湖北省襄阳市第五中学、夷陵中学2020届高三下学期联考 数学（理）（PDF版）

1 湖北省襄阳五中、夷陵中学湖北省襄阳五中、夷陵中学 20202020 届高三届高三 4 4 月线上联合考试月线上联合考试 数 学 （ 理 科 ） 试数 学 （ 理 科 ） 试 题题 命题学校：夷陵中学命题人：尹国江审题人：黄艳飞 （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 第第 卷卷 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1.集合 2 3, logPa，,Qa b，若 0PQ，则PQ的子集个数为 A. 8B. 7C. 6D. 4 2设i是虚数单位，若复数i1z，则 2 2 | z z z A1 iB1 iC1i D1i 3.第七届世界军人运动会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在中国武汉举行,中国队以 133 金 64 银 42 铜位居 金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场 地服务,要求每个人都要被派出去服务,且每个场地都要有志愿者服务,则甲和乙不在同一组的概率是 A. 10 1 B. 10 7 C. 10 3 D. 10 9 4函数 2 ( ) 1 ex f x x 的图象大致是 A.B.C.D. 5已知（x+1）5（ax+1）的展开式中 3 x的系数是4，则实数 a 的值为 A1B1C 5 7 D 5 7 6.木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的 新木件，则原木件的母线与底面所成角正弦值为 A 2 1 B 2 2 C 5 52 D 5 5 7函数xxy2sin32cos(0,) 2 x 的单调递增区间是 A0, 6 B0, 3 C, 62 D, 32 2 8.已知向量cba ,满足30, 2 3 , 3cbcababa ，则c 的最大值等于 A.72B.723C.32D.323 9.若函数xxfsin2)(在区间 3 , 6 上存在最小值2.则非零实数的取值范围是 A.), 3 B.3 , 0(C.3 , 0()0 , 2 3 D.), 3 2 3 ,( 10.已知当 1 , 1,nm时， 22 2 sin 2 sinmn n n m m ，则以下判断正确的是 A.mnB.| | |mn C.mnD.m与n的大小关系不确定 11若不等式组 20 20 0 xy kxy y (0)k 所表示的平面区域的面积为 2，则 2 1 xy z x 的取值范围是 A 3 8 , 2B 5 12 , 2 C), 3 8 2,(D 12 (, 2,) 5 12已知函数 1 ( ) x f xxe ，若对于任意的, 0( 2 0 ex ，函数 2 0 ( )ln() 1g xxxaxf x 在 , 0( 2 e内都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为 A 3 , 1 ( 2 2 e e B 3 ,- ( 2 2 e e C 22 (,ee ee D 2 (1,e e 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13.锐角ABC的内角ABC， ，所对的边分别为abc， ，,若,AaBcCb 2 sin2coscos则A_ 14.已知数列 12 1,4a a成等差数列， 123 1,4b b b成等比数列，则 1 12 b aa 的值是_ 15.已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点和点),3(baP为某个等腰三角形的三个顶点，则双 曲线C的离心率为 16三棱锥SABC中，点P是RtABC斜边AB上一点给出下列四个命题： 若SA 平面ABC，则三棱锥SABC的四个面都是直角三角形； 若2SCBCAC，SC 平面ABC，则三棱锥SABC的外接球表面积为12； 若5, 4, 3SCBCAC，S在平面ABC上的射影是ABC内心，则三棱锥SABC的体积为 2； 若3,4,3ACBCSA，SA 平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为45 其中正确命题的序号是(把你认为正确命题的序号都填上) 3 三三、解答题解答题：本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7070 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 17172121 题为必题为必 考题，每个试题考生都必须作答第考题，每个试题考生都必须作答第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17（本小题满分 12 分）已知等差数列 n a，若11 6 a，且 1452 ,aaa成等比数列. （）求数列 n a的通项公式； （）若2 1 a，设 1 1 nn n aa b，求数列 n b的前n项和 n S. 18（本小题满分 12 分）如图,已知四棱锥S ABCD 中,底面ABCD是边长为2的菱形, 60BAD, 5,7SASDSB ,点E是棱AD的中点,点F在棱SC上,且CSCF,SA/平面BEF. （）求实数的值; （）求二面角FBEC的余弦值. 19（本小题满分 12 分）已知 12 ,F F为椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，点) 3 32 , 1 (P在椭圆 上，且过点 2 F的直线l交椭圆于,A B两点， 1 AFB的周长为34 （）求椭圆E的方程； （ ） 我 们 知 道 抛 物 线 有 性 质 ： “ 过 抛 物 线 2 2ypx(0)p 的 焦 点 为F的 弦AB满 足 2 | |AFBFAFBF p .”那么对于椭圆E，问否存在实数，使得 2222 | |AFBFAFBF成 立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由 20（本小题满分 12 分）在全球关注的抗击“新冠肺炎”中，某跨国科研中心的一个团队，研制了甲、 乙两种治疗“新冠肺炎”新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验，试验方案如下： 第 一 种 ： 选 取 A,B,C,D,E,F,G,H,I,J 共 10 只 患 病 白 鼠 ， 服 用 甲 药 后 某 项 指 标 分 别 为 ： 84,87,89,91,92,91,87,89,90,90； 第 二 种 ： 选 取 a,b,c,d,e,f,g,h,i,j 共 10 只 患 病 白 鼠 ， 服 用 乙 药 后 某 项 指 标 分 别 为 ： 81,87,83,82,80,84,86,89,84,79；该团队判定患病白鼠服药后这项指标不低于 85 的确认为药物有效，否 则确认为药物无效。 4 （）写出第一种试验方案的 10 个数据的极差、中位数、方差； （）现需要从已服用乙药的 10 只白鼠中随机抽取 3 只，记其中服药有效的只数为，求的分布 列与期望； （）该团队的另一实验室有 1000 只白鼠，其中 800 只为正常白鼠，200 只为患病白鼠，每用新研制 的甲药给所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有 90%变为正常白鼠，但正常白鼠仍有 t%（0t10）变为患 病白鼠，假设实验室的所有白鼠都活着且数量不变，且记服用 n 次甲药后此实验室正常白鼠的只数为 an。 求 a1并写出 1n a与 n a的关系； 要使服用甲药两次后，该实验室正常白鼠至少有 940 只，求最大的正整数 t 的值。 21.（本小题满分 12 分）设函数xxgmxxfln)(,1)(. （）讨论 2 2)()()(xxgxfxG的单调区间； （）若当10 x时，函数) 1()(xgxfy的图象恒在直线xy 上方，求实数m的取值范围； （）求证： 4.0100 1000 1001 e. （二（二）选考题选考题：共共 1010 分分请考生在第请考生在第 2222，2323 两题中任选一题作答两题中任选一题作答如果多做如果多做，则按所做第一个题目计分则按所做第一个题目计分， 作答时请用作答时请用 2B2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22.选修44：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 直角坐标系xoy中直线xyl:， 圆C的参数方程为 sin22 cos21 y x （为参数） . （）求C的普通方程，写出l的极坐标方程； （）直线l与圆C交于BA,O为坐标原点，求OBOA. 23.选修 45：不等式选讲 (本小题满分 10 分）已知函数1)( 2 xxxf，且,Rm n ()若22mn，求( )2 ( )f mf n的最小值，并求此时,m n的值； ()若 2 1 nm，求证: 4 3 )()(nnfmf 1 湖北省襄阳五中、夷陵中学湖北省襄阳五中、夷陵中学 20202020 届高三届高三 4 4 月线上联合考试月线上联合考试 数 学 （ 理 科 ）数 学 （ 理 科 ） 答案答案 命题学校：夷陵中学命题人：尹国江审题人：黄艳飞 ABDCDBADDBCA13. 4 14. 2 2 15.416. 1.答案 A【解析】0PQ， 2 log0a，且0b ，解得1,0ab，则3,0P ，1,0Q ， 0,1,3PQ.子集有 823 故选：A 2答案 B【解析】复数i1z，则 2 2 | z z z iiii i 12)1 ()1 ( 1 2 2 ，故选 B 3.答案 D 【解析】五人分成四组，先选两人成一组,余下各自成一组，共有 2 5 C =10 种。甲和乙同一组其余 三人各自成一组，只有一种分法,故甲和乙恰好在同一组的概率是 10 1 ,甲和乙不在同一组的概率是 10 9 4.答案 C 5.答案 D【解析】：（x+1）5（ax+1）的展开式中 3 x的系数是 5 7 4 3 5 2 5 aCaC， 6【答案】B【解析】由三视图知圆锥底面半径为 22 6 3 3()6 2 r ，圆锥的高 22 (3 5)36h ，圆锥 母线 22 666 2l ， 2 2 sin l h 故选 B. 7【答案】A【解析】因为) 6 2(sin2sin32cos xxxy，由 2 2 6 2 2 -2 kxk，解 得 63 - kxk，所以当0k 时，增区间为0, 6 ，选 A. 323, 32, 3 ,6030 30,3120, 2 1 cos , 2 3 , 3,. 8 最大为交点时，的延长线与圆点在当 的优弧上运动，为弦的圆在以 ，得 由题意解析：答案 。 。 cDODCODr ADBDABCACB cbcaABAOBAOB babacOCbOBaOAD 2 3 -3 2 3 - 2 - 3 , 63 , 3 , 6 0 3 2 - 6 , 36 , 3 , 6 0. 9 或；则根据题意知得时，由当 ；则题意知得时，由解析：当答案 xx xxD nmnfmfnfmfn n nm m m mn n n m mxf xx xxx xfx x xxfB )()()()( 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin0 , 1-1 , 0, 0)( ,1 , 0,2 2 cos 22 sin)(, 2 sin)(.10 22 22 2 即变形得 递减。性知在区间上递增，由偶函数对称函数在 时当则它为偶函数，解析：设答案 2 11【答案】C【解析】图中点 2 (2,0), (,0), (0,2)ABC k ，故阴影部分的面积为 12 (2)24 2k 2，解之得 2 1 k, 2 1 xy z x 2 2 1 y x ，设点( , )P x y, 2 1 y m x ， 则m的几何意义是点P与点(1, 2)D连线的斜率，由图可知，4m或 3 2 m，故 的取值范围是), 3 8 2,(. 12【答案】A【解析】函数 2 0 ( )ln()1g xxxaxf x在, 0( 2 e内都有两个不同的零点，等价于方程 2 0 ln1()xxaxf x 在, 0( 2 e内都有两个不同的根 111 ( )(1) xxx fxexex e ，所以当(0,1)x时， ( )0fx ，( )f x是增函数；当, 1 ( 2 ex时，( )0fx ，( )f x是减函数因此0( )1f x. 设 2 ( )ln1F xxxax， 2 121 ( )2 xax F xxa xx ， 若( )0F x 在, 0( 2 e无解，则( )F x在, 0( 2 e上是单调函数，不合题意；所以( )0F x 在, 0( 2 e有解，且易知 只能有一个解设其解为 1 x满足 2 11 210 xax ，当 1 (0,)xx时( )0F x ，( )F x在 1 (0,)x上是增函数；当 ,( 2 1 exx时( )0F x ，( )F x在,( 2 1 ex上是减函数 因为任意的, 0( 2 0 ex 方程 2 0 ln1()xxaxf x 在, 0( 2 e有两个不同的根，所以 0)( 1)()( 2 1max eF xFxF 2 2242 3 012)( e eaaeeeF 11ln)()( 1 2 111max axxxxFxF所以 2 111 ln0 xxax因为 2 11 210 xax ，所以 1 1 1 2ax x ， 代入 2 111 ln0 xxax，得 2 11 ln10 xx .设 2 ( )ln1m xxx， 1 ( )20m xx x ，所以( )m x在), 0( 2 e上是增函 数，而(1)ln11 10m ，由 2 11 ln10 xx 可得 1 ()(1)m xm，得 2 1 1ex 由 1 1 1 2ax x 在), 1 ( 2 e上是增函数，得 2 2 2 1 21 e ea综上所述 2 2 3 1 e ea，故选 A. 13.解析： 2 coscossinbCcBaA，由正弦定理得 3 sincossincossinBCCBA A 3 sin2， AACB 3 sin2sin)sin(, 2 2 sinA ，锐角ABC的内角 4 A 2 2 2,24,41 . 3, 2, 13d,14d, 4成成差数列数列1.14 1 12 1 4 321 2121 b aa bqqqbbb aadaa ，解得则成等比数列，设公比为、数列 解得则设公差为、解析： . 41e-1, 4, 043-, 03443 14- , 1, 043, 034 43.),0 ,(,0 ,-4.15 222222 121 222 222 2212121 eeeecacacbca PFFFeeecaca cbcaPFFFPFPFcFcF ）所以，（，因为得即，即）则（ ，）舍。若，（解得即得 ，），则（若显然）（解析：设答案 16【答案】【解析】对于，因为SA 平面ABC，所以SAAC，SAAB，SABC，又BCAC， 所以BC 平面SAC，所以BCSC，故四个面都是直角三角形，正确； 3 对于，若4,4,4ACBCSC，SC 平面ABC，三棱锥SABC的外接球可以看作棱长为 2 的正方体的 外接球，22 3R ，外接球表面积为12，正确； 对于， 设ABC内心是O， 则SO 平面ABC， 连接OC， 则有 222 SOOCSC， 又内切圆半径 1 (345)1 2 r ， 所 以2OC ，325 222 OCSCSO， 故3SO，三 棱 锥SABC的 体 积 为 111 34 12 332 ABC VSSO 33 ，不正确； 对于，若3SA ，SA 平面ABC， 则直 线PS与平面SBC所成的最大角时，P点与A点重合， 在RtSCA 中，1 3 3 tanASC，45ASC，即直线PS与平面SBC所成的最大角为45，正确， 17 解：（）11 6 a，115 1 da2 分 1452 ,aaa成等比数列， 142 2 5 aaa ，)13)()4 11 2 1 dadada （化简得 2 1 36dda， 若0d，11 n a 若0d，da 1 2由可得，2, 1 1 da4 分 所以数列的通项公式是12 nan 或 11 n a6 分 （）由（1）得) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 12)(12( 1 nnnn bn9 分 ) 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 ( 2 1 21 nn bbbS nn 12 ) 12 1 1 2 1 n n n （ 12 分 18.试题解析：（）连接AC，设ACBEG，则平面SAC平面EFBFG， SA/平面EFB，SA/FG，3 分 GEAGBC， 1 2 AGAE GCBC ， 11 23 SFAG SFSC FCGC ， 3 2 6 分 （） 5,2SASDSEAD SE ，又 2,60ABADBAD ， 3BE 222 SEBESB ，SEBE，SE平面ABCD，7 分 以,EA EB ES所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则 1,0,0 ,0, 3,0 ,0,0,2ABS，平面SEB的法向量1,0,0mEA (0,0,1) 8 分 设平面EFB的法向量, ,nx y z ，则 , ,0, 3,000nEBx y zy ， , ,1,0,202nGFnASx y zxz ，令 1z ，得 2,0,1n ，10 分 5 5 ,cos nm nm nm 即所求二面角的余弦值是 5 5 12 分 4 19【解析】（）根据椭圆的定义，可得 12 | 2AFAFa， 12 | 2BFBFa， 1 AFB的周长为 111122 | | 4AFBFABAFBFAFBFa，3344aa，2 分 椭圆E的方程为 1 3 2 22 b yx ，将 ) 3 32 , 1 (P 代入得2 2 b，所以椭圆的方程为 1 23 22 yx . 4 分 （） 由 （1） 可知 222 431cab =1， 得2(1,0) F， 依题意可知直线l的斜率不为 0， 故可设直线l的方程为1xmy， 由 1 1 23 22 myx yx 消去x，整理得044)32( 22 myym， 设 1122 ( ,), (,)A x yB x y，则 32 4 , 32 4 2 21 2 21 m yy m m yy，6 分 不妨设 12 0,0yy， 222222 2111111 |(1)(1 1)1 |1AFxymyymymy ， 同理 22 222 |1 |1BFmymy ，8 分 所以 222 2212 12 1111111 () | 111 AFBFyy mymym 3 4 ) 1( 34 1 1 32 4 32 ) 32(1616 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 22 2 21 12 2 21 12 2 m m m m mm m yy yy m yy yy m 11 分 即 2222 3BFAFBFAF，所以存在实数3，使得 2222 | |AFBFAFBF成立12 分 20【解析】（）第一种试验方案的 10 个数据的极差为 8，中位数为 89.5， 平均数为 89，方差2 . 5) 11044940425( 10 1 2 S ；3 分 （）在第二种实验中服药有效的白鼠有 3 只，无效的有 7 只，故的可能值为 0，1，2，3， 24 7 )0( 3 10 3 7 0 3 C CC P 40 21 ) 1( 3 10 2 7 1 3 C CC P 40 7 )2( 3 10 1 7 2 3 C CC P 120 1 ) 3( 3 10 0 7 3 3 C CC P 的分布列为： 10 9 120 1 3 40 7 2 40 21 1 24 7 0E 7 分 （） )100( 100 10 900) 100 1 ( 100 90 )1000(8980 11 ta tt aaata nnnn ， 9 分 ,40003728)6(,40004700)5()10, 0()( 4000)8980)(10()(940)8980( 100 10 900 100 10 900 12 fftf tttft t a t a 单调递减，且在 5t故最大整数12 分 0123 P 24 7 40 21 40 7 120 1 5 单调递减，在单调递增在此时 或有两个正根，因此得方程 ，此时时，令当 单调递增在，时，当 ，解 ) 8 16 , 8 16 (,) 8 16 , 0()( , 8 16 8 16 0014 016, 0140 14 )(4 ), 0()(0)(4 44 1 04 1 )(2ln12)()()(（ ）21. 222 22 2 22 2 22 mmmmmm xG mm x mm xmxx mmxx x mxx xGm xGxGm x x xmx x xGxxmxxxgxfxG 单调递增在), 8 16 ( 2 mm 4 分 （）令 xxmxxxgxfxF) 1ln()1 ()()()( 则 1 ln 11 1 mx Fxmx x ，令 1 ( )ln(1)1,0,1 1 mx h xmxx x ，则 2 21 ( ),0,1 (1) mxm h xx x 当 1 2 m 时，有( )h x 2 21 0 1 mxm x ，于是 Fx 在0,1x上单调递增，从而 00FxF ，因此 F x在0,1x上单调递增，所以 00F xF，符合题意 当0m时( )h x 2 21 0 1 mxm x ，于是 Fx 在0,1x上单调递减，从而 00FxF ， 因此 F x在0,1x上单调递减，所以 00F xF，不合题意； 当 1 0 2 m时，令 0 21 min 1, m x