素材：2012高中数学备课参考数学教学几何证明题中的向量方法.doc

l224数学教学 29年第12期几何证明题中的向量方法 2241华东师范大学数学系硕士研究生徐咪咪龚成向量被引入中学数学课堂已经好多年了，它与几何的联系也常常被老师们提起可是关于向量在几何解题中的实际应用，多年来还是只停留在一些立体几何的计算上例如求两个平面所成二面角或点到平面的距离对于那些比较复杂的几何证明题，学生甚至是老师往往还是倾向于在添加辅助线后，使用传统的推理方法事实上，当我们面对几何证明题，到底是选用向量法还是传统方法，正如数学教育家波利亚说的那样，归根于我们对于数学的认识和理解向量法注重的是考查各个量之间的代数运算关系，将复杂的推理化为纯粹的代数运算；而传统的方法，则注重条件与结论间的几何联系，证明巧妙但却不容易想到(在实际的数学教学中，如何正确而又巧妙地添加辅助线一直是一大难题)在本文中，笔者想试着讨论一下向量法在几何证明中的应用为什么向量能有如此大的威力，可以将原本巧妙的分析化为纯粹的代数运算呢?笔者经过仔细思考，发现其根源在向量运算之中在中学数学课本上，向量运算主要有以下三种：加法、数乘与数量积的思哩想量煮鼍：耋圭妻曼 可以说几何的许多基本思想都孕育其中(1)向量加法的定义基于欧氏空间的基本性题分析时，一定要盯住目标，学会联想，推理要有 方向感，运算要讲道理应把先进的教育理念转化为我们具体的解题实践唯模式而不全依靠模 式，持续思索，不断发展与提升分析问题与解决问题的技能，优化思维空间 参考文献质一平坦性(过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行)这是因为向量的加法是通过平行四边形法则定义的，而平行四边形存在的根源正依赖于欧氏空间的平坦性 (2)相似性(图形的放大和缩小)是欧氏空间的另一大特色，而这恰恰是向量数乘运算的来源关于相似性的基本定理一两三角形相似，则各边成比例运用向量表述，就成了数乘分配律 f+1： +简单叙述如下：如图1所示，由于 JE相似于 JE则：，：，：后f，+ 1 由于AB+BC =，于是 f+1：+后图1()所知向的积一等定：3众周，量内有个价义一，二： 61、 IlIII)(I+6一6 而这个定义在几何上反映的就是关于长度1】安振平一道高考数学压卷题的解法探讨【J数学通讯，2008(18)：18-19(一组代数不等式的相关2安振平，吕二动探究J数学通讯，28(20)：46483罗增儒数学解题学引论【M】西安：陕西师范大学出版社，199729年第12期数学教学2与角度的基本定理一勾股定理及其推广余弦定理数学大师陈省身说过：欧几里得几何原本中最重要的定理有两条： (1)三角形内角和等于180度(这等价于欧氏空间的平坦性)； (2)勾股定理由我们上述的分析，这正对应了向量的加法和内积可见，向量运算不但提供了表达各种几何量关系的有效代数公式，而且其运算律本身就已是一套精美的几何基本定理下面我们运用向量的观点来分析几道典型的几何题例1已知平行四边形ABCD，AC为其中较长的一条对角线过点Cr分别作AD、 JE；延长线的垂线，垂足为、F证明：ABI+fAFfJAD1AEJACI=IA BF图2传统方法：过点JE作垂线，垂足为G由 GB = AFC = 90。，且 GB、AAFC有一个公共角F可得 G与 枞那么 = f fAFl=IACAG1I在平行四边形ABCD中，AD平行于B，贝0 B=EAC又由 GB=AEC= 90。，根据三角形相似的判定定理，可得 GB与栅枞那么 =I，0BC1IAEICG11CBIAD那=lAC进一步由I =l，么lABIl+I：l ACI+AFIADIlElAGIlfCGlACfACI1：I 向量证法：由 F上Af，CE上E，可得 F-F=CEAE：0AB与AF方向相同，因而IABIl=ABAFAFI同理，lAEIAEADlI=AD于是，BF+ D AE = ABf +CF)+ D-fC+ E) - _ _ _ = + D C：AC AC， I一 I2所以JBl+JJJEJAIFlD=CJ这里我们可以很清楚地看出向量解法较传统解法简单明了许多在传统方法中还涉及了量的拆分和辅助线的添加，这些往往是学生比较难以掌握的地方几何题证明多直线共点或多点共线，一直是几何教学中的难点，传统方法由于构思巧妙，很难被大多学生掌握，选用向量法却清楚明了许多例2三角形的三条高线相交于一点证明：如图3，设AABC中，、 D分别为B、AB边上的高，且 E、 D相交于点F连结BF B图3由已知可得，FBC=0，CF-AB=0又因为 + + A=0，则 =(一 )(一) _ + -_： AF CA +ABAF _= _、 _ _、 = AF( + B)=AF(一JE l=0由此可见，BF上，即边上的高也过F点所以AB三条高线相交于一点向量法不但是平面几何中解题的好帮手，还能用于解决立体几何中的证明题例3空间四边形的对角线相互垂直的充分必要条件是对边平方的和相等 DG 图4 (下转第1227页)2009年第12期数学教学 12-27去sABD，所以CHDG+AGBF=B。，即 JEi=F +BF。这一证明的好处就是无需用到平方和公式，小学生都能接受对于图9，我们还可以这样分析：SAABD= SAADG-SAABG=SAADCSAFDGSABDG-+sA日G=SADF+sABG，即去B： 二11去FDG+去GBF，即B： F+厶二 BF2图9图10将图9中的Rt GD平移一点，得到图10，由STAC+SBRS=STAS+STSC+SBRS = STARB得a+b =c2将图10中的RtRS再平移一点，使得S与重合，则可得与图3一样的证法这就说明欧几里得证法和赵爽弦图证法本质上都可以看作是两个直角三角形拼摆而成，东西方两种经典的证明由此联系，合为一体(上接第1225页)证明：设 =，=一b， =， DA：d_ 1一则 +b+ +d=0且BDb+ 一d，= c+：一， cA= +d=一ab，充分：由 +b+ +d=0，得才+ =一 b d两边平方后，有+2 +：b+2bd+d因对边平方的和相等，即 + = +，从而：d+4BD-a)( d)CA=(b =f， 、-F1：bbd-Fd：+2： (了+ + +)：0所以上本文的探究告诉我们，证明勾股定理，并不要去花心思构造太复杂的图形只需拿两个完全一样的直角三角形拼摆，再根据面积关系就能简单证明，而且证法是多种多样的需要注意的是将一个三角形的短直角边与另一个三角形的长直角边相靠容易构造出平方如果将一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相靠(图)，则很难构造出平方 C AR B图 11直角三角形的三边符合勾股定理，这本是一个天然的性质，却需要另外一个自我才能证明就好像有人寄东西给你，当你去邮局取时，自己却不能证明自己的身份，此时身份证就成了你的另一个自我当然，勾股定理可以无需借助其他图形就实现证明的，最典型的证明莫过于向量法了参考文献【l】张景中再生的证明J】数学教师1985 (1)：l315 必要性：由BD上，得(b十 )(十)：( + )( +)：0 -_+ -_ -_、0、 展开得6+。6 十 +： 0， +一b+一d+b：0将两 式合并整理