 以rad sec为单位 8 06 1013 4 99 1013 0 4 99 1013 8 06 1013 58 3 5晶格热容 59 60 61 62 63 64 爱因斯坦模型的计算值比实际值下降得更陡 65 考虑了格波的频率分布 低温时只有长光学波对比热有重要贡献 66 德拜截止频率 有限晶体的振动频率不能无限增大 而是有一上限 经过计算可得