二次函数的标准式化成通式(配方法).doc

3-2 配方法與拋物線 班級： 座號： 姓名： P.5、二次函數的標準式化成通式（配方法）1. 二次函數的通式為，可觀察到（1） 若，開口向上； 若，開口向下。（2）若越大，則開口越小；若越小，則開口越大。（3）頂點坐標為（，）。（4）對稱軸的方程式為 。 二次函數的通式可以很容易的畫出二次函數的圖形。 2. 二次函數的標準式，化成通式： 頂點坐標 例1： 試求二次函數的頂點坐標與對稱軸的方程 式，並畫出其圖形。 例2： 將二次函數的圖形，向右移動2個單位 長，再向下移動3個單位長，則新的二次函數為何？ 且新的頂點坐標為何？ 例3： 二次函數，若將其圖形向左移3 個單位長，再向下移2個單位長，則新的二次函數為 ，求：（1）原二次函數最高點的坐標。 （2）的值。 二、二次函數圖形與軸或軸交點坐標的判別 二次函數的標準式，（1） 與軸的交點坐標 。解說：，令代入，得， 故與軸的交點坐標 。（2） 與軸交點坐標的討論：即與的交點坐標（共同解）。，判別式 當，有相異實數解，即二次函數與軸交於兩點 ，交點坐標為、 當 ，有相等實數解（重根），即二次函數與軸交 於一點（此點亦為頂點坐標），交點坐標為 當，無實數解，即二次函數與軸沒有交點。例4： 二次函數的圖形交軸於、兩點， 與軸交於點，（1）求點的坐標。（2）求的 面積。例5：二次函數的圖形交軸於、兩點， 與軸交於點，（1）求點的坐標。（2）求的 面積。例6：二次函數的圖形交軸於、兩點， 與軸交於點，（1）求點的坐標。（2）求的 面積。例7：若二次函數與軸相交於兩點，求的 最小整數值。例8：設二次函數的圖形與軸只相交於一 點。（1）求的值。（2）求圖形與軸的交點坐標。（3） 頂點坐標。例9：若二次函數的圖形與軸不相交，（1） 求的最大整數值。（2）此時二次函數的開口方向 為何。（3） 頂點坐標為何？例10：已知函數的圖形如下圖所 示，試求： k之值 A點座標 (圖中y軸的正向 向上) 例11：二次函數，的圖形如下，試判別、及的正負關係 j k 0 ； 0 0 ； 0 0 ； 0 0 ； 0l m 0 ； 0 0 ； 0 0 ； 0 0 ； 0三、利用幾個點求二次函數1. 給三個已知點其中一點為與軸的交點坐標 假設此二次函數為， 例12：有一二次函數的圖形通過、及三點，求 此二次函數。2. 給三個已知點其中兩點為與軸的交點坐標、 假設此二次函數為 例13： 有一二次函數的圖形通過、及三點， 求此二次函數。3. 給兩個已知點其中點為頂點坐標（，）。 假設此二次函數為例14：有一二次函數圖形的最低點坐標為，且通過 ，求此二次函數。4. 給兩個已知點與對稱軸的方程式為。 假設此二次函數為例15：有一二次函數的圖形通過、，且對稱軸的 方程式為，求此二次函數。例16：設函數，的圖形如下，試求、 之值 。 例17：如圖，貝克漢丟垃圾的路徑是一個二次函數 的圖形，已知貝克漢是在此二次函數 的頂點(即B點)將垃圾丟出，且從點進入筒內， 若B的坐標為，則b？ 例18：如下圖，在坐標軸上，當投手投出高飛球，經(9，4)， 達最高點(6，5)，則補手接到球時，該球離地面軸的 距離。四、二次函數的最大值與最小值二次函數的標準式，化成通式：得頂點坐標（1） 當時，即當時，有最小值。 頂點坐標為最低點。（2） 當時，即當時，有最大值。 頂點坐標為最高點。例19：試判斷下列各函數是否有最大值或最小值，並求其值。 （1） （2）例20：求下各函數的最大值或最小值，與最高點或最底點的坐 標。（1） （2）例21：在二次函數中：（1）有最大值或 最小值？又最大值或最小值是多少？（2）此時？例22：（1）若二次函數有最大值3，求？ （2）若二次函數，當時，有最小 值，求、的值。例23：（1）在二次函數中，若，則 的最大值與最小值各為何？ （2）在二次函數中，若，則 的最大值與最小值各為何？例24：已知、是坐標平面上的兩點，則的 最小值為何？又此時值為多少？例25：設為整數，則的最大值為何？五、二次函數的應用問題（1） 將正整數分成兩正數的和，以分成相等兩數的乘積最 大；以分成相等兩數的平方和為最小。（2） 以個線段為周長圍成個矩形，以圍成正方形的面積 最大。例26：如何將12分成兩數，使得兩數的平方和為最小？例27：將100公尺的繩子分成兩段，分別以此兩段為成兩個正 方形，求兩正方形面積和的最小值。例28：如何將15分成三數，其中兩數為連續整數，使得三數 的平方和為最小？例29：假設：1：2，且：3：4，求j ： k的最大值。例30：發哥想用135公尺的繩子靠河的一岸圍出一矩形，但靠 岸邊的不需圍(只圍長方形的三邊)，且在與河岸垂直的 一邊上，留下5公尺的通道，則此長方形的最大面積為 多少平方公尺？例31：在時間t=0秒時，某位跳水選手從高為32呎的平台跳下(如圖)。已知在時間為t秒時的高度為h=16t216 t32（呎），請問什麼時候達到最高點，並求出最高點的位置。 例32：果園中種了25棵橘樹，每棵平均可生產橘子450個， 若在此園中每加種1棵，每棵平均產量減少10個，問 應加種幾棵才能使此園的產量達到最大？最大產量是 多少？例33：臺中電影院放映終極蠢蛋如門票（只有一種）為120 元時觀眾有200人，如票價每降低1元時，則觀眾會增 加5人，該電影院最多能容納600人，該電影院為了要 收入最多，則門票要訂為多少元例34：蓮花旅行社招攬環島旅行團，預定組團30人，每人收 費6000元，若每增加1人，每人減收150元，若蓮花 旅行社欲獲得最大收入，應增加多少人？且最大收入 為多少元？例35：已知，為數線上