定积分存在的条件

27.04.2020,.,1,第二节定积分存在的条件,一、定积分存在的充分必要条件二、可积函数类,27.04.2020,.,2,一、定积分存在的充分必要条件,要判断一个函数是否可积?但由于积分和的不确定性和那个极限常数不易预知，因此这是极其困难的下面即将给出的可积准则,将不确定性过渡到相对确定性,且只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值,27.04.2020,.,3,27.04.2020,.,4,27.04.2020,.,5,和式:,27.04.2020,.,6,所以，可积性理论总是从上和与下和入手,27.04.2020,.,7,定理在原有的分割T中加入新的分点，则上和不增，下和不减即，在原有分割T中加入新的分点后得新分割T，它对应的上和与下和分别记为,2.达布和的性质,27.04.2020,.,8,27.04.2020,.,9,其中,27.04.2020,.,10,27.04.2020,.,11,定理对任意分割T，都有,证,这里M,m分别表示f(x)在a,b的上确界和下确界,即，上和必有下界,下和必有上界,27.04.2020,.,12,定理对于任意两个分割T与T，有,任一分割T的下和都不超过另一分割T的上和,任一分割T的上和都不小于另一分割T的下和,27.04.2020,.,13,第一式得证，同理可证第二式.,又因为,所以,27.04.2020,.,14,27.04.2020,.,15,为了证明达布定理,先介绍下面性质(证式中提炼出,为方便),27.04.2020,.,16,27.04.2020,.,17,类似可证第二式.,27.04.2020,.,18,显然得证.,27.04.2020,.,19,证（只证第一式),要证:,27.04.2020,.,20,对任意分割T,由性质的推论有,27.04.2020,.,21,27.04.2020,.,22,27.04.2020,.,23,3.定积分存在的充分必要条件,27.04.2020,.,24,27.04.2020,.,25,27.04.2020,.,26,Riemann可积的第一充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：,27.04.2020,.,27,定理也可叙述成如下形式,27.04.2020,.,28,27.04.2020,.,29,充分性,27.04.2020,.,30,27.04.2020,.,31,Riemann可积的第二充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：,27.04.2020,.,32,注意到,证明:,27.04.2020,.,33,于是易知f(x)在a,b上Riemann可积,27.04.2020,.,34,二、可积函数类,注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。,27.04.2020,.,35,证根据在闭区间上连续函数性质，,27.04.2020,.,36,从而导致,注意到一致连续性在本定理证明中所起的重要作用,27.04.2020,.,37,27.04.2020,.,38,27.04.2020,.,39,27.04.2020,.,40,27.04.2020,.,41,注:单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性,于是有,27.04.2020,.,42,例2试用两种方法证明函数,27.04.2020,.,43,27.04.2020,.,44,