数学归纳法及其应用举例一新课标人教

2.1数学归纳法及其应用举例,第一课时,演绎推理,推理方法,归纳推理,(一般到特殊),(特殊到一般),完全归纳,不完全归纳,三段论,问题情境一:,问题1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？,问题2:如果an是一个等差数列，怎样得到an=a1+(n-1)d?,完全归纳法,不完全归纳法,模拟演示,在等差数列an中，已知首项为a1，公差为d，那么a1=a1=a1+0d,a2=a1+d=a1+1d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d,an=?,数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例：,费马(1601-1665)法国伟大的业余数学家。,问题情境二:,费马(16011665)：17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马。费马在丢番图著书的边缘，写下一条注记：“当n2时，xn+ynzn没有正整数解，但是边缘太窄写不下我的简单的证明。”费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论数论的发展方向；他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。,数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例：,费马(1601-1665)法国伟大的业余数学家。,欧拉(17071783)，瑞士数学家及自然科学家。,问题情境二:,不完全归纳法,再如:比较2n与n2+2(nN*)的大小.,验证可知：n=1、2、3、4都有2nn2+2,归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法.,（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）,（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）,归纳法:,（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法,（2）不完全归纳法:考察部分对象，得到一般结论的推理方法,归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法,优点：考查全面，结论正确;缺点：工作量大，有些对象无法全面考查.,优点：考查对象少，得出结论快;缺点：观察片面化，结论不一定正确.,如何解决不完全归纳法存在的问题呢？,多米诺骨牌课件演示,如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（1）处理第一个问题；,（2）验证前一问题与后一问题有递推关系.,（相当于能推倒第一块骨牌）,（相当于第K块骨牌能推倒第K+1块骨牌）,问题情境三:,数学归纳法,用不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题和猜想,常采用下面的方法来证明它们的正确性：,（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时结论正确;（2）假设当n=k(kN*,kn0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.在完成了这两个步骤以后,就可以断定这个命题和猜想对于从n0开始的所有正整数n都正确.这种证明方法叫做数学归纳法,例1用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。,例题讲解,证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1+（1-1)d=a1,当n=1时，等式成立,(2)假设当n=k时等式成立，即ak=a1+(k-1)d,则当n=k+1时,ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+(k+1)-1d,当n=k+1时，等式也成立。,由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都成立。,凑假设,结论,从n=k到n=k+1有什么变化,证明:(1)当n=1时左1，右121n=1时，等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即1+3+5+(2k1)=k2那么，当n=k+1时左1+3+5+(2k1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时等式成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立,递推基础,递推依据,例2.用数学归纳法证明1+3+5+(2n1)=n2,数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。其格式主要有两个步骤、一个结论:（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确；验证初始条件（2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也正确；假设推理（3）由（1）、（2）得出结论.点题,归纳小结：,找准起点奠基要稳