§2矩阵的运算

2矩阵的运算,一、矩阵的加法,二、数与矩阵相乘,三、矩阵与矩阵乘法,四、矩阵的转置,五、方阵的行列式,六、伴随矩阵,七、共轭矩阵,、定义,一、矩阵的加法,设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为,(2)矩阵的加法即为对应位置元素相加，可推广至有限个同型矩阵相加.,(1)只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,说明:,例如,2、矩阵加法的运算规律,3、矩阵A的负矩阵A,4、矩阵减法,1、定义,二、数与矩阵相乘,例如:,注意矩阵数乘与行列式运算的差异.,例如:,2、数乘矩阵的运算规律,(设为矩阵，为数),矩阵加法与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,三、矩阵与矩阵乘法,1.引例:,设有两个线性变换,2.定义,并把此乘积记作,设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中,例,设,例2,故,解,注意(1)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在.,(2)乘积矩阵C的行数左矩阵的行数，乘积矩阵C的列数右矩阵的列数.,例3,上面左端两个矩阵交换相乘怎样?,一个数,s阶方阵,st阶矩阵,3、矩阵乘法的运算规律,(其中为数);,例4,例5,与均有意义但不同阶，故,例6设,则：,与均有意义且同阶，但有,则有：,例7设,以上几例可以说明：,(1)矩阵交换律不满足，即：,1)矩阵乘法需注意顺序(有左乘、右乘之分)：,AX用A左乘X.,XA用A右乘X.,2)定义：若AB=BA,则称A与B可交换.,(2)1)矩阵乘法有零因子.,即：两个非零矩阵之积可以为零矩阵.,2)矩阵乘法不满足消去律.,即矩阵运算不象数的运算那样,可以约去“非零”项或交换乘积.,a)由AB=O推不出A=O或B=O;,b)A(XY)=O,AO推不出X=Y.,(3)矩阵没有除法.,4.线性方程组的矩阵表示式,5.方阵的幂,例8,例9,定义把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作.,例,、转置矩阵,四、矩阵的转置,2、转置矩阵的运算性质,例10已知,解法1,解法2,3、对称阵,定义,设A为n阶方阵，如果满足,即那末A称为对称(矩)阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.,说明,定义,设B为n阶方阵，如果满足,即那末A称为反对称(矩)阵.,例11设列矩阵满足,证明,例12证明任一n阶矩阵A都可表示成对称阵与反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,五、方阵的行列式,1、定义由n阶方阵A的元素所构成的行列式,叫做方阵A的行列式,记作|A|或detA.,2、运算性质(设A、B均为n阶方阵),注意,六、伴随矩阵,定义,行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵,性质,称为矩阵A的伴随矩阵.,故,同理可得,证明,则,共轭矩阵的运算性质:,七、共轭矩阵,八、小结,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与反对称阵,方阵的行列式,伴随矩阵,共轭矩阵,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能