理论力学教程周衍柏第三版ppt课件

理论力学教程 第三版 周衍柏 编 高等教育出版社 1 0 1力学的研究对象 力学 mechanics 的研究对象是机械运动 mechanicalmotion 经典力学研究在弱引力场中宏观物体的低速运动力学 运动学 静力学 动力学 Natureandnature slawlayhidin night Godsaid letNewtonbe Andallwaslight 2 理论力学与普物力学的关系 理论力学是力学的延续与提高主要的概念和定律一样理论力学用高等数学方法处理物理问题分析力学 3 理论力学的任务 研究物体机械运动的一般规律 理论力学的研究对象有限个自由度的力学体系 质点刚体 两个模型 4 理论力学研究的条件 宏观低速下 质量不变 绝对时间 绝对空间 5 v c 物体的尺度 原子 分子尺度 理论力学的学习 预备知识 普通力学 高等数学以公理 定律为依据 应用数学推演的方法导出其他定理和结论偏重于问题的提出 求解严格基础训练 强化现代技术应用注重问题的延拓分析培养科学精神 6 科学是一种方法 它教导人们 一些事物是怎样被了解的 什么事情是已知的 现在了解到什么程度 因为没有事情是绝对已知的 如何对待疑问和不确定性 证据服从什么法则 如何去思考事物 做出判断 如何区别真伪和表面 理查德 费曼 现象 参考书 梁昆淼 梁昆淼 赵凯华 卢德馨 力学 力学 力学 上册 第四版 高等教育出版社 2009 下册 第四版 高等教育出版社 2010 第二版 高等教育出版社 2004 大学物理学 第二版 高等教育出版社 2003 7 0 2 理论力学的内容结构 矢量力学 即牛顿力学 分析力学 矢量力学是以牛顿运动定律为基础 从分析质量和物体受 力情况 由此探讨物体的机械运动规律 在矢量力学中 涉及的量多数是矢量 如力 动量 动量矩 力矩 冲量等 力是分析力学中最关键的量 分析力学以达朗贝尔原理为基础 从分析质量和质量系能量情 况 由此探讨物体机械运动规律 分析力学中涉及的量多数是标量 如动能 势能 拉格朗日函数 哈密顿函数等 动能和势能是最关键的量 8 0 3 力学简史 牛顿力学的建立 在哥白尼 日心说 推翻了托勒密的地心说 和在第谷布拉赫积累的天文观察资料基础上 开普勒发现了行星三定律 总结万有引力定律 牛顿总结了三定律 自然哲学的数学原理 1687 分析力学 1788 拉格朗日力学建立 至此认为力学天衣无缝 近代力学 19世纪末 20世纪初出现了经典力学无法解释的矛盾 1 高速 与c比 相对论 爱因斯坦 2 微观粒子 量子力学 薛定谔 3 纳米技术 0 1 100nm尺度起关键作用 原子直径10 10m 人头发10 4m 人100m 9 0 4 力学单位制 物理理论组成 概念 概念的数学表示假定 方程组 物理量的关系 单位制通过以下步骤建立 选出几个相互独立的物理量作为基本量 选取可以直接测量的物理量 通常基本量都是 1 由物理规律或定义推出用基本量表示的其他量 导出量 的关系式 称为导出关系式 确定出基本量的单位 基本单位 力学常用基本量为长度 米 m 质量 千克 kg 时间 秒 s 10 2 3 由导出关系式确定出导出量的单位 导出单位 基本量的量纲为其本身 并规定用基本量的符号的正体大写字母作为基本量的量纲的符号 导出量的量纲通过导出关系式用基本量的量纲表示 单位制 按照上述方法制定的一套单位 常用单位制 MKS CGS 自然单位制 单位制制订要考虑不易变化以及测量的方便程度 4 5 6 11 12 时间 time 的计量 以前定义 1秒为地球绕自身轴线转动一周 1天 的1 86400 目前时间标准 1秒的长度等于与铯133原子基态两个超精细能级之间跃迁相对应的辐射周期的9192631770倍 未来定义 原子氢微波激射器 因为它比铯原子钟稳定度高100倍 13 时钟的改进 14 长度 length 的计量 空间反映物质运动的广延量 在三维空间里位置可由三个相互独立的坐标来确定 空间中两点间的距离为长度 1889年 第一届国际计量大会 法国国际计量局铂铱合金棒在0oC时两条刻线间的距离定义为1米 1960年 第十一届国际计量大会 采用氪86原子橙黄光波长的1650763 73倍定义为1米 实现了自然基准 1983年 第十七届国际计量大会 1米定义为光在真空中传播 1 299792458 秒的时间间隔内所经路程的长度 15 质量 mass 的计量 物体所含物质的多少 惯性质量引力质量1889年 第一届国际计量大会 1千克质量的实物基准是保存在法国巴黎国际计量局中的一个特制的 直径和高均为39mm的铂钇合金圆柱体 称为国际千克原器 未来标准 是否采用自然基准 16 物质世界的层次和数量级 17 物质世界的层次和数量级 micron second us nano second ns 18 目前已知质量范围 已知宇宙银河系地球人灰尘烟草花叶病毒质子电子 1053kg2 2 1041kg6 0 1024kg6 0 101kg 10 10kg 10 13kg 10 27kg 10 31kg 6 72 31 79 1 19 力学量的单位 20 力学量 MKS制 CGS制 工程制 长度质量时间速度加速度力动量冲量功 能 m 米 kg 千克 s 秒 m s 米 秒 m s2 米 秒2 N 牛顿 kg m sN sN m cm 厘米 g 克 s 秒 cm s 厘米 秒 cm s2 厘米 秒2 dyn 达因 dyn sdyn serg 尔格 m 米 kgf m s2 s 秒 m s 米 秒 m s2 米 秒2 kgf 千克力 kgf skgf skgf m g cm s 0 5 量纲 dimension 在不考虑数字因子时 表示一个物理量是由哪些基本量导出的以及如何导出的式子 称为这个物理量的量纲 在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度 质量和时间 它们的量纲分别为L M和T 任何力学量Q的量纲为 Q L M T 式中 为量纲指数 21 量纲分析 定理 设我们在选定单位制中的基本量数目为m 它们的量纲为X1 X2 Xm 用 P 代表导出量P的量纲 则 Xam Xa1Xa2 P 1 2 m 上式取对数 ln P a1lnX1 a2lnX2 amlnXm 把lnX1 lnX2 lnXm看做m维空间的 正交基矢 则 a1 a2 am 相当于 矢量 ln P 在基矢上的投影 22 定理 P1 P2 Pn 设某物理问题内涉及n个物理量 包括物理常量 而我们所选的单位制中有m个基本量 n m 则由此可以组成n m 个无量纲的量函数关系式 在物理量 之间存在的 P P P 1 2 n m 12 n f P1 P2 Pn 0可表达成相应的无量纲形式 F 1 2 n m 0 1 2 n m 或者从上式把 1解出来 n m的情况下 有两种可能 若P1 P2 Pm的量纲彼此独立 则不能由它们组成无量纲的量 如不独立 则还可能组成无量纲的量 23 例1虽然单个微粒撞击墙壁的力是局部而短暂的脉冲 但大量粒子撞击的平均效果就是均匀而持久的压力 如设粒子流中每个粒子的速度都垂直于墙壁 并大小一样 皆为v 粒子质量为m 单位体积内的粒子数为n 试导出墙壁受到的压强与上述三个物理量之间的关系 这是一个力学问题 有三个基本量 质量 长度和时间 即m 3 本题涉及的物理量 n m v P m 4 的量纲分别为 解 ln n 0 lnM 3 lnL 0 lnT0 lnT ln m 1 lnM ln v 0 lnM 0 lnL 1 lnL 1 lnT 1 ln P 1 lnM 1 lnL 2 lnT 由于只有3个基本量 相当于3维基矢空间 所以上述4个量只有3个是线性无关的 设前3个是无关量 则有 24 ln P x1ln n x2ln m x3ln v 将 1 式代入 则有1 lnM 1 lnL 2 lnT x1 0 lnM 3 lnL 0 lnT 0 lnT x2 1 lnM x3 0 lnM 0 lnL 1 lnL 1 lnT 由于lnM lnL lnT是正交基矢 在上式中它们的系数应分别相等 0 x1 1 x2 3 x1 0 x2 0 x1 0 x2 0 1 x3 1x3 1 1 x3 2 x1 1 x2 1 x3 2 求解上述方程组 得到 25 于是我们得到 ln P 1 ln n 1 ln m 2 ln v 从而得到P knmv2k是一个无量纲的数学常数 根据具体情况不同 k可能变化 而压强与这三个物理量的关系是不变的 总结 利用量纲分析 虽然不能完全定量的给出物理问题的答案 但是能够对物理问题提供一个简便的分析思路 甚至不需要知道定律和物理机制的细节 26 例2解 用量纲分析法证明勾股定理直角三角形的面积A可由它的一边 例如斜边c 和一个锐角 如 所决定 是无量纲的 所以 A c2 如图 作c边的垂线将三角形分成两个与原来相似的小直角三角形 它们各有一个同样的锐角 故它们的面积应分别为 A a2 A b2 1由A A1 A2得 2 c a c2 a2 b2 c2 a2 b2 消去 即得 b 这样我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理 27 0 6 微积分预备知识 常见函数的导数 1 n dy dx xn y nxn 1 y dxdy dx dsinx y sin x y cosx dxdy dxdcosx y cos x y sin x dx dxdlnxdx dydx 1x y lnx y x dy de ex y ex y dx dx 28 导数运算定理 2 d du dv u x v x dxd dx dx du dv u x v x v x u x dx dx dx du dv u x v x d u x dx dx v x 2 dx v x d dudv u v x dx dvdx 29 3常见函数的幂级数展开式 函数 展开式 收敛范围 x 1 2x 3 2x 5 2x 1 2x 3 2x 5 2x 1x 2 x2x2x2 x3x3x3 x4x4x4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 3 1 1 3 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 xxxxx 2 43 1 2 4 63 1 1 2 4 6 83 1 1 3 23 xx 25 2 45 3 2 4 65 3 1 2 4 6 85 3 1 1 2 4 2 4 61 3 5 2 4 6 8 2 x2x2x2x2 x3x3x3 x4x4x4 1 1 1 x 1 3 1 3 5 7 1 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 3 xx 3 5 3 5 7 3 5 7 9 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 5 7 5 7 9 5 7 9 11 5 x 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 x3 x4 1 x xx 1 2x 3x2 4x3 5x4 30 x31 x51 sinxcosx x 1 x417 1 x 3 5 x2 x6 1 x3 1 x 2 4 6 x5x2 x7 x9 tan x x 1 2 62 x 3 15 315 2835 exln 1 x3 x4 1 1 x x 1 1 1 1 x 1 2 3 4 x2 x3 x4 1 1 1 x 1 x 2 3 4 x x2 x3 x4 ln 1 1 1 1 1 x 1 x 2 3 4 31 4基本不定积分公式 函数 不定积分 f x f x dx n 1 x xn n 1 C n 1 cosx Csinx C sinx cos1 x ln x C xex ex C 32 5积分运算定理 i 如果f x a是常量 则 a u x dx a u x f x dx ii 如果f x u x v x 则 f x dx u x dx v x dx u v v x 则 u v v x dx 如果f x iii u v dv f x dx 33 0 7 矢量基本知识 标量 scalar 物理学中像质量 密度 能量 温度 压强等 在选定单位后仅需用一个数字来表示其大小的物理量 矢量 vector 像位移 速度 加速度 动量 力等 除数量大小外还有一定的方向 并遵从一定的合成法则与 随坐标变换的法则的物理量 z A Axi Ayj Azk Ax Acos cos2 cos2 Ay Acos Acos Az A cos2 k 1 Ax y y34 2 2 2 2 A Ax Ay Az j x i Az A 1矢量的加减法 A1 A2 An B1 B2 Bn 则 考虑n维矢量 A B A1 A2 An B1 B2 Bn A1 B1 A2 B2 An Bn B A 交换律 A B B A A B C A B C矢量的标积 结合律 2 A和B是两个任意矢量 它们的标积定义为 AxBx AyBy AzBz A B ABcos B A A B A B 交换律 分配律 A B C A B A C 35 矢量的矢积 3 A和B是两个任意矢量 它们的矢积定义为 A B AyBz AzBy i AzBx AxBz j AxBy AyBx k iAxBx jAyBy kAzBz C ABsin C A B B A B B A 反交换律 A A B C A B A C 36 矢量的三重积物理学中经常遇到矢量的三重积 常见的两种 4 A B C i 三重标积 Ax Ay Az A B C B C A C A B A B C B B B x y z Cx Cy Cz A B C ii 三重矢积 A B C A C B A B C 显然这个矢积还是在矢量B和C平面内 37 第一章 质点力学 1 1运动的描述方式 1 2 速度 加速度的分量形式 1 3 平动参考系 1 4 质点运动定律 1 5 质点运动微分方程 1 6非惯性系动力学 一 1 7功与能 1 8质点动力学的基本定理与基本守恒定律 1 9有心力 第一章部分作业解答 第一章质点力学 1 质点运动学 质点动力学 2 运动学的主要内容 研究物体运动的几何性质 运动学所涉及的研究内容包括 1 建立物体的运动方程2 分析运动的速度 加速度 角速度 角加速度等3 研究运动的分解与合成规律 3 质点运动学导读 参考系 坐标系 质点位矢运动学方程 轨道位移 速度 加速度自然坐标系 切向 法向加速度 相对运动 绝对 加 速度 相对 加 速 度 牵连 加 速度 4 1 1 运动的描述 本节导读 质点 参考系 坐标系 质点位矢运动学方程 轨道位移 速度 加速度 5 1 质点 具有一定质量的几何点 自由质点 可以在空间自由运动的质点 确定一 个自由质点在空间的位置需要三个独立变量 2 参考系 坐标系 参考系 为描述物体的运动而选取的参考物体 坐标系 用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统 6 3 位置矢量与运动方程 z 位置矢量 位矢 从坐标原点O出发 指向质点所在位置P的一有向线段位矢用坐标值表示为 P x y z r O y x r xi yj zk 位矢的大小为 x2 y2 z2y r x z cos cos cos 位矢的方向 r r r 7 运动方程 r x t i y t j z t k 参数形式 xyz x t y t z t 轨道方程 F x y z 0 8 4 位移 z A B r 设质点作曲线运动 rA rB t时刻位于A点 位矢rAt t时刻位于B点 位矢 O rB y x质点相对于某参考系运动时 位置连续变化 在给 定时间内 联结质点初位置A和末位置B的直线 并从A指向B加上箭头 叫做质点在给定时间内的位移 9 r rB rA AB 5 速度速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量 定义 单位时间内质点所发生的位移 z A 1 平均速度 B r rA rB 2 瞬时速度 O y r lim dr m s 1 v t dt t 0 x 速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向 10 rv ms t v vxi vy j vzk s B 2 2 2 v v vx vy vz A r lim 3 速率 t dt 一般情况 因此 r s v 则 r dr ds v v 当 t 0时 11 v v s ds t 0 v1 z 6 加速度加速度是反映速度变化的物理量 v2 O 平均加速度 y 瞬时加速度 x k i j dvy dvx dvdt dvz a v1 dt dtd2y dt v k i j d2x d2z v2 dt2 dt2 dt2 2 2 2 ax ay a az12 axi ayj azk v m s 2 t a 运动学的主要内容 研究物体运动的几何性质 运动学所涉及的研究内容包括 1 建立物体的运动方程2 分析运动的速度 加速度 角速度 角加速度等3 研究运动的分解与合成规律 质点运动学导读 参考系 坐标系 质点位矢运动学方程 轨道位移 速度 加速度自然坐标系 切向 法向加速度 相对运动 绝对 加 速度 相对 加 速 度 牵连 加 速度 1 2 速度 加速度的分量表示式 本节导读 直角坐标系中位移 速度 加速度表示极坐标系中位移 速度 加速度表示切向加速度与法向加速度 1直角坐标系 位置矢量 r xi yj zk 速度表示 d z k x i y j r v dt 加速度表示 d v x i y j z k a dt 运动学的两类问题 1 已知运动方程 求质点任意时刻的位置 速度以及加速度 d d 2 dr dv dr d r t v a r 2 dt dt dt 2 已知运动质点的速度函数 或加速度函数 以及初始条件求质点的运动方程 轨道方程 v t dv adt v dv t adt 0 0 r t dr vdt r dr t vdt 0 0 r 2ti 19 2t j 2 例1已知质点的运动方程 求 1 轨道方程 2 t 2s时质点的位置 速度以及加速度 3 什么时候位矢恰好与速度矢垂直 y 19 2t2 解 1 x 2t 1 x2 y 19 消去时间参数 2 2 2i 19 2 22 j 2 4i 11j m s r t 2 d r v 2i 8j v 2i 4tj t 2 dt 8 8 2 arctan 75 58 22 8 25 v m s 2 2 d 4j dv 2i 4tj r a v dt dt a 4m s 2 方向沿y轴的负方向 r v 2ti 19 2t2 j 2i 4tj 3 2 2 4t 4t 19 2t 4t 2t 18 8t t 3 t 3 0 t1 0 s t2 3 s 两矢量垂直 例2 路灯距地面高度为h 身高为l 的人以速度v0在 路上匀速行走 求 1 人影头部的移动速度 2 影长 增长的速率 解 1 x2 x1 x2 l h l x2 h hx1 两边求导 h l dx2 dx1 h dt dtdx1 dx2 hv0 其中 v v v 0 dt dt h l lOx1x2x h b x2 x1 2 令 为影长 l dbdt l dx2 b x2 v h h dt dx hv 2 0 以 代入 h l dt lv0 v 得 h l 设椭圆规尺AB的端点A和B沿直线导槽Ox及Oy滑 例3 动 而B以匀速度c运动 求尺规上M点的轨道方程 速 MB b 角OBA为 度及加速度 其中MA a 解 由图知 M点的坐标为 yB x bsin acos y 消去 得轨道方程 b x2 y2 M 1 a b2 a2 y x A O 速度分量为 b cos a sin x y x y1 a b cos x1 0 因B点坐标为 b sin y 1 vB a 1 c c sin a b bc ac x cot y 故M点速度分量 a b a b 故M点加速度分量 2 42 bc bc bc1 2 3 x csc b csc a b 2 a b 2 x3 a y 0 例4当猴子从最高点自由下落时 射手瞄准射击 问能否击中目标 分析 猴子和子弹都有重力加速度 可以用二维空间描述位置 解 取枪口作参照点 猴子初始位置r0 子弹初速度为v0 则时刻t猴子和子弹的位置为 r0 2 2 rc r0 1 gt rb v0t 1 gt h0 v0 2 2 d o rc rb r0 v0t 击中的条件 r0 rc rb r0 v0t h0 v0 这说明只要开始瞄准就可以击中猴子 但是有没有限制条件 d o 分析击中需要的时间和击中时的竖直位置 d2 h2 h2 d2 g 0 0 t h h1 0 0 c v2 v 2h 0 00 g h0 d 2 2 v2 显然只有 时才可能击中 0 2h0 极坐标系 2 极坐标系 空间P的位置 r 当P沿着曲线运动 速度沿轨道的切线 v j i P c r r ri 沿矢径方向 O 极轴 dr d ri r i ri v dt dt i dii djj 当d 趋向0时 i i di组成的等腰 jd d Q 三角形两个底角接近直角 所以 j i P r2 i di dj j c r1 d di dj O d d 极轴 i d j di 从而 i Q di di j j d i P d d dt dtd dj dj O i d dt dt r r i v j r r i j 为径向速度 为横向速度 d v d r i d r j a 加速度 dt dt dt i r i j dr d r i d i r r j dt dtdr dt dj j d d r j j r r dt dt dt dt 2 r r j r i a r r r 2 i 2r 1d r j r r i j 2 2 rdt 小结 r r i v j r j r i 为径向速度 为横向速度 d v d r i d r j a dt dt dt r 2 r a r 1d r2 2r r a rdt 3 自然坐标中的速度和加速度 在质点的运动轨迹上 任取一点O作为坐标的原点 从原点O到轨迹曲线上任意一点P的弧长定义为P 点的坐标 s P s O s sQ sP 自然坐标之差 路程 坐标轴的方向分别取切线和法线两正交方向 en et P s s Q O en et et 规定 切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正 单位矢量 为 en 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正 单位矢量为 ds dr 因为 v drdtds dsdt 速度 v et s P Q 速率 v v dt vt 加速度 v vt vn v v v v vn lim lim t n a a t t v t 0 t 0 v2 dv dve a e a t t n n dt 全加速度 全加速度的大小 at an 全加速度的方向 arctananat 22 a an at 例5 一质点沿半径为R的圆周运动 其路程s随时间 s bt ct2 2式中b c为大于零的常 t的变化规律为 数 且b2 Rc 求 1 质点的切向加速度和法向加速 度 2 经过多长时间 切向加速度等于法向加速度 ds 解 1 v b ct dt dv 2 2 b ct v c a a t n dt R R 2 b R an at t c c 运动学的主要内容 研究物体运动的几何性质 运动学所涉及的研究内容包括 1 建立物体的运动方程2 分析运动的速度 加速度 角速度 角加速度等3 研究运动的分解与合成规律 质点运动学导读 质点 参照系 坐标系 质点位矢运动学方程 轨道位移 速度 加速度自然坐标系 切向 法向加速度 相对运动 绝对 加 速度 相对 加 速 度 牵连 加 速度 1 3 平动参考系本节导读 相对运动绝对 加 速度相对 加 速度牵连 加 速度 y v y S P r S x O r0 r x O r r0 r v v v v 车做匀速运动时车上 车做匀速直线运动时 a b 的人观察到石子做直线运动 地面上的人观察到石子做抛物线运动 y S r S r vx r0 x r r r0 dr drdt dr0 两边求导 dt dt y dr 绝对速度 v S 物体相对于 系的速度 dt dr0 牵连速度 v S 系相对于 S 系的速度 0 dt dr v 相对速度 物体相对于S 系的速度 dt 小结 y v y S dr drdt dr0 P r S x dt dt O r0 r x O dv dvdt dudt 0 dt vxb vab vax a a a v u v 例1 某人骑自行车以速率v向东行驶 今有风以同样的 速率由北偏西30 方向吹来 问 人感到风是从哪个方向吹来 解 v v v0 v0 北偏西30 v v 例2求抛体轨道顶点的曲率半径 v0cos g 解 在抛物线的顶端处 速度只有水平分 v0 量v0cos 加速度g沿法向的 所以an g 是 v cos 2 vcos 2 x2 0 0 m 曲率半径为 g an 8ym 式中xm和ym分别是射程和射高 例3 已知 小船M看成质点 被水冲走 用绳拉回A 点 设水流速度c1 拉回速度c2 求 小船的轨迹 分析 注意c1 c2都是绝对速度 解 采用极坐标 c1 M c r 1 c2 dr 径向 c A 2 dt d ccos 900 r 横向 1 dt dr c2 csc d 解微分方程 两式相除 r c1 积分 c 2 lnr lntan c c1 2 c2 k 令 c1 2 设初始条件 0 r r0 0 t k k cot 0 r r0 tan 得轨道方程 u v 例4 当人站在岸上以速度v匀速拉动何种小船时 求 小船的运动速度和加速度 x2 l2 h2 解 l2 h2 x XX 1 i x d xi 1 d l h2 2 l2 x u 2l dt 2 dt vi l u l2 h2 i 22 du vh a x3 dt Llhh u v 质点运动学小结 质点 参考系 坐标系 质点位矢运动学方程 轨道位移 速度 加速度 yj 直角坐标系 1 r xi zk d z k x i y j r v dt d z k x i y j v a dt 极坐标系 2 r r i v j 径向速度 横向速度 d v d r i d r j a dt dt dt 1r d r r 2 a 2r r 2 r a dr r dt ds 3自然坐标系 v e t dt dt dv v2 dve v a an en t t dt 相对运动 4 y v y S dr drdt dr0 P r S x dt dt O r0 r x O a a a0 v u v 运动学的两类问题 1 已知运动方程 求质点任意时刻的位置 速度以及加速度 d d d2 dr dv r d r t v a r 2 dt dt dt 2 已知运动质点的速度函数 或加速度函数 以及初始条件求质点的运动方程 轨道方程 v t dv adt v dv t adt 0 0 r t dr vdt r dr t vdt 0 0 动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系 动力学所涉及的研究内容包括 1 动力学第一类问题 已知系统的运动 求作用在系统上的力 2 动力学第二类问题 已知作用在系统上 的力 求系统的运动 牛顿 IssacNewton 1643 1727 杰出的英国物理学家 经典物理学的奠基人 他的不朽巨著 自然哲学的数学原理 总结了前人和自己关于力学以及微积分学方面的研究成果 他在光学 热学和天文学等学科都有重大发现 1 4 质点运动定律 本节导读 牛顿三定律 惯性 力惯性系 非惯性系 惯性力力学相对性原理 伽利略变换 1 牛顿运动定律 牛顿第一定律任何物体如果没有受到其他物体的作用时 都将保持静止状态或匀速直线运动状态 惯性定律 惯性 物体保持其运动状态不变的性质 力 物体间相互作用 它不仅说明了物体具有惯性的性质 还为整个力学体系选定了一类特殊的参考系 惯性参考系 惯性系与非惯性系 T a x F mg 牛顿定律成立的参考系 惯性系 非惯性系 相对于惯性系作加速运动的参考系 y dp 牛顿第二定律 F dt p mv F Fi 动量 i 注意 质点 惯性系 瞬时性 矢量性 牛顿第三定律 Fba Fab 注意 作用力和反作用力施加在两个不同的物体上 它们属同一性质的力 并互以对方的存在为自己存在的前提 它们同时产生 同时消灭 相互依存 形成对立的局面 例鸵鸟是当今世界上最大的鸟 有人说它不会飞是翅膀的退化 但是如果它长一副和身体成比例的翅膀 它能飞起来吗 解 飞翔的条件是空气的上举力至少等于体重 空气 CSv2 上举力 与空气阻力一样的公式 为 f 式中C为比例常数 S为翅膀的面积 飞翔的条件 mg mg f 即 v CS 我们作简单的几何相似性假设 设鸟的几何线度为l 质 量m l3 S l2 于是起飞的临界速度 v l c 燕子最小滑翔速度大约20km h 鸵鸟体长是燕子的大约25倍 显然它要飞翔的速度最少是燕子的5倍 这是飞机的起飞速度 鸵鸟奔跑的速度实际上只有40km h 思考问题 拔河比赛胜负的关键是什么 摩擦力的大小 大者赢 马德堡半球是用两队各8匹马向相反方向拉开的 如果一端拴在固定物上 另一端需要几匹马 才能拉开半球 还是8匹 大人国是否能够存在 利用几何相似性分析之 不可能 重力就会压坏他 2 力学相对性原理和伽利略变换 i 力学相对性原理 力学定律的数学形式在一切惯性系中不变 对于描述力学规律而言 一切惯性系都是平权的 等价的 在一个惯性系中所做的任何力学实验 都不能判断该惯性系相对于其他惯性系的运动 舟行不觉 关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话 伽利略 1632 牛顿的绝对时空观 ii 绝对的空间 就其本性而言 是与任何外界事物无关而永远相同和不动的 绝对的 真正的和数学的时间自身在流逝着 而且由于其本性而均匀地与任何外界事物无关地流逝着 牛顿 长度的量度和时间的量度都与参考系无关 伽利略变换 iii y y P S S vt 在两个惯性系中考察同一物理事件 Oz x x O z s s 两个惯性系 一物理事件 质点到达P 点 x y z t 两个惯性系的描述分别为 x y z t y y 两个描述的关系称为变换 P S S vt t t 0 坐标原点重合 Oz xyz x x O x y z z vt x y z x vtyz 正变换 逆变换 t t t t 伽利略变换中默认了绝对时空 dx d d x vt 速度变换 x vt dt dt dt u xu yu z uxuyuz v u u v x轴方向有相对匀速运动 空间有相对匀速运动 a a 加速度变换 经典力学规律具有伽利略变换不变性 S系 F ma S 系 F ma 小 结 牛顿第一定律任何物体如果没有受到其他物体的作用 都将保持 静止状态或匀速直线运动状态 惯性定律 F dp 牛顿第二定律 dt Fi p mv F 动量 i 注意 质点 惯性系 瞬时性 矢量性 牛顿第三定律 注意 二力同性质 共存亡 分于两物 处于同一直线 Fab Fba 力学相对性原理力学定律的数学形式在一切惯性系中不变 y y 伽利略变换 P S S x x vt vt x y z x yz vt y z t y z Oz x x O z t t t 正变换 逆变换 a a u u v 第一章质点力学 动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系 动力学所涉及的研究内容包括 1 动力学第一类问题 已知系统的运动 求作用在系统上的力 2 动力学第二类问题 已知作用在系统上 的力 求系统的运动 1 5 质点运动微分方程 本节导读 运动微分方程的建立运动微分方程的求解 建立运动微分方程 F r t 1 自由质点 2 dr dr m F r t dt2 dt 解微分方程 1 受力分析万有引力 弹性力 电磁场对电荷的作用力 摩擦力 介质阻力等 2 化为标量方程 m x F x y z x y z t 直角坐标系 xFy x y z x y z t Fz x y z x y z t m y m z m r r Fr r r t 平面极坐标 m r 2r F r r t mdv Ft dtv2 自然坐标 Fn m 0 Fb 3 初始条件 t 0 r r0 v v0 4 求解运动方程 x x t y t r t r y z z t 2 非自由质点 解决方法 去掉约束 用约束反作用力代替 d2 d R r r 运动微分方程 F r m t dt2 dt 解方程与自由质点一样 注意 1 R一般未知 加约束方程 2 用自然坐标系很方便 R 光滑约束 约束力在轨道的法平面内 1 dv en m Ft 1 F dt 2 v m 0 Fn R 2 n et eb Fb Rb 3 1 式求出运动规律 2 和 3 解出约束力 非光滑约束 2 dv m Ft Rt 1 2 2 Rt RN Rn Rb2 dtv2 2 2 R R R R m Fn Rn 2 t n b 0 Fb Rb 3 4个方程4个未知数 可解 例1 力仅是时间的函数 Ex E0cos t 自由电子在沿x轴的振荡电场中运动 eE0cos t eEx Fx 电子受力 d2x Fx m 由 2 dt 2 dx eEcos t m 0 dt2dv eEcos t m 0 dt v t 积分 eE dv 0 0 cos t dt m v 0 得 eE0 eE0 sin sin t v v 0 m m dx eE0 eE0 sin sin t v 0 m dt m x t eE0 eE0 sin sin t dt dx v 0 m m x t 0 0 eE0 eE0 eE0 cos v sin t cos t x x 0 0 m 2 m 2 m 例2 力是速度的函数 在具有阻力的介质中运动的抛射体 mg R 分析 受力运动微分方程 mr mg R 用自然坐标系分解 运动方向为正 ds dv R v mgsin m d dt 2 mv mgcos dv dv ds vdvdtdsdtds dv R v mgsin mv dsv2 mgcos m ds d R v mgsin 1dv 两式相比 vd mgcos f v 可解出 因此 2 2 dx dxds v f cos x x d dsd g g 2 2 tan dy dyds v f sin tan y y d dsd g g v vsec f sec dt dtds t t d dsd g g 消去参量 可得运动方程 例3 力是坐标的函数 kxxi kyyj F x y z kzzk 原子在晶体点阵中的运动 m r F x kxx kyy kzz y z 运动微分方程 m x m y 直角坐标分解 m z kx 2 Ax x 0 0 t x x 初始条件 令 x m x Axcos xt x Aycos yt y Azcos zt z 可解得 y z 受迫振动 m x bx kx F t LRC电路 1 Lq Rq q E t C 例4 质量为m的质点 在有阻力的空气中无初速地 自离地面为h的地方竖直下落 如阻力与速度成正比 mkv 试求运动方程 解 受力 A mg R运动微分方程 x mkv mg mr R h 建一维直角坐标系 分解 mg m x m x dx mg mg R mkx g kx dt PO 积分 x t dx 0 x dt0 1 e kt g kx g 速度 kt 0 dxh g 1 e kt dt 0 kg g 1 e kt 运动方程 x h t k2 k g x 讨论 t增加 匀速直线运动 k 例5 小环的质量为m 套在一条光滑的钢索上 钢索 x2 的方程式为 4ay 试求小环自x 2a处自由滑至抛 物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力 解 受力 y mg R R mr mg R 运动微分方程 dv mgsin m m mg 自然坐标 运动方向为正 dt O x 2 v mgcos R R 2mg 解微分方程组可得 小结 r t F 自由质点 非自由质点受力分析写出运动微分方程矢量式建立适当的坐标系分解标量方程解微分方程 第一章质点力学 动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系 动力学所涉及的研究内容包括 1 动力学第一类问题 已知系统的运动 求作用在系统上的力 2 动力学第二类问题 已知作用在系统上 的力 求系统的运动 1 6 非惯性系动力学 一 本节导读 在加速平动参考系中的运动惯性力 T a F mg 惯性系 牛顿运动定律成立的参考系 一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系 相对于惯性系作加速运动的参考系 在非惯性系内牛顿运动定律不成立 非惯性系 T a ma Q mg ma F S系 静系S 系 动系 a aF ao ma mao 于是 移项 m F m a ao ma F mao 在非惯性系中 牛顿运动定律表示为 F Q ma 物理意义 惯性力反映参照系不是惯性系 惯性力不是物体间的相互作用 没有施力者 也不存在反作用力 惯性力的实质是物体的惯性在非惯性系中的表现 例1 升降电梯相对于地面以加速度a 沿铅直向上运 动 电梯中有一轻滑轮绕一轻绳 绳两端悬挂质量分 别为m1和m2的重物 m1 m2 求 1 物体相对于电梯 的加速度 2 绳子的张力 m1g m1a T m1ar 解 a T m2g m2a m2ar m1 m2 g a a 消去 a T T r m1 m2 2m1m2 T g a 2 1m2g mg m1 m2 1 Trmm2 ma ma 1 第一章质点力学 动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系 动力学所涉及的研究内容包括 1 动力学第一类问题 已知系统的运动 求作用在系统上的力 2 动力学第二类问题 已知作用在系统上 的力 求系统的运动 1 7 功与能 本节导读 功 能量定义势能 动能保守力系 1 什么是能量 什么是功 麦克斯韦定义 能量是一个物体具有的作功能力 一般功的定义 物体能量改变的度量 循环定义 所以必须先给出其中一个物理量确切的定义 本教材定义 功 凡是作用在物体上的力 使得物体沿力的方向上移动了位置 就说力对物体作了功 一般来说 功等于力乘以物体在力的方向所产生的位移 F dA Fcos dr F dr dr 功的单位 质点沿曲线L dA F J从 运动到 b力 所做的功 a F dr b dr F A dr F a L L Fxi Fyj Fzk dxi dyj dzk L Fxdx Fydy Fzdz y dA G dr 例1 重力的功 a dyj y1 mgj dxi mgdy b m y dr 2 x G y1 F 例2 弹性力的功 F kxi x x O b x1 x2 F x2 x2 x xkxdx A dx kxi dxi 1 1 1 2 2 2 A 1kx2 1kx2 m m a A mg y2dy mgy mgyy12 例3 平方反比力 c a dr 万有引力 电磁力等 r b r dr F raM Mm G r 0 r3 rb Mm rb r A G0 r dr cos rdr r dr r dr 3 r a rbbdr 1 1 A G0Mm r GMm A GMm G0Mm 2 r r r aa a b 合力的功 F F dr L L L A dr F F 1 2 n F1 F2 Fn L L dr dr dr 合力的功等于各分力的功的代数和 功率 d F r d W P F v dt dt 2 能 物体处在某一状态所具有的能量能量是状态量 功是过程量 是能量变化的量度 1 mv2 机械能 T 动能 2 势能 物体相对位置发生变化 V 3 保守力 非保守力与耗散力 假如力仅是坐标x y z的单值的 有限的 力场 和可微的函数 则在空间区域每一点上 都将有一定的力作用着 这个空间叫做力场 如果力是一个单值 有限和可微函数的负梯度 即 F i j V V V k x y z V x V y V z 则 dA dz dx dy 为一个全微分 显然物体在空间沿一条闭合曲线运动 这个力作功为零 F dr 0 保守力 使物体运动 但沿任一闭合路径作功等于零的力保守力作功与路径无关 例 i 重力 y11 ii 弹性力 11 22 2 2 iii 平方反比力 r ra rb raa 非保守力 作功与经历的路径有关的力 又叫涡旋力 作功与经历的路径有关 的力 例如 摩擦力 但总是做负功 耗散力 rbbdr 11 A G0Mm r2 G0Mm y22A mg ydy mgy1 mgy2 A 1kx22 1kx22 4 势能函数 Va Vb Aab 在物体从位置a移动到b时 保守力作功为 显然知道了V和空间位置 我们就知道了物体运动做功的大小 所以我们用V可以完全替代保守力的作功概念 这时引入势能函数的概念 势能 由相互作用的物体的相对位置所确定的系统能量称为势能 rb Aab F dr V rb V ra 定义式 ra 保守力作功在数值上等于系统势能的减少 例 重力势能 弹性势能 引力势能 关于势能的几点说明 势能属于系统 势能的大小只有相对的意义势能零点存在人为因素 取r0点为势能零点 则任意一点 r的势能 为 r0 r F dr V r 空间某点的势能V等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功 重力势能 mgh V h 0 为势能零点 弹性势能 1 kx2 V 弹簧自由端为势能零点 2 引力势能 Mm 无限远处为势能零点 G V 0 r Fx x 2y z 5 2x y z x y z 6 F 例1 设作用在质点上的力是 y Fz x cos sin 求此质点沿螺旋线 y 运行自 0 2 z 7 时 力对质点所作的功 Fy Fz 解 力是否保守力 1 1 0 y z Fz Fx 2 2 0 z x Fy Fx 1 1 0 y x 力是保守力 作功与路径无关 B W Fxdx Fydy Fzdz A 2 2 2 x y z 1 0 14 d 2xy xz 5x 6z yz 2 2 2 1 0 0 98 2 70 势函数 2 2 2 x y z V 2xy xz yz 5x 6z 2 2 2 例2 接上题条件 若 Fx 2x 3y 4z 5 z x 8 x y z 12 Fy Fz F 0 可以证明 做功与路径有关 B W Fxdx Fydy 226 Fzdz A 98 2 不存在势函数 小结 dA Fcos dr 功 能量定义 F dr d F F r d W P v dt dt 势能 动能 动能 1 2 T mv 2物体相对位置 保守力系 势能 V F i j V V V F dr 0 k x y z 第一章质点力学 动力学的主要内容研究物体的机械运动与作用力之间的关系 动力学所涉及的研究内容包括 1 动力学第一类问题 已知系统的运动 求作用在系统上的力 2 动力学第二类问题 已知作用在系统上 的力 求系统的运动 1 8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律 本节导读 动量定理与动量守恒定律力矩与动量矩 角动量 动量矩定理与动量矩守恒定律动能定理与机械能守恒定律势能曲线 牛顿运动定律 F ma F d mv dpdt dt dp Fdtt 质点动量从 p0 p 如果力的作用时间从t0 p t p