第四章 线性规划在工商管理中的运用

第四章线性规划在工商管理中的运用,主要学习内容,人力资源分配的问题,1,生产计划的问题,2,套裁下料问题,3,配料问题,4,投资问题,5,重点,1、决策变量的设定。2、各种问题下建立线性规划模型,难点,1、线性规划建模方法2、重点掌握人力资源分配的问题、生产计划的问题、套裁下料问题、配料问题、投资问题的解题思路。3、上述问题的求解和灵敏性分析。,一、人力资源分配问题,例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如表所示。设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?,解：设Xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数，i=1,26,minX1+X2+X3+X4+X5+X6,X1+X270X2+X360X3+X450X4+X520X5+X630X1,X2,X3,X4,X5,X60,X1+X660,例2福安商场是个中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如表所示：为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？,解：设X1为星期一开始休息的人数，X2为星期二开始休息的人数，X6为星期六开始休息的人数，X7为星期日开始休息的人数。目标函数：minz=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7,思考：某厂每日8小时的产量不低于1800件.为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时.检验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？,解设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人,则应付检验员的工资为：,因检验员错检而造成的损失为：,目标函数,二、生产计划问题,例3明兴公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。有关情况见表41；公司中可利用的总工时为：铸造8000小时，机加工12000小时和装配10000小时。公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件?甲、乙两种产品的铸造应多少由本公司铸造?应多少由外包协作?,解：设x1,x2,x3分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求xi的利润：利润=售价-各成本之和可得到xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。建立数学模型。目标函数：Max15x1+10 x2+7x3+13x4+9x5约束条件：s.t.5x1+10 x2+7x380006x1+4x2+8x3+6x4+4x5120003x1+2x2+2x3+3x4+2x510000 x1,x2,x3,x4,x50,例4永久机械厂生产、三种产品，均要经过A、B两道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成A工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成B工序。可在A、B的任何规格的设备上加工；可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；只能在A2与B2设备上加工；数据如右上表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？,解：设xijk表示第i种产品，在第j种工序上的第k种设备上加工的数量。利润=（销售单价-原料单价）*产品件数之和-（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。数学模型:Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123s.t.5x111+10 x2116000（设备A1）7x112+9x212+12x31210000（设备A2）6x121+8x2214000（设备B1）4x122+11x3227000（设备B2）7x1234000（设备B3）x111+x112-x121-x122-x123=0（产品在A、B工序加工的数量相等）x211+x212-x221=0（产品在A、B工序加工的数量相等）x312-x322=0（产品在A、B工序加工的数量相等）xijk0,i=1,2,3;j=1,2;k=1,2,3,例：生产计划的问题（续）,三、套裁下料问题,例5某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m,1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m，问：应如何下料，可使所用原料最省？,解：所有可能的下料方案,整理为剩余料头从小到大的方案顺序,考虑下列5种下料方案,设x1,x2,x3,x4,x5分别为上面前5种方案下料的原材料根数。数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5约束条件：s.t.x1+2x2+x41002x3+2x4+x51003x1+x2+2x3+3x5100 x1,x2,x3,x4,x50,应用：在我校金秋艺术节上，某院学生的演出需要制作道具纸花，该院同学要将甲、乙两种大小不同的彩纸截成A、B、C三种规格的纸片，折成纸花已知甲种彩纸每张8元，乙种每张6元，每张彩纸可同时截得三种规格纸片的块数如下表所示：,今需要A、B、C三种规格的小纸片各15、18、27块，问各截这两种彩纸多少张，可得所需三种规格小纸片且花费最少？,纸片类型,彩纸类型,四、配料问题,例6某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？,解：设xij表示第i种（甲、乙、丙）产品中原料j的含量。对于甲：x11，x12，x13；对于乙：x21，x22，x23；对于丙：x31，x32，x33；对于原料1：x11，x21，x31；对于原料2：x12，x22，x32；对于原料3：x13，x23，x33；目标函数：利润最大，利润=收入-原料支出约束条件：规格要求4个；供应量限制3个。,例6（续）目标函数：Maxz=-15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33约束条件：s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x130（原材料1不少于50%）-0.25x11+0.75x12-0.25x130（原材料2不超过25%）0.75x21-0.25x22-0.25x230（原材料1不少于25%）-0.5x21+0.5x22-0.5x230（原材料2不超过50%）x11+x21+x31100(供应量限制）x12+x22+x32100(供应量限制）x13+x23+x3360(供应量限制）xij0,i=1,2,3;j=1,2,3,五、投资问题,例7某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元；据测定每万元每次投资的风险指数如右表：,问：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？,解：1）确定决策变量：连续投资问题设xij(i=1-5，j=1、2、3、4)表示第i年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量：Ax11x21x31x41x51Bx12x22x32x42Cx33Dx24,2）约束条件：第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是x11+x12=200；第二年：B次年末才可收回投资故第二年年初的资金为1.1x11，于是x21+x22+x24=1.1x11；第三年：年初的资金为1.1x21+1.25x12，于是x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；第四年：年初的资金为1.1x31+1.25x22，于是x41+x42=1.1x31+1.25x22；第五年：年初的资金为1.1x41+1.25x32，于是x51=1.1x41+1.25x32；B、C、D的投资限制：xi230(I=1、2、3、4)，x3380，x241003）目标函数及模型：a)Maxz=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200 x21+x22+x24=1.1x11；x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12；x41+x42=1.1x31+1.25x22；x51=1.1x41+1.25x32；xi230(I=1、2、3、4)，x3380，x24100 xij0(i=1、2、3、4、5；j=1、2、3、4）b)Minf=(x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24s.t.x11+x12200 x21+x22+x241.1x11；x31+x32+x331.1x21+1.25x12；x41+x421.1x31+1.25x22；x511.1x41+1.25x32；xi230(I=1、2、3、4)，x3380，x241001.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24330 xij0(i=1、2、3、4、5；j=1、2、3、4）,作业：,第四章课后习题7,作业2.生产计划问题,统计资料,刀具数：12085160145300,日期：12345,某车间在每个生产期5天所需要的某种刀具，每一把刀具的成本为0.5元，用过的刀具送到机修车间研磨，每把刀具需花