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直线的方向向量和平面的法向量 例1如图 在正方形ABCD A1B1C1D1中 M N分别是C1C B1C1的中点 求证 MN 平面A1BD 法1 法2 即可用与线性表示 故与是共面向量 MN 平面A1BD 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作 如果 那么向量叫做平面的法向量 二 平面的法向量 1 定义 2 理解 1 平面的法向量是非零向量 2 一个平面的法向量不是唯一的 其所有法向量都互相平行 二 平面的法向量 3 向量是平面的法向量 若 则有 给定一点A和一个向量 那么过点A以向量为法向量的平面是完全确定的 二 平面的法向量 3 法向量确定平面的位置 二 平面的法向量 4 求法 步骤 证明 设正方体棱长为1 为单位正交基底 建立如图所示坐标系D xyz 则可得 所以 三 用方向向量和法向量判定位置关系 三 用方向向量和法向量判定位置关系 例1如图 在正方形ABCD A1B1C1D1中 M N分别是C1C B1C1的中点 求证 MN 平面A1BD 法3 建立如图所示的空间直角坐标系 x z y 设正方体的棱长为1 则可求得M 0 1 1 2 N 1 2 1 1 D 0 0 0 A1 1 0 1 B 1 1 0 于是 设平面A1BD的法向量是则得 取x 1 得y 1 z 1 练习一 1 设分别是直线l1 l2的方向向量 根据下列条件 判断l1 l2的位置关系 平行 垂直 平行 练习二 1 设分别是平面 的法向量 根据下列条件 判断 的位置关系 垂直 平行 相交 练习三 1 设平面的法向量为 1 2 2 平面的法向量为 2 4 k 若 则k 若则k 2 已知 且的方向向量为 2 m 1 平面的法向量为 1 1 2 2 则m 3 若的方向向量为 2 1 m 平面的法向量为
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