椭圆的标准方程及简单几何质.doc

椭圆的标准方程及简单几何性质椭 圆 1、椭圆的标准方程 椭圆的一般方程 椭圆的参数方程2、 第一定义（文字语言） 符号语言平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆这两个定点，叫做椭圆的焦点,两焦点之间的距离叫做焦距3、 第二定义（文字语言）F1xyF2oyxF1F2o 符号语言4、图 形（顶点坐标）（焦点坐标） （椭圆的焦距）5、范围6、对称轴 （对称中心） 7、离心率 8、准线方程9、焦半径 10、焦点弦11、焦点三角形的面积（公式）1、2、3、12、通径：（过焦点且垂直于对称轴的相交弦）13、离心率相同的椭圆方程14、焦点坐标相同的椭圆方程15、共渐近线的方程典型例题分析题型一、椭圆的方程例1、已知椭圆：长半轴 短半轴 焦距 焦点坐标 若是椭圆上一点，且，则 例2、已知椭圆经过两点（，求椭圆的标准方程 题型二、椭圆的定义例1、已知圆：和定点动圆过点且与圆内切，求圆的圆心轨迹例2、已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程例3、已知椭圆：右焦点为，是椭圆上动点，求的最小值，并求此时P点的坐标。 求的最小值。 题型三、（中点弦问题）例1、若焦点坐标为的椭圆与直线相交所得的弦中点的横坐标是，则此椭圆的标准方程是（ ）(A) (B) (C) (D) 例2、已知过点A(1，1)的直线与椭圆1交于点B、C，当直线l绕点A(1，1)旋转时,求弦BC中点M的轨迹方程题型四、(离心率问题)例1、设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）A B C D例2、椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）例3、已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 思考题:已知椭圆的左右焦点为，若存在动点，满足，且的面积等于，则椭圆离心率的取值范围是 .题型五、（最值问题）例1、已知椭圆，直线：，求椭圆上一点到直线的距离最小值与最大值. 例2、已知椭圆：上一点为，求的最小值。例3、若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 思考题:已知点是椭圆上的一动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围为（ ） A B C D题型六（焦点三角形）例11、是椭圆C：的焦点，为椭圆上一点， (1)在C上满足的点的个数为；(2)若的面积；（3）求的最大值例12、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点已知与共线，与共线，且求四边形的面积的最小值和最大值题型七、（综合问题、知识交汇点命题）例1、【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.例2、【2015高考北京，理19】已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.例3、【2016年高考四川理数】已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T.（）求椭圆E的方程及点T的坐标；（）设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P证明：存在常数，使得，并求的值.例2、解：设椭圆的标准方程则有 ，解得 所以，所求椭圆的标准方程为例3、【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值思考题:已知点是椭圆上的一动点，为椭圆的两个焦点，是坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围为（ ） A B C D思考题:【答案】【解析】试题分析：如图，延长，交与点，连接，是平分线，且可得，为中点，为中点，为中点，设点坐标为，在椭圆中，离心率，由圆锥曲线的统一定义，得，点在椭圆上，又，可得，故答案选B例8、解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等而|FA| |PF|ac,ac于是ac,ac即acc2b2acc2 又e(0,1)故e例9、【答案】解：因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即设点由焦点半径公式，得,则记由椭圆的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率思考题:已知椭圆的左右焦点为，若存在动点，满足，且的面积等于，则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：设，则，所以，存在动点，使得的面积等于，即，即，或，又，所以.考点：椭圆的标准方程及其几何性质.题型七、（综合问题、知识交汇点命题）例1、【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】（）（）（II）【解析】试题分析：根据可知轨迹为椭圆,利用椭圆定义求方程；（II）分斜率是否存在设出直线方程,当直线斜率存在时设其方程为,根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为x斜率k的函数,再求最值.（）当与轴不垂直时,设的方程为,.由得.来源:学_科_网则,.所以.过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,四边形的面积为12.综上,四边形面积的取值范围为.考点：圆锥曲线综合问题例2、【2015高考北京，理19】已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点（）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1),(2)存在点【解析】（）由于椭圆：过点且离心率为，椭圆的方程为.,直线的方程为：，令，；（），直线的方程为：，直线PB与x轴交于点N，令，则.设, ,则，所以，（注：点在椭圆上，），则，存在点使得.例3、【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T.（）求椭圆E的方程及点T的坐标；（）设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P证明：存在常数，使得，并求的值.【答案】（），点T坐标为（2,1）；（）.【解析】试题分析：（）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得，从而可得，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，方程有两个相等实根，解出b的值，从而得到椭圆的标准方程；（）首先设出直线方程为，由两直线方程求出点坐标，得，同时设交点，把方程与椭圆方程联立后消去得的二次方程，利用根与系数关系，得，再计算，比较可得值.（II）由已知可设直线 的方程为，有方程组 可得所以P点坐标为（ ），.设点A，B的坐标分别为 .由方程组 可得.方程的判别式为，由，解得.由得.所以 ，同理，所以.故存在常数，使得.考点：椭圆的标准方程及其几何性质.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法可减少计算量，简化解题过程OF2F1Axy备用题库例1、已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率(1)求椭圆的方程. (2)求的角平分线所在直线的方程.(3)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.例2、 设，分别为椭圆的左右焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为。（1）求椭圆的焦距； （2）如果求椭圆的方程例3、已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线椭圆交与不同的两点以线段为直径作圆,圆心为。（1）求椭圆的方程； （2）若圆与轴相切，求圆心的坐标；（3）设是圆上的动点，当变化时，求的最大值例4、已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值17.【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.【解题指导】（1）设椭圆方程为，把点代入椭圆方程，把离心率用表示，再根据，求出，得椭圆方程；（2）可以设直线l上任一点坐标为，根据角平分线上的点到角两边距离相等得.21、本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分（1）解：由，得，再由，得由题意可知， 解方程组 得 a=2,b=1所以椭圆的方程为(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去Y并整理，得由得设线段AB是中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为令x=0，解得由整理得综上例10、【命题立意】本题主要考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单性质，点关于直线的对称性等知识，考查考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平，探究意识，创新意识和综合运算求解能力【思路点拨】（1）设出椭圆的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解.（2）根据角平分线的性质求出直线的斜率或直线上的一个点的坐标，进而求得直线的方程.（3）先假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点，在此基础之上进行推理运算，