数学分析2014-2015期中考试卷及答案.doc

上海师范大学标准试卷2014 2015 学年 第一学期 考试日期 2014年 11月19 日（考试时间：120分钟） 科目：数学分析I （期中卷） 专业 本、专科 年级 班 姓名 学号 题号一二三四五六七总分 得分我承诺，遵守上海师范大学考场规则，诚信考试。 签名：_得得分 一. 判断题(对的打, 错的打, )1. ( ) 设为有理数，为无理数，则一定是无理数. 2. ( ) 设数列满足：对任何自然数, 有, 且和都存在，则. 3. ( ) 单调数列如果含有一个收敛的子列, 则本身一定也收敛. 4. ( ) 设是无穷小数列, 是无穷大数列, 则是无穷大数列. 5. ( ) 任何数列都存在收敛的子列. 6. ( ) 设均为无界数列, 则一定为无界数列. 7. ( ) 设函数在某内有定义, 且在点的左右极限都存在且相等, 则在极限存在. 8. ( ) 设, 则. 9. ( ) 如果对任何以为极限的递减数列, 都有, 则有. 10. ( ) 若 总可找到使得, 则不存在. 得得分 二叙述题（）1. 叙述极限存在的柯西准则.答: 设函数在内有定义. 存在的充要条件是：,(2分) 使得对有.(2分)2. 叙述集合上确界的分析定义.设是R中的一个数集，若数满足以下两条：（1） 对一切有，即是数集S 的上界；(2分)（2） 对任何存在使得（即是S的最小上界）(2分)则称数为数集的上确界.得得分 三计算题（本大题满分24, 每小题）1. 求 2. 求解: 解: = =13. 求 4. 解: 解：5. 设, 求数的值. 解: 6. 求, 使得.解: ,（2分）(2分)得得分 四用分析定义证明（本大题满分, 每小题）1. 证明：其中.证明: 设,(2分)对, 当时, .(3分)所以2. 证明：证明：（2分）故对，当时，（3分）3. 证明：. 证明: 对,当时,(2分), 所以.(3分)得得分 五. 证明题（本大题满分18, 每小题）1. 证明极限不存在.证明: 对(2分), , 设正数, 令,(2分)则有,(2分)所以极限不存在.2. 设 求的上下确界,并用定义验证.解:.(2分)下面验证对有,对若.当时, 根据实数的稠密性,存在有理数使得. 所以(2分)下面验证对有,对若.当时, 根据实数的稠密性,存在有理数使得. 所以(2分)3. 设, ，。判断数列的收敛性，若收敛, 并求其极限.解:因为,(2分)(2分)所以数列是单调递减且有下界, 则数列的收敛,(1分)设(舍去). 所以数列收敛, .(1分)得得分 六. 证明题（本大题满分10）用分析定义证明归结原则：设在上有定义，的充要条件是：对于任何含于且以为极限的数列，都有.证明：必要性设，则对，存在正数，使得当时，（2分）另一方面，设数列含于且，则对上述的，当时有，从而，即（3分）充分性设对任何含于且以为极限的数列，都有.用反证法，若当时不以为极限，则，使得时取，则得到数列使得，而（3分）数列且，但当时不趋于，与假设矛盾所以必有（2分）得得分 七. 证明题（本大题满分