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北 京 四 中 编稿：朱中串 责编：李三山 竖直方向的抛体运动 【学习目标】 1、知识和技能 (1)知道竖直方向上的抛体运动是具有竖直方向的初速度，并且在只受重力作用时所做的匀变速直线运动，其加速度为g。 (2)理解竖直方向上的抛体运动的特点和规律。 (3)会将竖直方向上的抛体运动分解为匀速直线运动和自由落体运动两个分运动，并会求解有关的实际问题。 2、方法和技巧 (1)竖直方向上的抛体运动是只在重力作用下的匀变速直线运动。这里的匀变速是指运动的加速度恒定，一方面指加速度的大小恒定，大小为g；二是指运动方向恒定，总是竖直向下的。(2)对竖直上抛运动的处理有两种方法：一是分步处理法；二是整体处理法。在第一种方法中要感受物理运动过程的对称性给解题带来的方便。 (3)通过对具体问题画草图，是解决问题的重要手段，这一点也很重要。 【知识讲解】 一、1、首先看课本中两个物理概念，先抓住两个关键词： “竖直下抛运动”和“竖直上抛运动” (1)竖直下抛运动：把物体以一定的初速度v0沿着竖直方向向下抛出，仅在重力作用下物体所做的运动。(2)竖直上抛运动：把物体以一定的初速度v0沿着竖直方向向上抛出，仅在重力作用下物体所做的运动。 2、研究运动的方法： (1)在力学中力和运动的关系是力学中的中心问题，这里所讲的力是指物体所受的合外力，对所讲的运动应把握两点：一是初始条件(含初速度和初位置)；二是运动性质(即物体做什么样的运动)。 (2)由上可知要分析竖直下抛运动和竖直上抛运动，也应分析这两种运动中力和运动的关系。 二、研究课本中要讨论与交流的问题 方法：先分析所要比较运动的初始条件和它们的受力特点，然后就可找到它们的相同点、不同点和运动的性质。 1、自由落体运动和竖直下抛运动 相同之处：都是只受重力作用下的运动，都忽略不计空气阻力，即合外力都是重力，为恒力，运动方向都是一直向下。 不同之处：自由落体初速为零；竖直下抛运动具有竖直向下的不为零的初速度。 竖直下抛运动的性质：它是具有竖直向下的初速度，并且在只受重力作用下所做的匀变速直线运动，其加速度为g。 规律： 这两个为基本公式，另外，匀变速直线运动中的推论对竖直下抛运动也成立，主要有四个： 因此，可把竖直下抛运动分解成同一直线上的两个分运动，一是竖直向下的速度为v1的匀速直线运动；二是自由落体运动。 2、竖直上抛运动和竖直下抛运动 (1)相同之处：都是只受重力作用下的运动，空气阻力都不计，另一方面两运动都有一定的初速度。 不同之处：初速度的方向不同，一个是竖直向上；另一个是竖直向下。 (2)竖直上抛的性质：是具有竖直向上的初速度，并且只在受重力作用下所做的匀变速直线运动，其加速度为g。 (3)规律： 按物理研究问题的方法，一般取初速度的方向为正方向。在对竖直上抛研究中，若取竖直向上为正方向，则加速度的方向为负方向，即ag。则vtv0gt 则vt=v1+v2。 故竖直上抛运动可以看成是竖直向上的以速度v1初速度的匀速直线运动和自由落体运动的合成。 三、竖直上抛运动的两种处理方法： 1、分步处理 按照运动的轨迹，把竖直上抛运动可分成上升过程与下降过程，上升过程用初速度不为零的匀减速直线运动来计算；下降过程用自由落体公式来计算。不考虑空气阻力，这两个过程的加速度都等于重力加速度g。 在使用这种方法处理问题时，应注意对称性的应用。 (1)时间对称：做竖直上抛运动的物体上升到最大高度处所需时间t上和从最高点处落回原抛出点所需时间t下相等，即： 其中最大高度hm另外，做竖直上抛运动的物体在上升和下降过程中经过同一段高度的上升时间和下降时间也相同，这也是时间对称。(2)速度对称：做竖直上抛运动的物体在上升和下降过程中经过同一位置时，物体的速度大小相等，方向相反。 2、整体处理 以全程来看，做竖直上抛运动的物体的加速度方向始终与初速度v0的方向相反，所以，要把竖直上抛运动看成是匀变速直线运动时，要特别注意v0、vt、g、h等物理矢量的正负号。一般选取竖直向上为正方向，则初速度v0是正值，上升过程中某一时刻的速度vt也为正值，但是，在下降过程中速度方向改变，vt应该为负值；物体在抛出点以上时，高度h为正值；物体在抛出点以下时，高度h为负值。 比较而言，整体法比较简便，但需要处理好各量的正负号问题，对所求解的结果要注意其物理意义，同时要充分运用上升及下落过程的对称性等规律。 【典型例题讲解】1、注意竖直上抛运动的对称性例1、从地面竖直上抛物体A，同时，在某高度处有一物体B自由落下，两物体在空中相遇时的速率都是v，A、B在运动过程中空气阻力均忽略不计，则： A、物体A的上抛初速率是两物体相遇时速率的2倍 B、相遇时物体A已上升的高度和物体B已下落的高度相同 C、物体A和物体B落地时间相等 D、物体A和物体B落地速度相等 解析：从竖直上抛运动速度的对称性可知，A物体上升的最大高度与B物体自由下落的高度相同，因此两物体落地速度相等，D正确；两物体相遇时刻为B下落的中间时刻，由中间时刻的即时速度等于这段时间内的平均速度可得，即v02v；A正确；由初速度为零的匀变速直线运动比例关系可知，B下落高度与A上升高度之比为13，B错；同时可知A运动时间为B运动时间的两倍，C错。选A、D。 2、竖直上抛运动问题的两种处理方法 例2、气球下挂一重物，以v010m/s匀速上升，当到达离地高h=175m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多少时间落到地面？落地的速度多大？(空气阻力不计，取g=10m/s2) 解析：这里的研究对象是重物，原来它随气球以速度v0匀速上升。绳子突然断裂后，重物不会立即下降，由于惯性它将保持原来的速度做竖直上抛运动，直至最高点后再自由下落。如图所示： 方法一：把重物运动的过程分成上升阶段和下落阶段两过程处理。绳子断裂后重物可继续运动，上升的时间由速度公式vtv0gt，可求得：上升的高度由vt2v022gh可求得： 故重物离地面的最大高度为：Hhh1175m5m180m 重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为 所以，从绳子突然断裂到重物落地共需时间：t=t1t21s6s7s. 方法2：取全过程作一个整体考虑。从绳子断裂开始计时，经时间t最后物体落至抛出点下方。规定初速度方向为正方向，则物体在时间t内的位移h=175m。 由位移公式：得：t22t350 解得：t17s，t25s(舍去) 由速度公式，可求得重物的落地速度为：vtv0gt(10107)m/s60m/s，故vt的大小为60m/s，其中负号表示方向向下，与初速度方向相反。 点评： 方法一是将竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速运动和下降阶段的自由落体运动来处理。方法二是将重物的运动作为整体的匀减速运动来处理，各量要严格按正负号法则代入公式。 3、多值问题的处理方法 所谓“多值问题”是指答案的个数不唯一，有两个或两个以上，甚至有一个或几个系列值，多值问题形成的原因通常有下面几种： 、问题中涉及到的物理量是矢量，但题中又没有明确给定方向，则可能出现多个答案。 、题目给的条件有不确定性，问题的答案可能有几种。 、某些问题中，由于题设条件的限制或物理规律的约束，待求量的取值不是一个或几个稳定的值，而是一个或几个区间值。 例3、某人站在高楼的平台边缘处，以v020m/s的初速度竖直向上抛出一石子。求抛出后，石子经过距抛出点15m处所需的时间(不计空气阻力，g取10m/s2)。 解析：考虑到位移是矢量，对应15m的距离有正、负两个位移，一个在抛出点的上方，另一个在抛出点的下方，根据竖直上抛位移公式 显然，t1、t2是上升和下降阶段经过抛出点上方15m处所对应的两个时间；t3是下降阶段经过抛出点下方15m处所用时间，而t40不符合题意应舍去，故本题答案有三个值，即1s、3s、(2)s 。 点评：本题是典型的竖直上抛的多值问题，在处理此类问题时应注意到位移是矢量。4、范围、条件性问题 例4、在地面上以初速度2v0竖直上抛一物体后，又以初速度v0同地点竖直上抛另一物体，若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔必须满足什么条件？(不计空气阻力) 解析：先用“极限法”分析抛出两物体的时间间隔t。它是一个范围，当t较小(t0)，即两物体几乎同时抛出时，则后一物体回到地面上时，前一物体仍在空中运动，不能满足条件。当t比较大(足够大)时，前一物体早已落地，而后一物体尚未抛出，也不能满足题目的要求。因此t不能太小也不能太大，而是有个范围。 设两物体抛出时间间隔为t1，恰好在后一抛物体落地时前抛物体下落追上相碰，那么前一抛物体的运动时间等于后一抛物体运动时间与t1之和，即： (两球能相碰的最小时间间隔) 又设两物体抛出时间为t2，恰好在后一抛物体抛出瞬间前一物体回到原点相碰，同理得： (两球能相碰的最大时间间隔) 时间间隔必须满足：点评：要求一个物理量的范围，一般方法是：先求这量的最大值与最小值，从而确定它的范围。 5、巧取参照物解题 例5、A、B两棒长均为1m，A悬于高处，B竖直于A下面的地面，A的下端和B的上端相距20m，A做自由落体运动，B同时以初速度40m/s竖直上抛，在运动过程中两棒都保持竖直，问：(1)、两棒何时开始相遇(不相碰) ？ (2)、两棒从相遇到分离历时多少？(g取10m/s2) 解析：这里有两个研究对象：A棒和B棒，它们同时分别做不同的运动，相遇时两棒位移大小之和等于s，从相遇到分离两棒位移大小和等于2L。 (1)设经时间t两棒相遇，由位移公式可知：。 (2)从开始相遇到两棒分离的过程中，A棒做初速度不等于零的匀加速运动，B棒做匀减速运动，设这个“擦肩而过”的时间为t。 则 说明：上面是以地面为参照物观察两个物体的运动情况，计算列式比较麻烦，在解第(2)小题时，还常容易误认为从相遇开始，A棒仍做自由落体运动而造成错误。 由于竖直上抛运动可以看成一个向上的匀速运动和一个自由落体的合运动，因此，如果以A棒为参照物，即从A棒上去观察B棒，B棒的运动是向上做速度为v0的匀速运动，于是立即可得： (1)两棒相遇时间(2)两棒从相遇到分离的时间 6、联系生活实际 联系实际问题关键是建立好模型，搞清研究对象的运动特点。 例6、一跳水运动员从离水面10m高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中心，跃起后重心升高0.45m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)，从离开跳台到手触水面他可用于完成空中动作的时间是s。 (计算时可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点，g取10m/s2，结果保留二位有效数字) 解析：运动员在空中做匀变速运动，可分段处理，运动员向上跃起作竖直上抛运动，上升时间： 运动员从最高点到手触水时，下落时间为： 故可用于完成空中动作时间为tt1t21.7s 用整体法分析：运动员做的是竖直上抛运动，由可求出运动员离开台面时的速度，由题意知整个过程中运动员的位移为10m(以向上为正方向)。 由位移公式解得t1.7s 【巩固练习】 1、在高空中自由释放物体甲后，经过时间T再以初速度v0竖直下抛物体乙，在甲、乙两物体着地之前，关于甲相对于乙的速度，以下说法正确的是 ( )A、越来越大 B、越来越小 C、保持不变 D、要看T和v0的值才能决定相对速度变大或变小 2、一人用手竖直向上抛出一个小球，当小球离开手时，小球的速度为v1，加速度大小为a1，这时手的速度为v2，加速度为a2，则 ( ) A、v1v2，a1a2B、v1v2，a1a2 C、v1v2，a1a2 D、v1v2，a1a23、将一物体以某一初速度竖直上抛，图中哪幅能正确表示物体在整个运动过程中的速度大小v与时间t的关系(不计空气阻力)？( )4、A球自高h处自由下落的同时，B球正对A球竖直上抛，空气阻力不计，欲使两球在距地面高为处相遇，则B球抛出时的初速度为v0应为( ) 5、物体做竖直上抛运动，在落回抛出点时该物体的速率是30m/s，那么物体 ( )。 （g10m/s2，不计空气阻力）A、由抛出到落回抛出点的时间是6s B、只是在2s末时刻经过40m高处 C、经过25m高处时的速度大小一定是20m/s D、上升的最大高度是45m 6、一杂技演员，用一只手抛球，他每隔0.4s抛出一只球，接到球便立即将球抛出，已知除抛、接球的时刻外，空中总有四个球，将球的运动看作是竖直方向的运动，球到达的最大高度是(高度从抛球点算起，g取10m/s2) A、1.6m B、2.4m C、3.2m D、4.0m 7、在竖直上抛运动中，当物体到达最高点时( ) 。 A、速率不为零，加速度为零 B、速度为零，加速度不为零 C、有向下的速度和加速度 D、物体处于平衡状态 8、两个小球分别拴在一根轻绳两端，一人用手拿住一球将它们从三楼阳台上由静止释放，两球先后落地的时间差为t1，若将它们从四楼阳台上由静止释放，它们落地的时间差为t2，不计空气阻力，则t1、t2满足 ( ) A、t1t2 B、t1t2C、t1t2 D、都有可能 9、气球以4m/s的速度匀速竖直上升，它上升到217m高处时，一重物由气球里掉落，则重物要经多长时间才能落到地面？到达地面是的速度是多少？(g10m/s2) 10、以一定的初速度将物体竖直向上抛出，抛出后物体上升到最大高度一半时所用时间为t，求从抛出到物体落回原抛出位置共用多长时间？不计运动中物体所受阻力。 11、A、B两球，A球从距地面高度为h处自由下落，同时将B球从地面以初速度v0竖直上抛，两球沿同一竖直线运动，试求以下两种情况下,B球初速度v0的取值范围:(1)B 球在上升过程中与A球相遇； (2)B 球在下落过程中与A球相遇，两种情况下B球初速度v0的取值范围。 【参考答案】 1、C2、D3、B 4、A 5、ACD6、C7、B8、C 9、提示：重物掉落后，以v04m/s做竖直上抛运动。 解法1：分段研究： 设重物离开气球后经t1s上升到最高点，则，上升的高度 物体上升到最高点后，做自由落体运动，设由最高点经t2s落至地面，H2170.8217.8m， 由掉到落地的总时间：tt1t27.0s 落至地面时的速度vgt2106.6m/s66m/s 解法2：物体由掉出至落到地面全过程为匀减速运动，以向上为正方向，则g为负，抛出点以下位移为负值，由 得：2174t