条件分布与条件期望ppt课件.ppt

对二维随机变量(X,Y),在给定Y取某个值的条件下,X的分布;在给定X取某个值的条件下,Y的分布.,3.5条件分布与条件期望,在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.,在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率,推广到随机变量,设有两个r.vX,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.,这个分布就是条件分布.,3.5.1条件分布,例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布,体重X,身高Y,体重X的分布,身高Y的分布,现在若限制1.7Y0，则称,为在Y=yj条件下随机变量X的条件概率函数.,P(X=xi|Y=yj)=,类似定义在X=xi条件下，随机变量Y的条件概率函数.,作为条件的那个r.v，认为取值是给定的，在此条件下求另一r.v的概率分布.,条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.,例如：,例3.5.1设二维离散联合概率分布列如下：,“给定X时，Y的条件分布”:,P(Y=1|X=1)=,P(Y=2|X=1)=,P(Y=3|X=1)=,0.1/0.6=1/6,0.3/0.6=1/2,0.2/0.6=1/3,P(Y=1|X=2)=,P(Y=2|X=2)=,P(Y=3|X=2)=,0.2/0.4=1/2,0.05/0.4=1/8,0.15/0.4=3/8,“给定Y时，X的条件分布”:,P(X=1|Y=1)=,P(X=2|Y=1)=,1/3,2/3,P(X=1|Y=2)=,P(X=2|Y=2)=,6/7,1/7,P(X=1|Y=3)=,P(X=2|Y=3)=,4/7,3/7,例3.5.1设二维离散联合概率分布列如下：,例3.5.2设XP(1)，YP(2)，且X与Y相互独立.在已知X+Y=n的条件下，求X的分布，即P(X=k|X+Y=n)=?，k=0,1,2,n(n是给定的，所以X值不能超过n),解:由例3.2.2有,X+YP(1+2).,注意:X与Y相互独立，但X与X+Y不相互独立,k=0,1,2,nX的条件分布是二项分布:b(n,1/(1+2),二、连续型r.v的条件分布,设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义.,定义2设X和Y的联合概率密度为p(x,y)，,边际概率密度为，则对一切使,的x,定义已知X=x下，Y的条件,密度函数为,同样，对一切使的y,定义,为已知Y=y下，X的条件密度函数.,我们来解释一下定义的含义：,将上式左边乘以dx,右边乘以dxdy/dy即得,以,为例，,换句话说，对很小的dx和dy，,表示已知Y取值于y和y+dy之间的条件下，X取值于x和x+dx之间的条件概率.,运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件的条件概率.,定义在已知Y=y下，X的条件分布函数为,特别，取,即:若(X,Y)是连续型r.v,则对任一集合A，,例3.5.3设(X,Y)N(1,2,12,22,)，试求两个条件密度函数,解:由例3.1.7知X与Y的边际分布分别为N(1,12)与N(2,22)于是在Y=y下，X的条件密度为,这正是正态分布,类似地在X=x下，Y的条件分布为,在Y=y下，X的条件分布为,因此,二维正态分布的条件分布仍为正态分布.,前面，我们已经知道，二维正态分布的两个边际密度仍是正态分布.,例3.5.4设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为,解：X的边际密度为,当|x|1时，有,即当|x|0.5).,解：,3.5.2条件期望,定义3.4.1条件分布的数学期望称为条件期望:,其中P(X=xi|Y=y)为在给定Y=y下X的条件分布列，p(x|y)为在Y=y下X的条件密度函数,注意：条件期望E(X|y)与(无条件)期望E(X)的不同含义,例:若X表示中国人的年收入，则,若用Y表示中国人受教育的年限，则,E(X)只有一个，而E(X|y)根据Y的取值范围可有很多个，一般E(X|y)是y的函数，随y值变化.,E(X|y)表示:,受过y年教育的中国人群中的平均年收入.,E(X)表示:,中国人的平均年收入.,又如：若X表示中国成年人的身高，则E(X)表示中国成年人的平均身高若用Y表示中国成年人的足长，则,E(X|y)表示:,足长为y的中国成年人群的平均身高.,我国公安部门研究获得:,E(X|y)=6.876y,一案犯在保险柜前留下足印，测得25.3厘米，代入上式得案犯身高大约在174厘米左右.,注意:条件期望E(X|y)与(无条件)期望E(X)的不同含义.,例3.5.6设(X,Y)N(1,2,12,22,)，在例3.5.3中已求得给定Y=y下X的条件分布为正态分布:,条件期望具有数学期望的一切性质，如:,(1),(2)对任一函数g(X)，有,定理3.5.1(重期望公式)条件期望的期望就是(无条件)期望，即EE(X|Y)=E(X).,证:在连续场合,在离散场合,重期望公式具体如下：,解:设X为该矿工到达安全地点所需时间(单位:小时),Y为他所选的门，可能取值1,2,3需要求E(X),由定理3.5.1利用E(X)=EE(X|Y)计算.,例3.5.7一矿工被困在有三个门的矿井里第一个门通一坑道，沿此坑道走3小时可使他到达安全地点；第二个门可使他走5小时后又回到原处；第三个门可使他走7小时后也回到原地如设此矿工在任何时刻都等可能地选定其中一门，试问他到达安全地点平均要用多长时间?,E(X)=EE(X|Y)=E(X|Y=1)P(Y=1)+E(X|Y=2)P(Y=2)+E(X|Y=3)P(Y=3),其中E(X|Y=1)=3,E(X|Y=2)=5+E(X),E(X|Y=3)=7+E(X),P(Y=y1)=P(Y=y2)=P(Y=y3)=1/3,E(X)=3+5+E(X)+7+E(X)/3,E(X)=15(小时),得，,例3.5.8设走进某百货商店的顾客数是均值为3500