直线的一般式方程

3.2.3直线的一般式方程,我们共学习了哪几种直线方程的形式?,点斜式,斜截式,两点式,截距式,Ax+By+C=0(A,B不同时为0）,我们把关于x,y的二元一次方程,叫做直线的一般式方程，简称一般式.,一般式适用于任意一条直线.,探究1：直线的一般式方程,直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于x，y的方程，上述四种直线方程，能否写成如Ax+By+C=0（A,B不同时为0）的统一形式？点斜式：,探究2：一般式方程与其他形式方程的转化,斜截式：y=kx+bkx-y+b=0两点式：（y1-y2）x+(x2-x1)y+x1y2-x2y1=0截距式：bx+ay-ab=0,例1已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.,解：经过点A(6，-4),斜率为的直线的点斜式方程为,化成一般式，得4x+3y-12=0.,特别：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项的顺序排列.,例2把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.,解：将原方程化成斜截式得,因此，直线l的斜率，它在y轴上的截距是3，,在直线l的方程x-2y+6=0中，,令y=0，可得x=-6，即直线l在x轴上的截距是-6.,例3已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0和l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1/l2，求a的值.,【总结】利用一般式解决平行与垂直问题策略已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.(1)l1l2A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C10(或A1C2-A2C10).(2)l1l2A1A2+B1B2=0.,(2)可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0,再由直线所过的点确定C1;与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2.,1.若直线l在x轴上的截距为-4，倾斜角的正切值为1，则直线l的点斜式方程是_.直线l的斜截式方程是_.直线l的一般式方程是_.,y-0=x+4,y=x+4,x-y+4=0,解：(1)x+2y-4=0.,2.根据下列条件，写出直线的一般式方程：,(2)y-2=0.,(3)2x-y-3=0.,(4)x+y-1=0.,5,-5,3.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形.,例.直线l的方程为Ax+By+C=0,若l过原点和第二、四象限,则()A.C=0,B0B.C=0,B0,A0C.C=0,AB0【解析】选D.直线过原点,则C=0,又过第二、四象限,所以斜率为负值,即所以C=0,AB0.,4.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1，1)和Q(2，2)，若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围.解：如图所示，直线l:x+my+m=0过定点A(0，-1)，当m0时，,解得或当m=0时，直线l的方程为x=0，与线段PQ有交点，所以，实数m的取值范围为,【例】若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0和(5a-2)x+(a+4)y-7=0互相垂直,则a的值为【解析】由题意,(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.答案:0或1,【例】当a为何值时,直线2x+3ay+1=0与直线(a-2)x-ay-1=0平行？【解析】方法一：当a=0时,两直线重合,不合题意.当a0时,若两直线平行,则有解得经检验时两直线平行.方法二：若两直线平行,则有2(-a)-3a(a-2)=0,解得a=0或经检验时两直线平行.,练习.使直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行的a的值为_.【解析】(1)若a-1=0,即a=1时，直线为：x+2y+3=0和直线3x=-6,此时两直线不平行，故a=1时两直线不平行.(2)当a1时，由题意，解得a=3.答案：3,练习.已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线（1）l1l2（2）l1l2?,解.方法一：当m=0时,l1：x+6=0,l2：2x-3y=0两直线既不平行也不垂直；当m0时,l1：y=l2：若l1l2,则解得m=-1；若l1l2,则解得方法二：l1l2等价于13-m(m-2)=0且12m-6(m-2)0,解得m=-1；l1l2等价于1(m-2)+3m=0,解得,直线方程的综合应用1.设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(aR).若直线l不过第三象限,则a的取值范围为.,【解析】1.把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为直线l不过第三象限,故该直线的斜率小于等于零,且直线在y轴上的截距大于等于零.即解得a1.所以a的取值范围为1,+).答案：1,+),例.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线,(1)求实数m的范围.(2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.【解析】(1)由解得m=2,若方程表示直线，则m2-3m+2与m-2不能同时为0，故m2.(2)由解得m=0.,例.如果直线l经过点P(2,1),且与两坐标轴围成的三角形面积为S.若这样的直线l有且只有2条,求S的取值范围.,2.设直线l的方程为则即则a=2S,得a2-2Sa+4S=0或a2+2Sa-4S=0,后一个方程0恒成立,肯定有两个