第二节(应用留数定理计算实变函数定积分)

.,其中a-1就称为f(z)在z0的留数,记作Resf(z0),即,复习,1留数,.,2留数定理设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点b1,b2,.,bn外处处解析.l是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则,包括无限远点和有限远的奇点,判断极点的阶,求留数,.,4.2应用留数定理计算实变函数定积分,留数定理的一个重要应用是计算实变函数的定积分,我们需要把,实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来,才能应用.,的积分区间a,b可以看做复数平面,上实轴的一端l1,如图,或者利用自变数的变换,把l1变换为某个新的复数平面上的回路,这样就可以利用留数定理了;或者另外补,上一段曲线l2,使l1和l2组成回路l,包围区域B,把f(z)解析延拓到闭区域B(延拓把f(x)该为f(z),并沿着l积分得,左边利用留数定理,右边第一个为所求,第二个较容易算出(或为零),问题解决!,.,类型一,.,例1,计算,解,由公式得,而由上节例题可知,故可得结果为,.,例2,解,由公式得,计算,此回路积分的被积函数有两个单极点:,而前者1在回路之外,不予考虑,而单极点在|z|=1内,必须,考虑,下面计算在的留数:,由留数定理可得,.,类型二,积分区间为,复变函数f(z)在实轴,上没有奇点,在上半平面除有限个奇点外是解析的,且当z在上半平面,如果f(x)是有理分式,上述条件意味着没有实的零点，,的次数至少高于两次,此积分可以理解为,若此极限存在,则称此极限为反常积分的值,当,极限存在的话,称,该极限为积分的主值,在这里我们主要计算类型二的积分主值,我们考虑如下图的半圆形积分回路l:,.,根据留数定理可得,然后令,上式左边趋于,可以证明趋于零,其中,max|zf(z)|指的是|zf(z)|在CR上的最大值,由此可得,.,例3,解,计算,本题中,具有单极点士i,其中+i在,上半平面,并且有,利用公式可得结果,先求上半平面极点,然后求留数,最后得结果,.,例4,解,计算,本题中,在上半平面的奇点是,n阶极点+i,.,然后应用公式可求得结果,例5,解,计算,这里积分区间为,不符合条件,不能直接应用公式!,但被积函数1/(1+x2)n是偶函数,故有,则有以下结论,引用上题结果可得,.,类型三,奇点,在上半平面除有限个奇点外是解析的,当z在上半平面或,实轴上时,F(z)和G(z)一致地,首先我们把积分的形式变换如下:,右边第二个积分中作代换x=-y,考虑到F(x)是偶函数有,对于定积分来说,其值与积分变数符号无关,则有,.,同理有,由此我们把类型三化为类型二来处理!,在类型二中,要求z在上半平面或实轴上时，,zF(z)eimz和,zG(z)eimz一致地，,但我们希望条件可以放宽一些,由此,我们引入约当引理,此时我们可以把条件放宽为,F(z)和G(z)一致地,.,约当引理,，则有,证明:,所以有,只需证明,有界即可!,m为整数,以原点为圆心而位于上半平面的半圆周,.,若m是负数,则约当引理形式为:,其中是对于实轴的映像,由此我们得到在放宽的条件下类型三的计算公式如下:,.,例6,解,计算,本题中,有两个单极点士ai,其中,+ai在上半平面,且上述函数在单极点+ai的留数为,于是我们可以得到结果如下,例7,解,计算,本题中,有两个二级极点士ai,.,其中,+ai在上半平面,且上述函数在二级极点+ai的留数为,由此我们可以得到结果,.,类型四实轴上有单极点的情况,考虑积分,被积函数f(x)在实轴上有某个单极点,另外f(z)满足类型二的条件,由于存在极点,以为圆心,而,充分小的正数为半径做半圆弧饶过奇点构成积分回路,则有,取极限,则左边积分为,，右边第一二项之和为所求积分,由约当引理知,第三项为零,然后来看第四项,按以下方法计算:,.,将f(z)在的邻域展开为洛朗级数,由于是单极点,其中为级数解析部分,在,上连续且有界,则有,同时,取极限,可得原积分为,.,如果实轴上有有限个单极点,则可有,实轴上有奇点的时候,仍然归结为留数的计算,但要注意,(1)不是闭合曲线,f(z)洛朗展开的解析部分的积分值由于,才趋于零.,(2)实轴上的奇点只能是单极点,不能是二阶或者以上的极点,更不能是本性奇点,否则时,积分,将趋于,(极点情形)或者不存在(本性奇点情形),.,例8,解,计算,将积分写为,此积分的被积函数eix/x除了在实轴上有单极点x