《高中数学：方程问题与函数问题的转化-李朝科》进阶练习 (三).doc

高中数学：方程问题与函数问题的转化-李朝科进阶练习一、选择题1.函数f（x）=x2-4x+5-2lnx的零点个数为（）A.0B.1C.2D.32.已知函数f（x）=，若方程f2（x）+bf（x）+=0有六个相异实根，则实数b的取值范围（）A.（-2，0）B.（-2，-1）C.（-，0）D.（-，-1）3.已知函数，当x（0，1时，f（x）=x2，若在区间（-1，1内，g（x）=f（x）-t（x+1）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A.B.C.D.二、解答题4.已知函数f（x）=2ex-（x-a）2+3，g（x）=f（x） （）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？ （）当a-1时，证明：g（x）在0，+）有唯一零点； （）当x0时，f（x）0，求实数a的取值范围5.已知函数f（x）=lnx-ax （）若函数f（x）在（1，+）上单调递减，求实数a的取值范围； （）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1x2求证：x1+x21参考答案【参考答案】1.C2.D3.D4.解：（）g（x）=2（ex-x+a），设曲线y=g（x）与x轴相切于点（x0，0），则g（x0）=0，g（x0）=0即， 解得x0=0，a=-1， 因此当a=-1时，x轴是曲线y=g（x）的切线（3分） （）由（）知，当a=-1时，曲线y=g（x）与x轴相切于点（0，0） 当x0时，g（x）=2（ex-1）0，g（x）在0，+）单调递增当a-1时，g（0）=2（1+a）0 所以曲线y=g（x）在y轴两侧与x轴各有一个交点因此g（x）在0，+）有唯一零点（6分） （）当x0时，f（x）0，等价于f（x）在0，+）最小值大于或等于0 首先，f（0）0，即2-a2+30，解得 当时，由（）知f（x）f（0）0所以f（x）在0，+）内单调递增，f（x）f（0）0； 当时，f（x）在0，+）有唯一零点，设零点是t，则et=t-a 当x（0，t）时，f（x）0；当x（t，+）时，f（x）0 所以f（x）在（0，t）上单调递减，在（t，+）上单调递增 所以f（x）在0，+）最小值是f（t）=2et-（t-a）2+3=-（et+1）（et-3） 由f（t）0，得0tln3 由于a=t-et，设h（x）=x-ex，当x（0，+）时，h（x）=1-ex0，h（x）在（0，+）单调递减 因为0tln3，所以a=t-etln3-3，-1） 综上，实数a的取值范围是（12分）5.解：（I）因为f（x）=lnx-ax，则， 若函数f（x）=lnx-ax在（1，+）上单调递减， 则1-ax0在（1，+）上恒成立， 即当x1时恒成立，所以a1（5分） （II）证明：根据题意， 因为x1，x2是函数的两个零点， 所以， 两式相减，可得，（7分） 即，故 那么， 令，其中0t1， 则 构造函数，（10分） 则因为0t1，所以h（t）0恒成立， 故h（t）h（1），即 可知，故x1+x21（12分）【解析】1. 解：由题意得： f（x）=x2-4x+5-2lnx的零点个数即为x2-4x+5-2lnx=0的解的个数， 变形为x2-4x+5=2lnx，即函数y=x2-4x+5与函数y=2lnx的交点个数， 分别画出两个函数图象如下图（其中蓝色实线为y=x2-4x+5，红色实线为y=2lnx）： 所以函数图象有两个交点，即f（x）=x2-4x+5-2lnx的零点个数为2， 故选：C 由题意得，函数零点个数即函数图象与x轴交点个数，将其转化为两个函数图象交点个数即可 本题难度中上，考察学生对函数零点知识点的掌握情况，解题关键在于将零点问题转化为函数交点问题 2.解：令t=f（x），则原函数方程等价为t2+bt+=0 作出函数f（x）的图象如图： 图象可知当由0t1时，函数t=f（x）有3个交点 所以要使f2（x）+bf（x）+=0有六个相异实根， 则等价为有两个根t1，t2， 且0t11，0t21 令g（t）=t2+bt+， 则由根的分布（如下图）可得，即，即， 解得-b-1， 则实数b的取值范围是（-，-1） 故选：D 先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题同时在结合函数f（x）的图象，确定b的取值范围 本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键 3. 解：由题可知函数在x（-1，1上的解析式为， 由g（x）=f（x）-t（x+1）=0得f（x）=t（x+1）， 可将函数f（x）在x（-1，1）上的大致图象呈现如图： 根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置， 因此直线的斜率t的取值范围是 故选：D 由g（x）=f（x）-t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），分别求出函数f（x）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可 本题是最近热点的函数图象辨析问题，是一道较为复杂的难题作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键 4. （）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可 （）当a-1时，求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数单调性的性质即可证明：g（x）在0，+）有唯一零点； （）当x0时，f（x）0的等价条件f（x）在0，+）最小值大于或等于，求函数的导数，利用函数最值和导数之间的关系即可求实数a的取值范围 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用导数的几何意义研究切线问题以及，利用函数单调性，最值与导数之间的关系是解决本题的关键综合性较强，难度较大 5. （）求出函