应用牛顿定律解题时的坐标选择.doc

1 应用牛顿定律解题时的坐标选择 北京九中 肖伟华 牛顿运动定律是解决动力学问题的基本理论 是建立物体运动图景的重要依据 也是 正确应用能量规律 动量规律的基础 在实际应用中 常常有许多同学遇到困难 对学生 出错的原因进行分析发现 一个重要的原因是学生对牛顿定律的矢量性和独立性理解不到 位 在操作中 不能根据实际情况灵活 正确的建立坐标系 导致解题困难 本文结合具 体例子 说明在应用牛顿定律解题的过程中 根据不同情况 如何恰当的进行坐标系的选 择 一 牛顿第二定律的矢量性与坐标选择 牛顿第二定律的内容是 物体的加速度大小跟它受到的作用力成正比 跟它的质量成 反比 加速度的方向跟作用力的方向相同 牛顿第二定律的数学表达式是 maF 牛顿第二定律不仅揭示了加速度大小与受到的外力的关系 还揭示出加速度方向与外 力方向的关系 加速度的方向总是与合外力的方向相同 这正是牛顿第二定律的矢量性 也 就是说 牛顿第二定律方程是一个矢量方程 在中学阶段 矢量运算一般要转化为标量运 算 建立坐标系则是实现这一转化的基本手段 例 1 静止在水平地面上的物体质量 2kg 与地面的摩擦因数 0 5 现对物体施加 10N 的拉力 F F 与水平面的夹角 37 求物体的加速度 分析与解 物体受力如图 1 由于物体在竖直方向处于平 衡 在水平方向运动 加速度方向一定在水平方向上 所以 以水平向右为 x 轴正方向建立正交坐标系 y mgFFN sin x maFF f cos Nf FF 得 2 5 0sma 即加速度大小为 0 5m s2 方向水平向右 例 2 质量为 m 的木块 A 置于倾角为 的固定斜面上 它与斜 面间的动摩擦因数为 一水平力 F 作用在木块 A 上 在力 F 的推 x y F G Ff FN F1 F2 图 1 F F x y FN G F1 F2 G2 G1 G1 Ff 图 2 2 动下 木块 A 沿斜面以恒定的加速度 a 向上滑动 则 F 的大小 分析与解 物体受力如图 2 物体的加速度沿斜面向上 所以以沿斜面向上 x 轴正方向 建立正交坐标系 Y sincosFmgFN x maFmgF f sincos Nf FF 得 sincos cossin mamgmg F 多数情况下 物体的加速度方向或所受合外力方向明确 我们都可以建立这种坐标系 即以加速度方向为正方向建立坐标系 建立这种正交坐标系后 可以把物体受到的力投影 到两个坐标轴上 分别对两个坐标轴建立力的方程 力的平衡方程或牛顿第二定律方程 由于建立了坐标系 在建立力的方程时 可以直接根据一条直线上力的运算法则进行计算 使运算得到简化 二 牛顿定律的独立性与坐标选择 牛顿第二定律的独立性是指当物体受到几个力的作用时 每个力都会独自对物体产生一 个加速度 就像其他力不存在一样 独立性原理为我们在应用牛顿定律时提供了另一种坐标 选择 分解加速度 例 3 如图 3 所示 质量为 60kg 的人与电梯一起以 1m s2的加速度加速上升 37 求电梯对人的支持力与摩擦力 g 10m s2 解 对人 受力分析如图 3 以水平向右为 x 轴正方向建立正交坐标系 分解加速度 cosaax sinaay y sinmamgFN x cosmaFf 得 NmamgFN636sin NF f 48 例 4 如图 4 所示 电梯里有一个倾角为 的斜面 斜面上放一个质量为 m 的物体 当电梯以加速度 a 匀加速上升时 求 物体对斜面的压力和摩擦力 解 对 m 受力分析如图 4 沿斜面向上为 x 轴正方向建立正交坐标系 x y a ax ay G FN Ff 图 3 3 分解加速度 sinaax cosaay y coscosmamgFN x sinsinmamgFf 得 coscosmamgFN sinsinmamgFf 在例 3 和例 4 中 根据牛顿定律 的独立性原理 我们沿所求力的方向建立坐标系 对加速度和其他力进行分解 这样选择 坐标系的优点是避免了对所求力进行分解 使计算得到简化 三 匀减速运动中的坐标选择 在匀减速运动中 物体受到的合力与速度方向相反 此时如何选择坐标系呢 以下两 种方法都可行 其一 规定初速度方向为正方向 与此相同的取正 相反的取负 其二 建立牛顿定律方程时以 a 的方向为正方向 列运动学方程时 应用逆向思考法列方程 例 5 一物体以初速度为 v0 10m s 在水平面上运动 物体与水平面间的滑动摩擦因数 为 0 2 求物体在水平面上滑行的距离 解 法一 以 v0方向为正方向建立坐标系 如图 5a 所示 maf Nf FF mgFN axv20 2 0 得 2 2sma mx25 法二 以 a 的方向为正方向建立坐标系 如图 5b 所 示 maFf Nf FF m a m a y x G G1 G2 FNFf ax ay 图 4 图 4 x x mg Ff FN v0 图 5a x mg Ff FN v0 x a 图 5b 4 mgFN axv2 2 0 得 2 2sma mx25 可以看到 法二的好处是在方程中不出现 号 避免了因 号带来的麻烦 但在应用法二的坐标系时 我们把一个匀减速运动看做一个反向的匀加速运动 因此 要 对逆向思考法有深刻的理解 四 圆周运动中的坐标选择 牛顿运动定律在圆周运动动力学中的应用体现在向心力方程的建立上 建立向心力方 程时 通常以运动质点为坐标原点 以圆周的切线方向和法线方向 指向圆心的方向 为 正方向建立坐标系 这时的坐标系是一个做匀速圆周运动的坐标系 通常称自然坐标系 例 6 如图 6 所示 一个质量为 m 的小球被一根长度为 l 的细绳拴住绕固定点 O 在竖 直面内做圆周运动 刚好能通过最高点 A 求 1 小球通过最高点 A 时的速度 2 小球通过 B 点 OB 点与水平方向的夹角为 37 时细线对小球的拉力 分析与解 小球刚好通过最高点 此时细绳的拉力为零 重力提供向心力 如图 6a 所示 l v mmg 2 glv 小球通过 B 点时 受力如图 6b 所示 由图可 知 l v mmgF B T 2 37sin 根据机械能守恒定律 得 22 2 1 37sin1 2 1 B mvmglmv 得 mgFT2 1 如果做圆周运动的物体受力与圆周平面不在一个平面内 则要建立三维坐标系 即圆 周平面与垂直圆周平面的坐标系 O A 37 B 图 6 O A x y vA mg 图 6a O 37 B mg x FT y vB G1 B G2 B 图 6b 5 例 7 如图 7 所示 沿半径为 R 的球形碗的光滑内表面 质量为 m 的小球正以角速度 在水平面内作匀速圆周运动 则此时小球离碗底的高度 h 分析与解 小球在水平面内做圆周运动 竖 直方向上受力平衡 如图 7 所示 在圆周平面 内建立 x y 轴 y 轴未画出 竖直方向建立 z 轴 设小球与 O 点连线与竖直方向成夹角 则 有 x 2 sin mrFN z mgFN cos 其中 sinRr cosRRh 得 2 g Rh 五 灵活选择坐标系 牛顿定律的矢量性与独立性决定了 我们在解决具体问题时 要根据解题的方便灵活 的选择坐标系 例 8 一个质量为 m 2kg 的小球被一细线固定在倾角 45 的斜面体上 斜面光滑 能在水平面上运动 若保持小球与斜面相对静止 g 10m s2 当细线拉力为零时 斜面体的加速度大小及方向 当斜面体的以加速度为 6m s2向左加速时 小球对细线的拉力及对斜面 的压力 解 当细线的拉力为零时 对小球 受力如图 8a 所示 建立水 平 竖直坐标系 y mgFN cos x maFN sin 得 方向水平向左 2 10smgtga 当 a 6m s2时 可知绳子有拉力 对小球 受力如图 8b 所示 沿斜面向上为正方向建立正交坐标系 分解加速度 cosaax sinaay y sincosmamgFN h O R 图 7 O z x FN FN1 FN2 mg 图 7 图 8 FN G x y FN1 FN2 图 8a FN G x y FT G G2 G1 a ay ax 图 8b 6 x cossinmaFmg T 得 NmamgFN 6 22sincos NmamgFT7 5cossin 根据牛顿第三定律 小球对斜面的压力为 22 6N 对细线的拉力为 5 7N 例 9 一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上 其轴线沿竖直方向 母线与轴线之间的夹 角为 300 一条长度为 l 的绳一端的位置固定在圆锥体的顶点 O 处 另一端拴着一个 质量为 m 的小物体 物体可看成质点 物体以速率 v 绕圆锥体的轴线做水平面内的匀速 圆周运动 当时 求绳对物体的拉力 glv 6 1 当时 求绳对物体的拉力 glv 2 3 分析与解 当 FN 0 时 小球恰好在圆锥面上做圆周运动 临 界状态 此时 对小球 受力如图 9 建立水平 竖直坐标系 y mgFT cos x 向 maFT sin sin 2 l v a 向 得 glgltgv 6 3 sin 当时 锥面对小球有支持力 glglv 6 3 6 1 对小球受力分析如图 9a 沿斜面 垂直斜面建立坐标 系 分解加速度 sin 向向 aa x cos 向向 aa y y cossin 向 maFmg N x sincos 1向 mamgFT FT 300 G FT1 FT2 x y 图 9 300 G FN FT1 x y G1 G2 a向 a向 x a向 y 图 9a 7 sin 2 l v a 向 得 mgmamgFN 6 33 cossin 向 mgmamgFT 6 331 sincos 1 向 当 小球已飘起 做圆锥摆运动 小球受力glglv 6 3 2 3 如图 9b 建立水平 竖直坐标系 设绳与竖起方向的夹角为 y mgFT cos 2 x 向 maFT sin 2 sin 2 l v a 向 得 60 mg mg Ft2 cos 2 矢量方程是高中物理中非常重要的一类方程 相比于标量方程 矢量性和独立性是它