第一讲--初识反比例函数

第一讲 初识反比例函数一知识精讲篇：1.例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y 或 （k为常数，k0）的形式，那么称y是x的反比例函数2.函例函数的图象k的符号k0yxok0图像的大致位置oyx经过象限第 象限第 象限二.考点精析篇： 考点一：反比例函数的定义：例1下列哪些式子是反比例函数？1） ； 2）； 3）； 4）； 5）；6）； 7）。例2.当为何值时，函数为反比例函数。变式练习 若为反比例函数，则. 考点二：反比例函数的图象例3 画反比例函数的图像 分析：根据反比例函数图象的画法及步骤进行。变式练习 在同一坐标系中，画出和的图象，并求出交点坐标。yxOyxOyxOyxO例4 矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）A B C D变式练习 已知反比例函数的图象经过点P(一l，2)，则这个函数的图象位于（ ）A第二、三象限 B第一、三象限 C第三、四象限 D第二、四象限 考点三：用待定系数法求反比例函数的表达式由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一组对应值，即可求出的值，从而确定其表达式。例5. 已知变量与成反比例，并且当时，。求：（1）与间的函数关系式；（2）当时，的值；3）当时，的值。变式练习 1、已知反比例函数的图象经过点，则下列各点也在此函数图象上的是（ ）A B C D2、 已知点A(1，k2)在双曲线上求常数k的值例6. 已知与成反比例，当时，求出函数关系式。例7 已知，与x成正比例, 与成反比例,且x=2与x=3时,y的值都等于19.求x=6时y的值.变式练习 已知，而与成反比例，与成正比例，并且时，；时，求y与x的函数关系式； 考点四：反比例函数的简单应用例8 （2011安徽）如图，函数的图象与函数（）的图象交于A、B两点，与轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）（1）求函数的表达式和B点的坐标；（2）观察图象，比较当时，与的大小ABOCxy.变式练习：1.已知：如图，在平面直角坐标系O中，RtOCD的一边OC在轴上，C=90，点D在第一象限，OC=3，DC=4，反比例函数的图象经过OD的中点A（1）求该反比例函数的解析式；（2）若该反比例函数的图象与RtOCD的另一边DC交于点B，求过A、B两点的直线的解析式2.如图所示，已知点（1，3）在函数y= (k0）的图象上，矩形ABCD的边 BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y= ( k0）的图象经过A、E两点，点E的横座标为m.（1）求 k的值；（2）求点C的横坐标（用 m表示）（2） 当ABD=45时，求m的值三.反馈巩固篇：1. 若函数是反比例函数，则m的值是 .2如果y是z的反比例函数，x是z的正比例函数，那么y是x的（ ）A正比例函数; B反比例函数C既不是正比例函数又不是反比例函数; D不能确定是什么函数3. 已知反比例函数的图象经过（1，2）则 4如图，函数和函数的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若，则x的取值范围是（ ）A BC D2、 如图，已知一次函数的图像与轴，轴分别交于两点，且又与反比例函数的图像在第一象限交于点，点的横坐标为. 求一次函数的解析式； 求点坐标及反比例函数的解析式.第二讲 反比例函数性质及“K”的意义一知识精讲篇：（1） 反比例函数性质（1）点与函数的对应性：（2）函数增减性：（3）函数对称性：2.“”的意义:代数意义：几何意义：点是双曲线上任意一点，从点向轴和轴引垂线，则=_=_。=_=_。二考点精析篇： 考点一： 反比例函数的性质例1. 考察函数的图象,当时, ,当时, 的取值范围是 _ _ ;当时, 的取值范围是 _ _ 。变式练习：1.下列函数：；当时，随的增大而减小的函数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2.在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而增大，则的值可以是（ ）AB0C1D2例2. 在函数（a为常数）的图象上有三点，则函数值的 大小关系是（ ）A. B. C. D. 变式练习 1.若是双曲线上的两点，且，则（填）2.已知点，是函数图象上的三点，且，则的大小关系是 考点二：“”的几何意义题型一、已知求点的坐标例3. 若正方形的顶点和正方形的顶点都在函数 的图象上，则点的坐标是（ ， ）. 变式练习 l.（南通）如图, 都是等腰直角三角形,点、在函数的图象上,斜边都在轴上,则点的坐标是_.yOxCA(1，2)B(m，n)2.如图，在平面直角坐标系中，函数（，常数）的图象经过点，（），过点作轴的垂线，垂足为若的面积为，则点的坐标为_题型二、 面积不变性例4. 如图，是双曲线上的三点过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形，设它们的面积分别是，则( ) A B C D变式练习 ： 如图,直线和双曲线交于亮点, 是线段上的点（不与重合）,过点分别向轴作垂线,垂足分别是,连接,设面积是面积是面积是则（ ）A. B. C. D. yxOP1P2P3P4P5A1A2A3A4A5例5 如图，在X轴的正半轴上依次截取，过点分别作X轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形并设其面积分别为则的值为_.DABCXYO变式练习 ：正比例函数与反比例函数的图象相交于两点轴于轴于 (如图),则四边形的面积为( )A. B. C. D. 例6 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点若的面积为，则变式练习 1.如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C若点A的坐标为（，4），则AOC的面积为（ ）A12 B9 C6 D42如图，的顶点的坐标分别是，顶点，在双曲线上，边交轴于点，且四边形的面积是面积的倍，则 解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CHDG，垂足为H，ABCD是平行四边形，ABC=ADC，BODG，OBC=GDE，HDC=ABO，CDHABO（AAS），CH=AO=1，DH=OB=2，设C（m+1，n），D（m，n+2），则（m+1）n=m（n+2）=k，解得n=2m，则D的坐标是（m，2m+2）， 例7.如图，双曲线经过四边形的顶点，平分与轴正半轴的夹角，轴，将沿翻折后得到，点落在上，则四边形的面积是. 变式练习 如图，双曲线经过矩形的边的中点，交于点。若梯形的面积为，则双曲线的解析式为_.三 反馈巩固篇：1、一次函数与反比例函数的图象如上图所示，则下列说法正确的是（ ）A.它们的函数值随着的增大而增大B.它们的函数值随着的增大而减小C. D.它们的自变量的取值为全体实数2、已知点是反比例函数的图像上任一点，过点分别作轴，轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为，则的值为（ ）A B C D3、反比例函数的部分图象如图所示，是图象上两点，轴于点 ,轴于点，若的面积为，的面积为，则和 的大小关系为（ ）A B C D 无法确定4、反比例函数的图像过点，其中是一元二次方程的两个根，那么点的坐标是.5、已知点在反比例函数的图象上，（）当时，求的值；（）当时，求的取值范围6、如图2，在反比例函数（）的图象上，有点，它们的横坐标依次为分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成xyOP1P2P3P41234（图2）的阴影部分的面积从左到右依次为，则 第三讲 直线与双曲线一知识精讲篇：（一）一次函数： 1、表达式： 2、一次函数的图象是 ，其中必过点（ ， ），解析式中的几何意义为其图像与轴交点的纵坐标。在下列表格中画出相应图象： 3、增减性：当时，随的增大而 ，这时函数的图象从左到右 。 当， 时,一次函数图象过_象限， 当, 时,一次函数图象过 _象限当时，随的增大而 ，这时函数的图象从左到右 。当, 时,一次函数图象过_象限，当，时,一次函数图象过_象限（二）反比例函数：1、表达式： 2、反比例函数的图象是 3、增减性： （1）当时，图象在 象限，在每个象限内随的增大而 ，这时在每个象限内函数的图象从左到右 。 （2）当时，图象在 象限，在每个象限内随的增大而 ，这时在每个象限内函数的图象从左到右 。4、 的意义：5、 一次函数与反比例函数交点的求法: 联立解方程2 考点精析篇： 考点一：判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图像 A B C DxOyxOyxOyxOy例1、正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的图象不可能是 A B C D变式：1、如图，函数与在同一坐标系内的图象大致是（ ） A B C D2、 函数与在同一坐标系中的图象大致是（ ）3、函数与与的图象可能是（ ） A B C D 考点二： 反比例函数与一次函数的综合 （一）直线的旋转例2、(2012.河池）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到矩形，与相交于点。若经过点的反比例函数的图象交于点，则点的坐标为 。变式1、（2011.甘孜州)如图,平面直角坐标系中,在轴上,.将绕点逆时针旋转到,点的对应点落在轴上,的对应点恰好落在双曲线上,则 变式2、(2011.恩施)如图,的顶点在原点,点在第一象限,点在轴的正半轴上,且,反比例函数的图象经过点,将绕点O顺时针旋转,顶点恰好落在的图象上,则 （二）直线的翻折例3、（2011湖北荆州，16，4分）如图，双曲线经过四边形的顶点、，,平分与轴正半轴的夹角，轴,将沿翻折后得，点落在上，则四边形的面积是 .变式1、（2011年怀化24，10分）在矩形中，分别以，所在直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图像与边交于点.（1）求证：；（2）是否存在这样的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由.2、（2011浙江金华）如图，将一块直角三角板放在平面直角坐标系中，,，点在第一象限，过点的双曲线为，在轴上取一点，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，线段经轴对称变换后的像是.（1）当点与点重合时，点的坐标是 .（2）设当与双曲线有交点时，的取值范围是 . 解：（1）当点O与点A重合时，AOB=60，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是OBAP=OP，AOP是等边三角形，B（2，0），BO=BP=2，点P的坐标是（4，0），（三）与多边形的结合例：已知：等腰三角形在直角坐标系中的位置如图，点的坐标为，点的坐标为. （1）若三角形关于轴的轴对称图形是三角形，请直接写出、的对称点 、的坐标；（2）若将三角形沿x轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图像上，求的值；（3）若三角形绕点按逆时针方向旋转度（）.当时点恰好落在反比例函数的图像上，求的值问点、能否同时落在中的反比例函数的图像上，若能，求出的值；若不能，请说明理由. 变式：（2012茂名）阅读下面材料，然后回答问题：在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为.如图，在平面直角坐标系中，双曲线和的图像关于轴对称，直线与两个图像分别交于两点，点为线段的中点，连接、.(1)求的值及点的坐标；(2)若在坐标平面上有一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，请求出点的坐标 （2）将线段OC平移，使点O（0，0）移到点B（1，3），则点C（-1，2）移到点D（0，5），此时四边形OCDB是平行四边形；将线段OC平移，使点C（-1，2）移到点B（1，3），则点O（0，0）移到点D（2，1），此时四边形OCBD是平行四边形；线段BO平移，使点B（1，3）移到点C（-1，2），则点O（0，0）移到点D（-2，-1），此时四边形BODC是平行四边形综上所述，符合条件的点D坐标为（0，5）或（2，1）或（-2，-1）三反馈巩固篇：1、在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是( ） 2、（2012义乌）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点为对角线的中点，点在边上，反比例函数在第一象限内的图像经过点、，且 .（1）求边的长；（2）求反比例函数的解析式和的值；（3）若反比例函数的图像与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与、正半轴交于点、，求线段的长.3、（2012天门）如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图像的一个交点为（1） 求反比例函数的解析式；（2） 求点到直线的距离第四讲 反比例函数中的面积问题一知识精讲篇：BCOAxy1.图象上任意一点，如图过点引轴与轴的垂线，垂足分别为，则有，2双曲线的一个分支上任意两点与原点围成的三角形的面积等于这两点与坐标轴（x轴或y轴）作垂线所构成的梯形的面积。如图：3直线与双曲线的交点与原点围成的三角形的面积等于矩形的面积加|k|减去SABC 二考点精析篇： 考点一：反比例函数与矩形面积例1. （山东荷泽）如图1，P是反比例函数的图象上一点，过P点分别向x轴、y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的解析式为（ ）B. C. D. 图1变式练习. 如图2，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数的图象上，点P（m，n）是函数的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S。 （1）求B点坐标和k的值；（2）当时，求点P的坐标； 图2 考点二：反比例函数与直角三角形面积例2. （04年辽宁锦州）如图（4），点A在反比例函数的图象上，AB垂直于x轴，若，那么这个反比例函数的解析式为_。 图4 图5 图6变式练习：1. 如图5，过反比例函数的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB。设AC与OB的交点为E，与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的大小，可得（ ） A. B. C. D. 大小关系不能确定2. 如图6，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，的面积为S，则（ ） A. S1B. C. S2D. 考点三：.反比例函数与斜三角形面积例3. （重庆市）如图8，函数与的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，则的面积为_。 图8 图9 图10变式练习：1.如图9，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，若面积为S，则（ ） A. S1B. S2C. S3D. S的值不能确定2.（四川）如图10，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是2，求：（1）一次函数的解析式（2）的面积 考点四： 反比例函数与平行四边形面积 例4. 如图11，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴于D，则四边形ABCD的面积为_。 图11 图12变式练习：1 如图12，A、C是双曲线上关于原点O对称的任意两点，AB垂直y轴于B，CD垂直y轴于D，且四边形ABCD的面积为6，则这个函数的解析式为_。三反馈巩固篇：1.（2012抚顺）如图，过点P（2，3）分别作PCx轴于点C，PDy轴于点D，PC、PD分别交反比例函数（x0）的图象于点A、B，则四边形BOAP的面积为（） A3 B3.5 C4 D5 1题图 2题图 3题图2.（2010眉山）如图，已知双曲线（k0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C若点A的坐标为（-6，4），则AOC的面积为（） A12 B9 C6 D43.（2010抚顺）如图所示，点A是双曲线y=（x0）上的一动点，过A作ACy轴，垂足为点C，作AC的垂直平分线双曲线于点B，交x轴于点D当点A在双曲线上从左到右运动时，四边形ABCD的面积（）A逐渐变小 B由大变小再由小变大 C由小变大再有大变小 D不变4.如图，乙知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点P和Q，并且点P的纵坐标为6。求这个一次函数的解析式；求的面积。5. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D，求点A、B、D的坐标；求这一次函数和反比例函数的解析式；求OyxBAC6.如图，RtABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，AB轴于B且SABO=（1）求这两个函数的解析式。（2）A，C的坐标分别为（-，3）和（3，1）求AOC的面积。第五讲 反比例函数的应用一知识精讲篇：1.定义：是的反比例函数 2.图象： ， ；点P是双曲线上任意一点，从P点向X轴和Y轴引垂线PA、PB，则= = 。= = 。二考点精析篇： 考点一： 实际问题中的应用：例1.如图，直线y=+2与双曲线y=在第二象限有两个交点，那么m的取值范围在数轴上表示为（ ） 变式练习：1.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为、，剪去部分的面积为20，若，则与的函数图象是（）2.为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？y（毫克）O3t(小时)1P例2.2011年义乌市经济继续保持平稳较快的增长态势，全市实现生产总值35206106元，已知全市生产总值全市户籍人口全市人均生产产值，设义乌市2006年户籍人口为x（人），人均生产产值为y（元）（1）求y关于x的函数关系式；（2）2006年义乌市户籍人口为706 684人，求2006年义乌市人均生产产值（单位：元，结果精确到个位）：若按2006年全年美元对人民币的平均汇率计（1美元796元人民币），义乌市2006年人均生产产值是否已跨越6000美元大关？例3.水产公司有一种海产品共2 104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售价x(元/千克)400250240200150125120销售量y(千克)304048608096100观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系(1)写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；(2)在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？变式练习：1.为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（mg）与燃烧时间（分钟）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg据以上信息解答下列问题：（1）求药物燃烧时与的函数关系式（2）求药物燃烧后与的函数关系式（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？2.保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动某化工厂2009年1 月的利润为200万元设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？3、某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD. 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图为平面示意图），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米. 设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB的长为x米，修建健身房的总投入为y元.（1）求y与x的函数关系式；（2）为了合理利用大厅，要求自变量x必须满足8x12. 当投入资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少米？ 考点二： 几何应用：xMNyDABCEO例4例4.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数（x0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数（x0）的图象与MNB有公共点，请直接写出m的取值范围变式练习：1.已知反比例函数y = 的图像经过点A（，1）.（1）试确定此反比例函数的解析式（2）点O是坐标原点，将线段OA绕点O顺时针旋转30得到线段OB，