（江苏专用）2020版高考数学总复习第六章第五节数列的综合应用课时作业苏教版.docx

第五节数列的综合应用课时作业练1.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1), f(4), f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+f(2n)=.答案n(2n+3)解析设f(x)=ax+b(a0),由f(0)=1,得b=1.又 f(1), f(4), f(13)成等比数列,所以f(4)2=f(1)f(13),即(4a+1)2=(a+1)(13a+1),解得a=2,则f(x)=2x+1,所以f(2)+f(4)+f(2n)=2(2+4+6+2n)+n=n(2n+3).2.(2018江苏扬州高三模拟)已知各项都是正数的等比数列an的前n项和为Sn,若4a4,a3,6a5成等差数列,且a3=3a22,则S3=.答案1327解析设等比数列an的公比为q,q0,由题意得4a4+6a5=2a3,即4a3q+6a3q2=2a3,解得q=13(舍负),则a3=13a2=3a22,所以a2=19,所以a1=13,a3=127,则S3=13+19+127=1327.3.(2018江苏南京秦淮中学月考)若方程x2-x+m=0和x2-x+n=0的四个实根构成一个首项为15,第4项为45的等差数列,则|m-n|=.答案225解析由题意知构成的等差数列的首项是15,第4项是45,则公差d=15,第2项是25,第3项是35,则|m-n|=1545-2535=225.4.(2019江苏淮阴中学高三模拟)正项等比数列an中,a1=12,a3+a5=10,则log2a1+log2a2+log2a10=.答案35解析设正项等比数列an的公比为q,q0,则a3+a5=12q2+12q4=10,则q=2,an=122n-1=2n-2,则log2an=n-2,则log2a1+log2a2+log2a10=-1+0+1+8=1072=35.5.(2018常州教育学会学业水平检测)各项均为正数的等比数列an中,若a2a3a4=a2+a3+a4,则a3的最小值为.答案3解析设正项等比数列an的公比为q,q0,则由a2a3a4=a2+a3+a4,得a33=a3q+a3+a3q,则a32=1q+q+13,又a30,则a33,当且仅当q=1时取等号,则a3的最小值为3.6.(2018江苏南京多校高三段考)已知ABC的三边长构成公比为2的等比数列,则ABC最大角的余弦值为.答案-24解析设三角形的三边长分别为a2,a,2a(a0),则最大角的余弦值为a22+a2-2a22a22=-24.7.(2017江苏六校联考)已知函数f(x)=x3+x,等差数列an满足: f(a2-1)=2, f(a2 016-3)=-2,Sn是其前n项和,则S2 017=.答案4 034解析由函数f(x)=x3+x可得f(x)为奇函数,且单调递增.由f(a2-1)=2, f(a2 016-3)=-2可得f(a2-1)=f(-(a2 016-3),即a2-1=-(a2 016-3),所以a2+a2 016=4.从而S2 017=a1+a201722 017=a2+a201622 017=22 017=4 034.8.(2018江苏苏州月考)已知数列an中,a1=1且an+1=an+2n+1,设数列bn满足bn=an-1,对任意正整数n,不等式1b2+1b3+1bnm均成立,则实数m的取值范围是.答案34,+解析an=a1+(a2-a1)+(an-an-1)=1+3+5+(2n-1)=n2,bn=n2-1,则1bn=1n2-1=1(n+1)(n-1)=121n-1-1n+1,则1b2+1b3+1bn=121-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1=121+12-1n-1n+1=1232-1n-1n+134,则m34.9.(2018江苏扬州摸底)设数列an的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,nN*,且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1a1+1a2+1an32.解析(1)由2Sn=an+1-2n+1+1得2a1=a2-3,2(a1+a2)=a3-7.又由a1,a2+5,a3成等差数列得2(a2+5)=a1+a3.由得a1=1.(2)2Sn=an+1-2n+1+1,当n2时,2Sn-1=an-2n+1.-,得2(Sn-Sn-1)=an+1-an-2n+1+2n,即an+1=3an+2n(n2),an+1+2n+1=3(an+2n),an+2n是以3为公比的等比数列,an+2n=(a1+2)3n-1=3n,即an=3n-2n(n2).又a1=1满足上式,an=3n-2n(nN*).(3)证明:1an=13n-2n=13n11-23n13n11-23=313n,1a1+1a2+1an313+132+13n=3131-13n1-13=321-13ncn成立.解析(1)设等差数列an的公差为d(d0).a1,a3,a7成等比数列,a1(a1+6d)=(a1+2d)2,2a1d=4d2,d0,a1=2d,又a5=a1+4d=6,d=1,a1=2,an=2+(n-1)1=n+1.(2)bn=an2n=n+12n,Tn=221+322+423+n+12n,12Tn=222+323+n2n+n+12n+1,12Tn=1+122+123+12n-n+12n+1=1+141-12n-11-12-n+12n+1=32-n+32n+1,Tn=3-n+32n.(3)cn=4n+(-1)n-12n+1,cn+1=4n+1+(-1)n2n+2,对任意的nN*,要cn+1cn恒成立,则当n为偶数时,4n+1+2n+24n-2n+1,32n+1-34n,-2n-1(n=2,4,6,).n为偶数,当n=2时,(-2n-1)max=-2,-2;当n为奇数时,4n+1-2n+24n+2n+1,32n+134n,2n-1(n=1,3,5,).n为奇数,当n=1时,(2n-1)min=1,1.由得-20),其前n项和为Sn,设bn=an+an+1(nN*).数列bn的前n项和为Tn,满足Tn=n2.(1)求证:数列bn的任意连续三项不成等比数列;(2)求数列an的通项公式;(3)若nN*,且n2,不等式(an-1)(an+1-1)2(1-n)恒成立,求a的取值范围.解析(1)证明:由Tn=n2,得bn=Tn-Tn-1=2n-1(n2),由于b1=1符合上式,所以bn=2n-1(nN*),假设bn中存在连续三项bk-1,bk,bk+1(kN*,k2)成等比数列,则bk2=bk-1bk+1,即(2k-1)2=(2k-3)(2k+1),可得4k2-4k+1=4k2-4k-3,显然不成立,所以假设不成立,从而数列bn的任意连续三项不成等比数列.(2)由(1)得an+an+1=bn=2n-1.所以an-(n-1)=-(an+1-n),即an+1-nan-(n-1)=-1,所以数列an-(n-1)为等比数列,且公比为-1,因为a1=a0,所以an=a(-1)n-1+n-1(nN*).(3)不等式(an-1)(an+1-1)2(1-n)可转化为anan+1-(an+an+1)+12(1-n),由于an+an+1=2n-1,所以不等式为anan+10.当n是奇数时,an=a+n-1,an+1=-a+n,所以anan+1=(a+n-1)(-a+n)=-a2+a+n(n-1)0,即-a2+a-n(n-1)对任意nN*,且n2恒成立,所以-a2+a-2,解得-1a2.当n为偶数时,an=-a+n-1,an+1=a+n,由anan+10,得-a2-a-n(n-1)对任意nN*,且n2恒成立,所以-a2-a-2,解得-2a1,又a0,所以a的取值范围是00,a20,a0,10,解得a2,则实数a的取值范围是(2,+).5.已知函数f(x)=2sin x+1(x0,2),若函数h(x)=|f(x)|+a有两个不同的零点,则a的取值范围是.答案a|-3a-1或a=0解析作出函数|f(x)|的图象(图略),则-3a-1或a=0时,函数h(x)有两个不同的零点.6.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若ABAF=2,则AEBF的值是.答案2解析以顶点A为坐标原点,AB、AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,其中AB、AD的方向分别为x轴、y轴的正方向,则B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(2,1),F(xF,2),所以ABAF=(2,0)(xF,2)=2xF=2xF=1,即F(1,2),所以AEBF=(2,1)(1-2,2)=2(1-2)+2=2.7.设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的条件.答案充分不必要解析由存在负数,使得m=n,可得m、n共线且反向,夹角为180,则mn=-|m|n|0,故充分性成立.由mn0,可得m,n的夹角为钝角或180,故必要性不成立.8.(2019江苏南京模拟)已知常数a0, f(x)=aln x+2x.(1)当a=-4时,求f(x)的极值;(2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围.解析(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+), f (x)=ax+2=a+2xx.当a=-4时, f (x)=2x-4x.所以当0x2时, f (x)2时, f (x)0,即f(x)单调递增,所以f(x)只有极小值,且在x=2时, f(x)取得极小值f(2)=4-4ln 2.所以当a=-4时, f(x)只有极小值4-4ln 2,无极大值.(2)因为f (x)=a+2xx,所以当a0,