2010年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题含参考答案

2010年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题含参考答案（2006年3月12日 上午9：0011：00）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1要使方程组的解是一对异号的数，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）2一块含有角的直角三角形（如图），它的斜边AB8cm, 里面空心的各边与的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么的周长是（ ）(A)5cm (B)6cm (C) (D) 3将长为15cm的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种 4作抛物线A关于轴对称的抛物线B，再将抛物线B向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是，则抛物线A所对应的函数表达式是( )(A) (B) (C) (D) 5书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )(A) (B) (C) (D) 6如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第次依次移动个顶点。如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D。依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( )(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.7一元二次方程中，若都是偶数，C是奇数，则这个方程( )(A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根8如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形，那么在由个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案个数是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.10将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是 11中，分别是的对边，已知，则的值是等于 。12设直线和直线(是正整数)及轴围成的三角形面积为，则的值是 。13如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B、C、G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为 。14边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是 。 三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分）15(12分)已知都是整数，且,求的值。16. 做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A，B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元。某日王老板进货A款式服装35件，B款式服装25件。怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺毛利润不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？最大的总毛利润是多少？17. 如图所示，O沿着凸n边形A1A2A3An-1An的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来的位置。（1）当O和凸n边形的周长相等时，证明O自身转动了两圈；（2）当O的周长是，凸n边形的周长是时，请写明此时O自身转动的圈数。18. 已知二次函数。（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的表达式；如果不是，请说明理由；（2）如果直线经过二次函数图象的顶点P，求此时m的值。2010年全国初中数学竞赛(浙江赛区)初赛试题参考答案一、选择题1答案D解：解方程组，得要使方程组的解是一对异号的数，只需2答案B解：连结BE，分别过E，F作AC的平行线 BC于点M和N，则EM=1，BM=，MN= 小三角形的周长是MN+2MN+MN=6cm3答案C解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种4答案：D解：将抛物线C再变回到抛物线A：即将抛物线y=2(x+1)2-1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y=2(x-1)2-2，而抛物线y=2(x-1)2-2关于x轴对称的抛物线是y=-2(x-1) 2+25答案：A解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法，故所求概率是6答案：A解：经实验或按下 方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+k=，应停在第格，这是P是整数，且使06，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7k10，设k=7+t(t=1,2,3)代入可得，由此可知，停棋的情形与k=t时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到。7答案B解：假设有整数根，不妨设它的根是2k或2k+1（k为整数），分别代入原方程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A；若a，b，c分别取4，8，3则排除C，D8答案C 解：每个22小方格图形有4种不同的画法，而位置不同的22小方格图形共有12个，故画出不同位置的L形图形案个数是124=48二、填空题9答案：解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高（设为h），则5h=34,10答案：35%或65%（答对一个给3分）解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35%或65%11答案：解：不难验证，a2=b2+c2，所以ABC是直角三角形，其中a是斜边。bsinB+csinC=12答案：解：方程组直线的交点是（-1，-1）直线、，所以 13答案：解：连结DM并延长交EF于N，则ADMENM，FN=1，则FM是等腰直角DFN的底边上的高，所以FM=14答案： 解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得（此时不能构成三角形，舍去）取其中n是3的倍数三角形的面积当n0时，S随着n的增大而增大，故当n=3时，取最小三、解答题15解：将a=4+2b代入ab+c2-1=0，得2b2+4b+c2-1=0， b，c都是整数，只能取相对应a1=4,a2=4,a3=0,a4=0故所求a+b+c的值有4个：5，3，-1，-316解：设分配给甲店铺A款式服装x件（x取整数，且5x30），则分配给甲店铺B款装（30-x）件，分配给乙店铺A款服装（35-x）件，分配给乙店铺B款式服装25-(30-x)=(x-5)件，总毛利润（设为y总）为：Y总=30x+40(30-x)+27(35-x)+36(x-5)=-x+1965乙店铺的毛利润（设为y乙）应满足：Y乙=27(35-x)+36(x-5)950，得x对于y总=-x+1965,y随着x的增大而减小，要使y总最大，x必须取最小值，又x,故取x=21，即分配给甲店铺A、B两种款式服装分别为21件和9件，分配给乙店铺A，B两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙店铺获毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取的总毛利润最大，最大的总毛利润为y总最大=21+1965=1944（元）17解（1）一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数=（线段的长度圆的周长），因此若不考虑O滚动经过n个顶点的情况，则O自身恰好转动了一圈，现证明，当O在某边的一端，滚动经过该端点（即顶点）时，O自身转动的角度恰好等于n边形在这个顶点的一个外角。如图所示，设A2A1An为钝角，已知AnA1是O的切线，O滚动经过端点A1后到O的位置，此时A1A2是O的切线，因此OAAnA1，OA1A1A2，当O转动至O时，则就是O自身转动的角 。+=90，+=90，+，即O滚动经过顶点A1自身转动的角度恰好等于顶点A1的一个外角。对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证（注：只证明直角的情况）凸n边形的外角和为360O滚动经过n个顶点自身又转动一圈O自身转动的圈数是圈18解：（1）该二次函数图象的顶点P是在某条抛物线上，求该抛物线的函数表达式如下：利用配方，得y=(x+m+1)2-m2-3m，顶点坐标是P（-m-1,-m2-3m）方法一：分别取m=0,-1,1，得到三个顶点坐标是P1(-1,0)、P2(0,2)、P3(-2,-4)，过这三个顶点的二次函数的表达式是y=-x2+x+2将顶点坐标P(-m-1,-m2-3m)代入y=-x2+x+2的左右两边，左边=-m2-3m,右边=-(-m-1)2+(-m-1)+2=-m2-3m，左边=右边，即无论m取何值，顶点P都在抛物线y=-x2+x+2上，即所求抛物线的函数表达式是y=-x2+x+2（注：如果没有“左边=右边