高等代数多项式

多项式,第一章多项式,多项式,1数环和数域,1数环和数域,数是数学中的一个基本概念，人们对数的认识经历了一个长期的发展过程，由自然数到整数、有理数，然后是实数到复数。数学中的许多问题都和数的范围有关，数的范围不同，对同一问题的回答可能也不相同。例如,在实数范围内没有根，但在复数域内就有一对共轭复根。,在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域内就可以分解。,多项式,1数环和数域,我们通常考虑的数的范围主要包括全体实数、全体有理数以及全体复数等，它们具有一些不同的性质，但也有很多共同的性质，在代数中经常将具有共同性质的对象统一进行讨论。,一个数集中，数的加、减、乘、除运算称为数的代数运算。,若数集P中任何两个数做某一运算后的结果仍然在这个数集P中，则称该数集P对这个运算是封闭的。,自然数集N对加、乘运算封闭，对减、除不封闭。整数集Z对加、减、乘运算封闭，对除不封闭。有理数集Q、实数集R、复数集C对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭。,多项式,1数环和数域,根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：数环和数域。,一、数环,定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、减、乘三种运算都封闭，即对a，bP，总有a+b，a-b，abP，则称数集P是一个数环。,例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。,例1除了以上数环外，是否还有其他数环？有没有最小数环？,例2一个数环是否一定包含0元？除零环外，是否还有只包含有限个元素的数环？,多项式,1数环和数域,例3证明,是包含,的最小数环。,二、数域,定义2：若P是由一些复数组成的集合，其中包含0和1，如果数集P对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭，则称数集P是一个数域。,定义3：若P是一个数环，如果数集P内含有一个非零数对a，bP，且b0，有a/bP，则称数集P是一个数域。,例如：有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域。,多项式,1数环和数域,例4证明,是一个数域。,例5设,证明P2，P是一个数域，而且P是包含P1和P2的最小数域。,例6证明任何数域都包含有理数域Q。,例7在Q与R之间是否还有别的数域?R与C之间呢？,例8设F1和F2是两个数域，证明：1）F1F2是一个数域；2）F1F2是数域的充分必要条件是F1F2或F2F1。,多项式,2一元多项式的定义和运算,2一元多项式的定义和运算,一、一元多项式的定义,定义1：设x是一个文字(或符号)，n是一个非负整数，表达式其中a0，a1，an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或简称为数域P上的一元多项式。,定义1在以下两方面推广了中学的多项式定义：这里的x不再局限为实数，而是任意的文字或符号。多项式中的系数可以在任意数域中。,常数项，或称零次项,称为首项，其中首项系数an0,多项式,2一元多项式的定义和运算,例如：,是Q上的一元多项式。,是R上的一元多项式。,是C上的一元多项式。,而,都不是多项式。,定义2：如果在多项式f(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数相等，那么就称多项式f(x)或g(x)相等，记为f(x)=g(x),多项式,2一元多项式的定义和运算,定义3：设非负整数n称为多项式f(x)的次数，记为,例如：,几类特殊的多项式：零次多项式：次数为0的多项式，即非零常数。零多项式：系数全为0的多项式，即f(x)=0。对零多项式不定义次数，因此，在使用次数符号时，总假定f(x)0。首一多项式：首项系数为1的多项式。,多项式,2一元多项式的定义和运算,二、多项式的运算,定义4：设是数域P上次数分别为n和m的多项式(不妨假设mn)，则多项式f(x)和g(x)的和，差为：当m1时，p(x)称为f(x)的重因式。,如果f(x)的标准分解式为：则p1(x)，p2(x)，ps(x)分别是f(x)的k1重，k2重，ks重因式。,多项式,6重因式,定义2多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的一阶导数f(x)是比f(x)低一次的多项式f(x)=annxn-1+an-1(n-1)xn-2+a1一阶导数f(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记为f(x)。f(x)的导数称为f(x)的三阶导数，记为f(x)。f(x)的k阶导数记为f(k)(x)。,一个n次多项式的导数是一个n-1次多项式，它的n阶导数就是一个常数，它的n+1阶导数就是零。,多项式,6重因式,多项式的基本求导法则：1)(f(x)+g(x)=f(x)+g(x)2)(cf(x)=cf(x)3)(f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)4)(fm(x)=mfm-1(x)f(x),定理1若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k1)，则p(x)是f(x)的k-1重因式。,推论1若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k1)，则p(x)是f(x)，f(x)，f(k-1)(x)的因式，但不是f(k)(x)的因式。,多项式,6重因式,推论2不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的当且仅当p(x)是f(x)与f(x)的公因式。,推论3多项式f(x)无重因式的充要条件是f(x)与f(x)互素。,例1求多项式有重因式的条件。,例2用分离重因式方法求多项式在Q上的标准分解式。,多项式,7多项式函数,7多项式函数,一、多项式函数的定义,定义1设f(x)Px，对任意的xP，作映射f：xf(x)P映射f确定了数域P上的一个函数f(x)，f(x)称为P上的多项式函数。,定义2设f(x)Px，对任意的cP，数f(c)=ancn+an-1cn-1+a0称为当x=c时多项式函数f(x)的值，若f(c)=0，则称c为f(x)在数域P中的根或零点。,多项式,7多项式函数,二、余数定理和综合除法,定理1(余数定理)用一次多项式x-c去除多项式f(x)，所得的余式就是一个常数，即这个多项式在x=c时的值f(c)。,问题：有没有更简单的方法确定带余除法f(x)=q(x)(x-c)+r,利用综合除法求q(x)与r时应注意：多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零除式x+b应变为x-(-b),多项式,7多项式函数,例1求用x+2除f(x)=x5+x3+2x2+8x-5的商和余式。,例3每个多项式f(x)都可以唯一表示为x-x0的方幂和，即c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)2+cn(x-xn)n的形式，其中c0，c1，cn为常数。,例4把f(x)=x5+x3+2x2+8x-5表示为x+2的方幂和。,例2设f(x)=x4+2x3-3x2+4x-5，求f(1+i)。,多项式,7多项式函数,定理2(因式定理)(x-c)是多项式f(x)的一个因式的充要条件是f(c)=0。,例5当a，b是什么数时，f(x)能被g(x)整除？其中f(x)=x4-3x3+6x2+ax+b，g(x)=x2-1。,三、多项式的根,定义3若x-c是f(x)的k重因式，则称c是f(x)的一个k重根。当k=1时，c称为f(x)的一个单根。,多项式,7多项式函数,定理3(根的个数定理)Px中的n次多项式(n0)在数域P中的根至多有n个，重根按重数计算。,定理4设f(x)，g(x)Px，它们的次数都不超过n。若在P中有n+1个不同的数使得f(x)与g(x)的值相等。,问题：设a1，a2，an是P中n个不同的数，b1，b2，bn是P中n个任意的数，能否确定一个n-1次多项式f(x)，使得f(ai)=bi，i=1，2，n,多项式,7多项式函数,四、多项式相等与多项式函数相等的关系,1、多项式相等，即f(x)=g(x)对应项的系数相等。2、多项式函数相等，即f(x)=g(x)cP有f(c)=g(c)。,定理5Px中两个多项式f(x)和g(x)相等的充要条件是它们在P上定义的多项式函数相等。,多项式,8复系数与实系数多项式,8复系数与实系数多项式,问题：对于Px中的多项式多项式f(x)，它在数域P上未必有根，但在复数域C上是否有根?,定理1(代数基本定理)每个次数1的复系数多项式在复数域中有一个根。,定理2每个次数1的复系数多项式在复数域中一定有一个一次因式。,一、复系数多项式,多项式,8复系数与实系数多项式,定理3任何次数1的复系数多项式在复数域中有n个根(重根按重数计算)。,推论1复数域上任何次数1的多项式都是可约的，即复数域上，不可约多项式只能是一次多项式。,推论2任何一个次数1的复系数多项式在复数域上都能分解为一次因式的乘积，在适当排序后，这个分解是唯一的。,多项式,8复系数与实系数多项式,一般的复系数多项式在复数域上的根与系数的关系。,设f(x)=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an=a0(x-1)(x-2)(x-n)则a1/a0=-(1+2+n)a2/a0=(12+13+1n+n-1n)an/a0=(-1)n12n,例1求一个首项系数为1的4次多项式，使它以1和4为单根，-2为2重根。,多项式,8复系数与实系数多项式,二、实系数多项式,定理4如果是实系数多项式f(x)的一个复根，则的共轭复数也是f(x)的根，而且与有相同的重数。,定理5任何次数1的实系数多项式在实数域上都可唯一分解为一次因式与二次因式的乘积。,推论3Rx中不可约多项式除一次多项式外，只含有非实共轭复根的二次不可约多项式。,多项式,8复系数与实系数多项式,推论4实系数多项式在实数域上的标准分解式F(x)=a0(x-c1)l1(x-cs)ls(x2+p1x+q1)k1(x2+prx+qr)kr其中c1cs,p1pr,q1qr全为实数，l1ls,k1kr全为正整数，并且x2+pi+qi在实数域上是不可约的，即pi2-4qi0,例2已知实系数多项式x3+2x2+qx+r=0有一根是试求q，r，并求该方程的解。,例3求多项式xn-1在复数域和实数域上的因式分解。,多项式,9有理系数多项式,9有理系数多项式,一、整系数多项式的可约性,定义1(本原多项式)若非零整系数多项式f(x)的系数互素，则称f(x)是一个本原多项式。,定理1(高斯引理)两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。,定理2一个非零整系数多项式f(x)在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。,多项式,9有理系数多项式,推论1设f(x)，g(x)是整系数多项式，且g(x)是本原的，如果f(x)=g(x)h(x)，其中h(x)是有理系数多项式，则h(x)一定是整系数多项式。,例1设f(x)，g(x)是整系数多项式，若f(x)=g(x)h(x)，则h(x)是否一定是整系数多项式。,例2设f(x)，g(x)是本原多项式，且g(x)整除f(x)，证明：f(x)除以g(x)的商也是本原多项式。,多项式,9有理系数多项式,问题：有理数域Q上的不可约多项式有什么特征？,定理3(Eisenstein定理)设f(x)=anxn+an-1xn-1+a0是一个整系数多项式，若存在素数p使得1、p|an2、p|an-1，an-2，a03、p2|a0则f(x)在有理数域上是可约的。,例3证明多项式f(x)=xn+3在有理数域上是不可约的。,多项式,9有理系数多项式,例4判断多项式f(x)=x6-10 x3+2，g(x)=5x4-6x3+12x+6在有理数域上是否可约？。,例5设f(x)是有理数域上的多项式。证明：f(x)在有理数域是不可约的当且仅当存在有理数a0，b，使得多