第二章 等额年金 (上)

.,第二章,等额年金（上）,.,主要内容,年金的定义年金的类型年金的现值与终值年金的利率问题、时间问题求解,.,一、年金的定义,年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付或收款。等额年金：每次的支付额相等。,.,二、年金的类型,确定性分类：确定型年金、不确定型年金。每次的支付额分类：等额年金、变额年金。支付时点分类：期初付年金、期末付年金。支付期限分类：定期年金、永续年金。连续性年金：离散型年金、连续型年金。,.,三、年金的现值与终值,1、n年定期年金1）期末付年金现值,0123n,1111,v,v2,vn,.,。,.,上式可写成：,期初投资1元，每年末可获得利息i，且第n年末可获得本金1元。,.,年金终值,.,01n-2n-1n,1111,1+i,(1+i）2,(1+i)n-1,.,。,每年末存入1元，第n年末可得,.,.,证明：,.,2）期初付年金,现值,012n-2n-1n,11111,v,v2,Vn-1,.,。,.,终值,。,01n-2n-1n,1111,1+i,(1+i)2,(1+i)n,.,。,.,.,期初付年金与期末付年金,.,其他,.,例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求：1）每年末的还款额；2）每年初的还款额。,解:,.,2、延期m年的n年期年金,1）期末付延期年金现值,0mm+1m+n-1m+n,111,Vm+1,vm+n-1,Vm+n,.,。,或：,.,终值,或：,.,2)期初付延期年金,现值,或：,.,。,终值,或：,.,例：3，000元的债务从第5年初开始，每年初偿还相同的数额，共分15次还清，年利率为8%，求年还债额。解：,.,3、永续年金,1）期末付年金现值2）期初付年金现值,期初投资元，则每年可获得1元,期初投资元，则每年可获得1元,.,3）延期m年的永续年金,.,4、其他时点上的年金,过期年金的终值,01-nn+1n+m,1-1,同理：,.,.,年金的当前值,01-mn,1-111,同理：,.,例：某投资项目，前3年每年初投资5万元，后3年每年末投资3万元，i=6%，试计算该项投资在10年末的终值,解：前3年投资在10年末的终值为：后3年投资在第10年末的终值为：总的终值为：37.43万元,.,5、连续年金,现值,.,例：某企业从银行获得一笔贷款，年利率为6%，假设企业每年末向银行偿还20，000元，10年后还清，如果企业打算在5年内一次还清，试求一次还清的额度。,解：,.,李明今年30岁，他计划每年初存300元，共存30年建立个人养老金，这笔存款能使他从60岁退休开始每年初得到固定金额的养老金，共能取20年，假设存款利率在前30年为6%，后20年为12%，求每年得到的养老金额。,解：,.,例：某单位计划用10年时间每年初存入银行一笔固定的金额建立基金，用于10年末开始每年2，000元的永续奖励支出，i=12%,求每年需存入的金额。,解：,.,例：设某期初付年金共支付20年，其中：前6年的年金额为5元，中间9年的年金额为7元，后5年的年金额为10元，请写出年金现值和终值的表达式。,解：现值,终值,.,四、年金的利率、时间问题求解,1、利率问题1）迭代法一2）Newton-Raphson迭代法,.,1）迭代法一,迭代公式,.,步骤,第一步：确定i0，求i1；A、i0可由线性插值法确定；B、泰勒级数前两项确定。,.,第二步：由i1求i2，以此类推。,可得i0、i1、i2-，直到it+1it为止。确定迭代公式：,得：,.,。,得：,缺点：收敛速度慢。即达到精确值的速度慢。,.,2）Newton-Raphson迭代公式,优点：速度快。,.,推导N-R近似公式,。,.,。,.,如果已知，则迭代公式,其中：,.,例、某人存入银行8，000元，然后每年末从银行支取1，000元，共取10年，求：i,解法一：线性插值法。,试算得：f(0.040)=0.1109=f(i2)f(0.045)=-0.0873=f(i1),令：,.,解二：迭代一：,i(0)=0.045i(1)=0.0448583i(2)=0.0443989i(6)=0.0433879i(7)=0.0432567i(8)=0.0431539-i(42)=0.04277506i(43)=0.0427750i(44)=0.0427750,由公式：,.,解法三，N-R迭代法,由N-R公式：,得：,i=0.042775,.,2、时间问题,1）解析式,.,2）小额支付,当n为非整数时，有小额支付问题。,01k-1ksk+1,111w,n=k+ss1,最后一次支付额w1,.,W的计算,.,W的提前支付,W在第k+1年初的现值。最后一次取款额为,.,W的延时支付,W在第k+1年末的终值。,.,例：投资者将其20，000元存入某基金，希望在每年末领取1，000，i=4.5%，求：,1）领取的时间及取款的次数；2）最后一次的取款额；3）最后一次取款额在当年的现值和终值。,.,解：,1）求n,取款次数为53次,.,2）设小额支付为w,.,3）如果w在53年初支付，则其现值为：,如果w在53年末支付，则其终值为：,.,五、可变利率年金,假设每年的实际利率分别为i1、i2、-in。1、期末付年金,0i11i22n-2in-1n-1inn,11111,.,现值,.,终值,。,.,2、期初付年金,现值,终值,.,3、如果支付时，以当年利率为标准。,.,例：某人每年初存入银行1，000元，前4年的年利率为6%，后6年的年利率为10%，试求该年金的终值和现值。,解：,终值：,现值：,.,例：在每年初投资1，000元，为期5年。如果前2年的投资按年实际利率5%计算，后3年的投资按年实际利率6%计算，试计算该项投资在第5年末的价值。,解：前2年的投资在第5年末的价值为：后3年的投资在第5年末的价值为：总价值为：,.,第2章练习题,。,.,1、某人想用分期付款方式购买一辆现价为10万元的汽车，如果首期支付一笔款项后，在今后的5年内每月末付款2，000元即可付清车款，假设每月结转一次利息的年名义利率为8%，试计算首期付款的金额为多少？,2、某人将在10年后退休，他打算从现在开始每年初向一种基金存入2，000元，如果每年的收益率为6%，试计算他在退休时可以积存多少退休金？3、某人从2000年3月1日起，每月可以领取200元，直到2010年6月1日。如果每月结转一次利息的年名义利率为6%，试计算：1）年金的现值；2)年金的终值；3)年金在2005年12月31日的值。,.,4、某人在今后的20年内，每年初向一基金存入10，000元，从第30年开始，每年末可以领取一笔退休金。该基金的收益率为6%。1）如果限期领取20年，每次可以领取多少？2）如果无限期的领下去（继承人可以领取）每次可领取多少?,5、某人留下了10万元的遗产，遗嘱规定，该笔遗产前5年的利息收入由其长子领取，第二个5年的利息由其次子领取，从第11年开始，剩余遗产全部归第三个儿子。如果实际利率为8%，试计算第三个儿子在该笔遗产中分别占多大份额。,.,6、某人将一笔遗产（每年可以领取的永续年金）捐赠给了A、B、C、D四家慈善机构。在前n年，每次领取的款项由A、B、C三家平均分享，n年后，剩余部分均由D领取。试确定当(1+i)n为多少时，A、B、C、D四家在该遗产中享有的现值相等。,7、假设一笔10，000元的贷款，计划从第5年开始在每年末偿还1，000元，直到还清为止。如果年实际利率为5%，并要求将不足1，000元的一次非正规付款提前在前一年末支付，试计算最后一次付款的时间和金额。,.,8、如果年利率为i，那么一笔在36年内每年末支付4，000元的年金，与另一笔在18年内每年末支付5，000元的年金将有相等的现值。试计算1，000元的投资在年实际利率为i时，经过多长时间可以翻番。,9、借款人原计划在每月末偿还1，000元，用5年的时间还清贷款。每月结转一次利息的年名义利率为12%。如果他希望一次性支付60，000元还清贷款，应该在何时偿还？10、投资者每月初向一基金存入一笔款项，5年后可以积存到60，000元。如果前2年每次存入1，000元，后3年每次存入500元，试计算每月结转一次利息的名义利率。,.,11、投资者每年末向一年金存入2，000元。如果在前2年的投资按6%的年实际利率计算，在后2年的投资按5%的年实际利率计算，投资者在第四年末可以积存多少价值。,12、投资者每年末向一基金存入2，000元。如果基金在前2年收益率为6%，在后2年的年收益率为5%，投资者在第四年可以积存多少价值。,.,题1。,.,题2。,。,.,题3,.,题4,.,题5,.,题6,.,。,第1章练习题,.,1）投资1在利息强度为的情况下，经过27.72年将增加到2，在每2年计息一次的年名义利率的情况下，经过n年增加到7.04，求n。,解：,.,2）基金以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度t/6积累，在时刻t=0.两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。,解：,.,3）投资1000元在15年末的积累之为3，000元，试确定每月计息一次的年名义利率。,解：,.,4)基金x中的投资以利息强度积累，基金y以年利率i积累，两基金期初值都为1，在第20年末