几种特殊的矩阵

几种特殊的矩阵,1.对角矩阵,称为对角矩阵.,的n阶方阵,注意：,对角矩阵必为方阵.,形如,其中,是主对角,线上的元素,主对角线以外的元素,均为零.,两个n阶对角矩阵的和,数乘n阶对角矩阵,还是n阶对角矩阵.,还是n阶对角矩阵.,=A,所有n阶对角矩阵,数乘、,乘法、,的乘积,还是n阶对角矩阵.,转置封闭.,对角矩阵的转置,还是对角矩阵.,两个n阶对角矩阵,关于加法、,2.数量矩阵,如果n阶对角矩阵A中的元素,则称A为n阶数量矩阵.,即,用一个m阶数量矩阵左乘B，,等于用数乘B,在矩阵的乘法中,用一个n阶数量矩阵右乘B，,等于用数乘B,起着“数”的作用。,数量矩阵,如果n阶方阵A=(aij)中,3.三角形矩阵,则称A为n阶上三角矩阵.,时,即,即主对角线左下方,的元素均为零,上三角矩阵.,的元素满足条件：,的矩阵称为,如果n阶方阵A=(bij)中,则称A为n阶下三角矩阵.,时,即,即主对角线右上方,的元素均为零,下三角矩阵.,的元素满足条件：,注意：,必为方阵.,的矩阵称为,上、下三角矩阵,所有n阶上三角矩阵,即两个n阶上三角矩阵的和,还是n阶上三角矩阵.,关于加法、,乘法封闭.,数乘、,即数k乘n阶上三角矩阵后,还是n阶上三角矩阵.,两个n阶上三角矩阵,矩阵.,的积,还是n阶上三角,上三角矩阵的转置矩阵,同理,下三角矩阵的转置矩阵,为下三角矩阵。,关于加法、数乘、,为上三角矩阵。,对角矩阵,既可看成上三角矩阵,也可看成下三角矩阵.,乘法封闭.,所有n阶下三角矩阵,4.对称矩阵,如果n阶方阵,则称A为对称矩阵。,如,均为对称矩阵.,注意:,满足,矩阵A为对称矩阵,对称矩阵必为方阵.,所有n阶对称矩阵,两个n阶对称矩阵的和、差,数k乘以n阶对称矩阵,但两个n阶对称矩阵的乘积,证,所以AB是对称矩阵。,所以kA是对称矩阵。,仍是n阶对称矩阵.,仍是n阶对称矩阵。,不一定再是n阶,但对于矩阵的乘法不封闭.,关于矩阵的加、减、,对称矩阵.,数乘封闭,设A，B,则,都是n阶对称矩阵,例如,不是对称矩阵。,AB也对称,证,例,A与B可交换,证明,AB对称,A与B可交换,因为A，B都是n阶对称矩阵,所以,设A，B是两个n阶对称矩阵,5.反对称矩阵,如果n阶方阵,则称A为反对称矩阵。,如,注意:,时，,满足,反对称矩阵必为方阵.,矩阵A为反对称矩阵,所有n阶反对称矩阵,两个n阶反对称矩阵的和、差,数k乘以n阶反对称矩阵,两个n阶反对称矩阵的乘积,证,所以AB是反对称矩阵.,所以kA是反对称矩阵.,但对于矩阵的乘法不封闭.,仍是n阶反对称矩阵.,仍是n阶反对称矩阵.,不一定再是反对称矩阵.,关于矩阵的加、减、数乘,都是n阶反对称矩阵,则,封闭,设A,B,例如,不是反对称矩阵。,例,例,证,且A2=O，,则A=O,列,行,如果A是实对称矩阵，,证明：,A对称,例,证明:,是对称矩阵，,是反对称矩阵.,证,是对称矩阵.,是反对称矩阵.,对任意方阵A，,都可表为一个对称矩阵,证,证毕.,