结构力学 第十三章 结构动力学ppt课件

第十三章结构动力学,13-1动力计算的特点和动力自由度,一、动力计算的特点、目的和内容,1、特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。,“静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。,“动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。,2、目的和内容,计算结构的动力反应：内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。,与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。,简谐荷载（按正余弦规律变化）,一般周期荷载,动力计算的内容(1)研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。,二、动力荷载分类按变化规律及其作用特点可分为：1）周期荷载：随时间作周期性变化。（如转动电机的偏心力）,涉及到内外两方面的因素：1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等等），类似静力学中的I、S等；,三、动力计算中体系的自由度确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。,实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：1、集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。,3）随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）,2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）,tr,FP,tr,FP,2个自由度,2个自由度,自由度与质量数不一定相等,m,mm梁,m,+m梁,I,I,2I,m,+m柱,厂房排架水平振时的计算简图,单自由度体系,水平振动时的计算体系,多自由度体系,构架式基础顶板简化成刚性块,(t),v(t),u(t),4个自由度,m1,m2,m3,2个自由度,无限自由度体系,2、广义座标法：,如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示,用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中,是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。,ak(t)称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。,a1，a2，.an,3)有限元法,和静力问题一样，可通过将实际结构离散化为有限个单元的集合，将无限自由度问题化为有限自由度来解决。,结点位移个数即为自由度个数(近似),四.自由度的确定举例:,W=2,W=2,*弹性支座不减少动力自由度,*为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。,W=1,5),W=2,*自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。,W=2,W=1,8)平面上的一个刚体,W=3,9)弹性地面上的三维刚体,W=6,W=2,W=1,W=13,*自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系；自由度无限多的体系为无限自由度体系。,（4）自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多(有限）自由度体系；自由度无限多的体系为无限自由度体系。,（3）自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。,（1）弹性支座不减少动力自由度。,（2）为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。,确定动力计算自由度时应注意以下几点:,五、动力计算的方法,动力平衡法（达朗伯尔原理）,.运动方程,设其中,FP(t),FI(t),.平衡方程,FI(t)惯性力，与加速度成正比，方向相反,改写成,虚功原理（拉格朗日方程）,哈米顿原理（变分方程）,都要用到抽象的虚位移概念,13-2单自由度体系的自由振动,自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。,自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。,研究单自由度体系的自由振动重要性在于：,1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。,2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。,自由振动反映了体系的固有动力特性。,要解决的问题包括：,建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼.,一、运动微分方程的建立,理论：达朗伯尔原理,应用条件：微幅振动（线性微分方程）,1、刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力壮态，建立(动)平衡方程。,m,yj,yd,质量m在任一时刻的位移y(t)=yj+yd,k,力学模型,yd,m,m,W,FI(t),重力W,弹性力,恒与位移反向,惯性力,(a),其中kyj=W及,上式可以简化为,或,由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。,2、柔度法：研究结构上质点的位移，建立(动)位移协调方程。,可得与(b)相同的方程,刚度法常用于层间模型，柔度法常用于质点模型。,刚度法实质：从静力平衡角度建立运动微分方程,思路类同于位移法方程的建立。,柔度法实质：从变形协调角度建立运动微分方程,思路类同于力法方程的建立。,二、列运动方程举例,例1.,l,将系数代入并整理后:,例2.,将系数代入并整理后:,柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。,层间侧移刚度,对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架),当两层之间发生相对单位水平位移时,两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度.,例3.,经整理后,得:,刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。,例4.,经整理后,得:,例5建立图示体系的运动方程,思考题?,例6建立图示体系的运动方程,方法2:,方法1:,三、自由振动微分方程的解,改写为,其中,它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：,积分常数C1，C2由初始条件确定,设t=0时,（d）式可以写成,由式(e)可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,令,(e)式改写成,它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定,振幅,相位角,四、结构的自振周期和频率,由式,及图可见动位移是一个周期函数。,周期,工程频率,圆频率,计算频率和周期的几种形式,其中是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。st=W在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视、k、st三参数中哪一个最便于计算来选用。,自振周期计算公式：,圆频率计算公式：,一些重要性质：（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅A。（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。,自振频率和周期的计算,1.计算方法,(1)利用计算公式,注意到,(2)利用机械能守恒,(3)利用振动规律,对比后知，动位移与惯性力同频同步。,且有幅值方程：,(4)利用建立运动微分方程,成立,自振频率和周期的计算,2.算例,例1.求图示体系的自振频率和周期.,例2.求图示体系的自振频率和周期.,解:,例3.质点重W,求体系的频率和周期.,解:,例4.求图示体系的自振频率和周期.,解:,法1.能量法,法2.列幅值方程,例4.求图示体系的自振频率和周期.,解:,法3.列运动方程(略),例5.计算图示结构的频率和周期。,例6.计算图示结构的水平和竖向振动频率。,例7.计算图示刚架的频率和周期。,由截面平衡,例8、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。,解：1）求,3l/16,5l/32,l/2,据此可得：123=11.5122,结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。,例9、求图示结构的自振圆频率。,解法1：求k,=1/h,MBA=kh=MBC,解法2：求,13-3单自由度体系的强迫振动,强迫振动：结构在动力荷载作用下的振动。,k,弹性力ky、惯性力,和荷载FP(t)之间的平衡方程为:,一、简谐荷载作用：,单自由度体系强迫振动微分方程,特解：,最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移）。,特解可写为：,通解可写为：,设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：,过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）,按自振频率振动,按荷载频率振动,平稳阶段：,最大动位移（振幅）为：,动力系数为：,当/1时,的绝对值随/的增大而减小。当很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。,重要的特性：当/0时,1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。当01，并且随/的增大而增大。当/1时,。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75/)引起的动力反应:,初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:,(Duhamel积分)（13-15）,初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:,3、几种典型荷载的动力反应,1）突加荷载,yst=FP0=FP0/m2,质点围绕静力平衡位置作简谐振动,2）短时荷载,阶段(0tu)：无荷载，体系以t=u时刻的位移,和速度,为初始条件作自由振动。,或者直接由Duhamel积分作,另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。,当0T/2最大动位移发生在阶段,2）当uT/2最大动位移发生在阶段,=2,动力系数反应谱(与T和u之间的关系曲线),3）线性渐增荷载,这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求解:,对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：,动力系数反应谱,动力系数介于1与2之间。如果升载很短，tr4T,则接近于1,即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。,13-4阻尼对振动的影响,实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如：,事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。,忽略阻尼的振动规律,考虑阻尼的振动规律,结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。,简谐荷载作用下有可能出现共振。,自由振动的振幅永不衰减。,自由振动的振幅逐渐衰减。,共振时的振幅趋于无穷大。,共振时的振幅较大但为有限值。,2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素,1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量；,2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，振动波在土壤中传播而耗散能量；,3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。,振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：,*粘滞阻尼理论非弹性力与变形速度成正比：,*滞变阻尼理论,关于阻尼，有两种定义或理解：,1）使振动衰减的作用；,2）使能量耗散。,3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系：1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。3）与质点速度无关（如摩擦力）。,其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。,平衡方程,一、阻尼对自由振动的影响,令,及,设解为：,特征方程,特征值,一般解,（1）低阻尼情形(1),令,由初始条件确定C1和C2；,设,得,其中,讨论：,（1）衰减周期运动,振幅,（2）阻尼对振幅的影响,-对数衰(递)减率,利用此式,可以通过实验确定体系的阻尼比，上式也可写成：,或,两边取对数：,(2)=1原特征根,于是1,2=-（重根）,微分方程的解,由初始条件确定C1和C2,设,得,临界阻尼Cr,因,阻尼比,不振动,(3),例1.对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm，振动一周T=1.4s后，回摆1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。,解：(1)大梁的重量,由,(2)自振频率,(3)阻尼特性,(4)6周后的振幅,例2、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m,，加一水平力FP=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。,解：,例3:对图示体系作自由振动试验。用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由振动。经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.求：,1.阻尼比2.刚度系数3.无阻尼周期4.重量5.阻尼系数,6.若质量增加800kg体系的周期和阻尼比为多少,解:,1.阻尼比,2.刚度系数,3.无阻尼周期,4.重量,5.阻尼系数,6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比为多少,例4:图示刚架,横梁无限刚,作自由振动试验,要求在10秒内振幅衰减到最大振幅的5%。以知:m=4000kg,l=4m,=0.1,求：刚架柱子的抗弯刚度EI至少为何值?,解:,(1),(2),(3),(4),二、有阻尼的强迫振动,单独由v0引起的自由振动：,瞬时冲量ds=FPdt=mv0所引起的振动，可视为以v0=FPdt/m，y0=0为初始条件的自由振动：,将荷载FP(t)的加载过程看作一系列瞬时冲量：,总反应,（1）突加荷载FP0,低阻尼y-t曲线,无阻尼y-t曲线,静力平衡位置,具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初所引起的最大位移接近于静位移yst=FP0/m2的两倍，然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。,（2）简谐荷载FP(t)=Fsint,设特解为：y=Asint+Bcost代入（15-34）得：,+Asint+Bcost,齐次解加特解得到通解：,自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。,纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变化。,结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。,y=Asint+Bcost=yPsin(t)(15-35a),振幅：yp，最大静力位移：yst=F/k=F/m2,动力系数与频率比/和阻尼比有关,几点注意：随增大曲线渐趋平缓，特别是在/=1附近的峰值下降的最为显著。,当接近时，增加很快，对的数值影响也很大。在0.75/1.25(共振区)内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时的动力反映,阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对的影响较小，可按无阻尼计算。,max并不发生在共振/=1时，而发生在，,由y=yPsin(t)可见，阻尼体系的位移比荷载FP=Fsint滞后一个相位角，,但因很小，可近似地认为：,当时,180体系振动得很快，FI很大，S、FR相对说来较小，动荷主要由FI平衡，FI与y同向，y与FP反向；,弹性力S，惯性力FI，阻尼力FR分别为：,当=时,90,由此可见：共振时（=），S与FI刚好互相平衡，,yst,有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。,k=m2=m2,例.图示为块式基础.机器与基础的质量为;地基竖向刚度为;竖向振动时的阻尼比为机器转速为N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为FP=30kN.求竖向振动时的振幅。,解：,13-5多自由度体系的自由振动,5.1自由振动分析,一.运动方程的建立及其解,自由振动分析的目的是确定体系的动力特性.可不计阻尼。,1.建立运动方程,(1)刚度法,=,+,+,或记作,其中,若为自由振动则有,于是:,(2)柔度法,=,简记为,位移向量,柔度矩阵,荷载向量,质量矩阵,若为自由振动则有,于是:,简记为,设方程的特解为,2.运动方程的解,代入方程,得,经整理,得,-振型方程,为寻求Y1、Y2的非零解，上式中的系数行列式必为零，于是有：,-频率方程,展开上式可得到一个关于的二次方程,-频率方程,展开,整理后有：,-与第一频率相对应的振型，简称第一振型,解频率方程得的两个根,将频率代入振型方程，注意到行列式等于零，振型方程中的两个方程是线性相关的，只有一个独立的方程：,同样处理将频率代入振型方程,-与第二频率相对应的振型，简称第二振型,-频率方程,即,或记作,-振型方程,解频率方程得的两个根,将频率代入振型方程,将频率代入振型方程,特解1,特解2,通解,其中A1、A2是由初始条件确定的任意常数。,特解1也可写为,特解2也可写为,二.关于频率与振型的讨论,体系按特解振动时有如下特点,1)各质点同频同步;,2)任意时刻,各质点位移的比值保持不变,定义:体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状称作体系的主振型。,几点说明：,1.按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，且与位移比值相同。,2.发生按振型的自由振动是有条件的.,3.振型与频率是体系本身固有的属性,与外界因素无关.,4.N自由度体系有N个频率和N个振型,频率方程,解频率方程得N个从小到大排列,依次称作第一频率,第二频率.,第一频率称作基本频率,其它为高阶频率.,将频率代入振型方程,得N个振型,N个振型彼此之间是线性无关的.,5。若已知柔度矩阵时,6。求振型、频率可列幅值方程.,振型方程,频率方程,按振型振动时,振型可看作是体系按振型振动时，惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移,三.求多自由度体系频率、振型例题,例1.求图示体系的频率、振型,解,令,第一振型,第二振型,对称体系的振型分成两组:,一组为对称振型,一组为反对称振型,按对称振型振动,按反对称振型振动,第二振型,解:,例2.求图示体系的频率、振型.已知:,（3）求主振型,第1振型,第2振型,（2）求频率,代公式,若有,例3.求图示体系的频率、振型,解:,令,例4.试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。,解：（1）计算频率,（2）振型,第一振型,第二振型,13-6多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵,6.1主振型的正交性,主振型之间存在一些重要特性,这些特性在动力分析中是非常有用的,或:,对这两种静力平衡状态应用虚功互等定理,有:,故有:,或:,这就是两个主振型之间的第一个正交关系,这就是两个主振型之间的第二个正交关系,注意到:,当然:,于是有:,进而有:,且有:,对于n个主振型之间的正交关系也可给出相应的证明,或:,对n于个主振型之间的正交关系也可给出相应的证明,i振型,i振型上的惯性力,对n于个主振型之间的正交关系也可给出相应的证明,j振型,j振型上的惯性力,i振型上的惯性力在j振型上作的虚功,j振型上的惯性力在i振型上作的虚功,由虚功互等定理,这就是两个主振型之间的第一个正交关系,振型对质量的正交性的物理意义是,i振型上的惯性力在j振型上作的虚功等于0,振型对刚度的正交性的物理意义,i振型上的弹性力在j振型上作的虚功等于0,左乘Yj的转置矩阵:,就得到了两个主振型之间的第二个正交关系,注意到:,特定义:,-广义质量,-广义刚度,特别的:,有:,振型正交性的应用,1.检验求解出的振型的正确性。,例1:试验证振型的正确性,2.对耦联运动微分方程组作解耦运算等等.,例2:已知图示体系的第一振型,试求第二振型.,解:,例3:已知图示体系在动荷载作用下的振幅为,解:,试从其中确定各振型分量.,6.2主振型矩阵,若将n个彼此之间正交的主振型向量组成一个行列的方阵,则该方阵称为主振型矩阵,-广义质量矩阵,同理可得：,-广义刚度矩阵,广义质量矩阵和广义刚度矩阵均为对角阵,13-7多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动,7.1刚度法,先以两个自由度为例,其运动方程为:,若仅考虑稳态解则方程的特解为,代入方程,得,由此可解得动位移幅值,对于n个自由度体系,其运动方程为:,发生共振,对于n个自由度体系,有n种共振可能,例：质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2,解：荷载幅值：FP1=FP，FP2=0，求刚度系数：,k11=k1+k2,k21=k2,k22=k2,k12=k2,当m1=m2=m，k1=k2=k,两个质点的位移动力系数不同。,当,趋于无穷大。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。,如图示对称结构在对称荷载作用下。,与2相应的振型是,=1,当=2，D0=0，也有：,不会趋于无穷大，不发生共振，共振区只有一个。,对称体系在对称荷载作用下时，只有当荷载频率与对称主振型的自振频率相等时才发生共振；当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时不会发生共振。同理可知：对称体系在反对称荷载作用下时，只有当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时才发生共振。,yst1,yst2=FP/k,荷载幅值产生的静位移和静内力,yst1=yst2=FP/k,层间剪力:Qst1=FP,动荷载产生的位移幅值和内力幅值,由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。,层间动剪力:,这说明在右图结构上，,适当加以m2、k2系统,可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。,吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。,设计吸振器时，先根据m2的许可振幅Y2，选定,，再确定,例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值FP=1kN，问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm),解：1）,频率比在共振区之内应设置吸振器。,2）由,弹簧刚度系数为：,N/m,=102kg,7.2柔度法,运动方程,设特解为,解方程,得,其中,1.在平稳阶段,作简谐振动,振动频率与荷载同。,2.当时,3.当时,4.当或时,n自由度体系有n个共振区。,5.求稳态振幅可列幅值方程,-惯性力幅值,6.内力幅值的计算,对于n个自由度体系,其运动方程为:,-惯性力幅值方程,注意到:,7.3简谐荷载作用下的受迫振动例题分析,简谐荷载作用下动力响应计算的主要内容是计算动位移、动内力的幅值并作出动内力的幅值图。,一、刚度法,计算步骤:,1.利用振幅方程计算动荷载幅值引起的动位移振幅。,2.作动内力的幅值图,a.利用层间刚度的物理意义直接作图。,b.先求惯性力幅值，再和动载幅值同时施加于原结构，利用反弯点法或D值法作图。,7.3简谐荷载作用下的受迫振动例题分析,二、柔度法,计算步骤:,1.利用解惯性力幅值方程求出惯性力幅值FI0。,2.根据作动内力的幅值图。,3.由求出动位移幅值Y0。,需要说明的是:,也可用求出的惯性力幅值，再和动载幅值同时施加于原结构，利用静力分析的方法作Md图。,例1：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。,已知：,解：,不存在统一的动力系数,利用对称性可简化计算,对称荷载,反对称荷载,例2：试设计m1使m2不动。,图略,解：,注意到：,欲使m2不动,则必有Y2=0,当然FI2=0.,即：,故必有：,也就是：,展开有：,解得：,13.8多自由度体系在一般动荷载下的强迫振动-振型分解法,一.主振型正交性,i振型上的惯性力在j振型上作的虚功,j振型上的惯性力在i振型上作的虚功,由虚功互等定理,振型对质量的正交性的物理意义,i振型上的惯性力在j振型上作的虚功等于0,振型对刚度的正交性:,振型对刚度的正交性的物理意义,i振型上的弹性力在j振型上作的虚功等于0,二.振型分解法(不计阻尼),运动方程,设,-j振型广