高等数学(170学时)课程.doc

高等数学(170学时)课程教学要求与教学建议重庆三峡学院 高等数学教研室高等数学课程是高等学校（本科）理、工、经、管类专业学生一门必修的重要基础理论课，它是为培养适应我国社会主义现代化建设，适应社会主义市场经济所需要的高质量专门人才开设的。通过本课程的学习，要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概念、基本理论与基本运算技能，同时要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象问题的能力，逻辑推理能力，空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生在处理问题时善于从量的方面去观察、抽象和研究，用数学的原理和方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。本教学要求与教学建议按照我院制定的高等数学教学大纲（170学时），以同济大学应用数学系编写的高等数学（第五版）而拟订。第一章、函数、极限、连续1、基本要求函数概念，基本初等函数的性质及其图形，复合函数，函数的连续性，无穷小，无穷大的概念，无穷小的比较，两个重要极限，用两个重要极限求极限，分段函数及其表示。2、重点：函数的概念，复合函数的概念，极限的概念，无穷小与无穷大，无穷小的比较，两个重要极限，极限的运算，函数连续性，分段函数的连续性。3、难点：，定义，极限中一些定理的论证方法，连续性的论证。4、教学建议（1）第一章第一节，第二节函数，初等函数可只将要用的抽出几条加以讲解以备后用。如复合函数，分段函数，绝对值函数，符号函数等，强调一下基本初等函数的概念，其它均可由学生自看。（2）极限的，定义，从教改角度，这部分主要强调思想，在用定义证明极限存在部分，对用证明极限部分，强调从中解出来，对部分强调从中解出来。（3）分段函数部份应介绍左、右极限以便为后面的左、右连续，左、右导数作准备。（4）可不证，多举例子以加强应用，或只证（5）注意用两个重要极限求极限的练习。（6）间断点的类型可只分第一类和第二类。（7）闭区间上连续函数的性质，注意用几何图形加以解释，对介值定理的应用，需配备适应的例子，并作12个练习。5、学时分配讲课：分配14学时，习题课2学时1.11.3函数、初等函数、数列的极限41.4函数的极限21.51.6无穷小与无穷大、极限运算法则21.71.8极限存在的两个准则、无穷小比较21.9函数的连续性与间断点21.101.11连续函数的运算与初等函数连续性，闭区间连续函数性质2习题课 2第二章、导数与微分1、基本要求导数与微分的概念及运算法则，导数的基本公式，连续与可导的关系，反函数与复合函数求导，高阶导数，隐函数与参数方程所确定的函数的一阶，二阶导数的求法，微分形式不变性。2、重点导数与微分的概念，微分法，抽象函数求导，隐函数求一阶导数，导数的几何意义及物理背景。3、难点微分概念、复合函数的微分法，求隐函数二阶导，求参数方程二阶导数。4、教学建议（1）让学生正确理解导数作为变化率的概念，适当布置一些变化率的应用问题，以培养用导数解决实际问题的能力。（2）熟练掌握初等函数的微分法，并指出一切初等函数的导数仍然是初等函数，会用导数定义求分段函数在分界点处的左右导数。（3）高阶导数重点放在二阶导数，由参数方程所确定的函数的二阶导数，强调方法，不死记公式。（4）让学生正确理解微分是函数增量线性主部的概念，以及函数局部线性化的思想，要交代清楚连续与可导，可微间的关系，在讲课中要讲些并布置一些确定分段函数的未知参数，以使函数连续可导方面的例子。5、学时分配讲课12，习题课22.1导数的概念22.22.5函数和差积商求导法则，反函数求导，复合函数求导法则， 初等函数求导与高阶导数62.6隐函数求导，由参数方程所确定的函数的导数，相关变化率22.72.8函数的微分，微分在近似计算中的应用2习题课 2第三章、微分中值定理与导数应用1、基本要求罗尔定理与拉格朗日中值定理，函数极值的概念，柯西定理与泰勒定理，罗彼塔法则，判断函数的增减性与函数的极值，函数的凹凸性，函数图形的拐点，能解简单的最大值和最小值的应用问题。描绘函数的图形（包括水平与垂直斯近线），曲率和曲率半径的概念与计算，求方程近似解的二分法与切线法。2、重点与难点（1）重点：拉格朗日中值定理，罗必塔法则，函数增减性判断，最大最小值应用问题。（2）难点：泰勒定理及其应用3、教学建议（1）在中值定理部分以拉格朗日中值定理为核心，介绍它的各种形式，证明时最好先从几何直观引导，再证明，让学生弄清三个定理间的联系，在应用中重点介绍拉格朗日定理证明不等式的方法。（2）对泰勒定理，强调为拉格朗日定理的推广，介绍多项式逼近的思想。（3）对罗必塔法则可只证时型情况。（4）对函数的单调性，极值，拐点可统一处理，对定理可先几何说明，再给出分析证明。（5）弄清函数最值与极值的联系与区别，会解较简单的几何，物理方面的最值问题。（6）方程近似解的二分法，切线法可只介绍思路，具体方法放在数学实验课讲。4、学时分配讲课14 习题课23.13.2中值定理，罗彼塔法则43.3泰勒公式23.43.5函数单调性判定，函数的极值及其求法23.63.8最大最小值问题，曲线的凸凹与拐点，函数图形的描绘43.93.10曲率，方程近似解2习题课22第四章、不定积分1、 基本要求不定积分概念及性质，不定积分第一类换元法，第二类换元法与分部积分法，简单的有理函数与无理函数的积分。2、 重点：不定积分概念，不定积分基本公式，换元法与分部积分。3、 教学建议此部分可作较大幅度删减，除强调概念外，应使学生掌握第一类换元法，第二类换元法与分部积分，简单有理函数，无理函数积分。4、 学时分配讲课8 习题课24.14.3概念与性质，换元，分部积分。64.44.5几种特殊类型的积分，积分表的使用。2习题课2第五章、定积分1、基本要求定积分概念及性质，定积分换元法与分部积分法，变上限函数及其求导定理，牛顿一莱布尼兹公式，广义积分，定积分的近似计算。2、重点与难点（1） 重点：定积分概念，积分中值定理，牛顿-莱布尼兹公式，换元法与分部积分。 （2）难点：定积分概念，元素法的应用，定积分变上限函数及其求导定理。3、教学建议（1）要讲清定积分概念，定积分与不定积分的区别与联系。（2）在讲定积分换元法，应注意定理的条件以及和不定积分换元法的区别。（3）增加一些分段函数，绝对值函数积分的例子。4、学时分配讲课8；习题课25.15.2定积分概念，定积分性质25.3微积分基本公式25.45.5定积分换元法，定积分分部积分法25.65.7定积分近似计算，广义积分2习题课 2第六章 、定积分应用1、基本要求 元素法，用元素法表达一些几何量与物理量的方法，平面图形的面积，旋转体的体积，平面曲线的弧长，用元素法解决功，水压力、引力。2、重点与难点（1）重点：元素法，平面图形的面积，旋转体的体积，用元素法解决功，水压力、引力。（2）难点：用元素法解决功，水压力、引力。3、教学建议在定积分应用中，可尝试把元素法思想推广到求非均匀平面薄片质量、非均匀体质量，非均匀曲线质量，（只介绍思想，作举一反三的思维训练）对广义积分不提主值的概念。5、 学时分配讲课6；习题课26.16.2定积分元素法，平面图形面积26.36.4体积，平面曲线弧长26.56.6功、水压力、引力、平均值2习题课 2第七章、空间解析几何与向量代数1、基本要求向量的概念，单位向量，方向余弦及向量的坐标表达式，向量的线性运算，向量的数量积与向量积，向量夹角的求法与向量垂直、平行的条件，用坐标表达式进行向量运算，平面方程和直线及其求法，曲面的概念。常用二次曲面的方程及其图形，旋转曲面，柱面。空间曲线的参数方程和一般方程。2、重点与难点（1）重点：向量概念，向量坐标，向量的方向余弦，向量数量积，向量的向量积，平面方程，直线方程，曲面方程的概念，空间曲线参数方程。（2）难点：向量的向量积，空间区域的联立不等式表示法。3、教学建议（1）向量的数量积与向量积的分配律可不证（2）特别强调单位向量与向量的方向余弦，向量的模及向量平行、垂直条件。（3）要让学生掌握平面方程中某些系数取零值的平面位置的特点，熟练掌握平面方程的求法。（4）要让学生掌握直线标准式中分母某些不数取零值直线的特点，掌握直线一般式与标准式与参数式之间的转换。（5）在本章中要注意空间区域联立不等式表示法与空间曲面的画法，培养空间想象力。4、学时分配讲课12，习题课27.17.2空间直角坐标系，向量及其加减法，向量与数的求法27.3向量的坐标27.4数量积，向量积27.5曲面及其方程27.67.7空间曲线及其方程，平面及其方程27.87.9空间直线方程，二次曲面2习题课 2第八章、多元函数微分法及其应用1、基本要求二元函数的极限，连续性及有界闭域上连续函数的性质，多元函数的的概念，偏导数，全微分的概念，复合函数求导法，方向导数与梯度的概念与计算，隐函数求导法。方程组所确定的隐函数的偏导数，曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法线，条件极值，用拉格朗日乘数法求最大最小值。2、重点与难点（1）重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则，用拉格朗日条件极值求最大值应用问题，方向导数与梯度。（2）难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。3、教学建议（1）二元函数极限与连续，可只作了解（2）多元复合函数，着重理解函数关系，适当作些抽象函数求二阶偏导数的练习。（3）方程组所确定的隐函数可对方程组两边求导，再用克莱姆法则求解，不必死记公式。4、学时分配讲课12，习题28.18.2多元函数的基本概念，偏导数28.38.4全微分及其应用，多元复合函数的求导法则28.5隐函数求导公式28.6微分法在几何上的应用28.7方向导数与梯度28.8多元函数的极值与其求法2习题课 2第九章、重积分1、基本要求二，三重积分的概念与性质，二、三重积分的计算，极坐标下的二重积分，柱坐标、球坐标下的三重积分，重积分的应用。2、重点与难点（1）重点：二、三重积分的计算，重积分的应用。（2）难点：三重积分的计算，。3、教学建议（1）二重积分化为极坐标、三重积分化为柱坐标、球坐标的面积元及体积元，都可作几何说明，不证明。（2）本章应自始至终贯穿元素法，并用此法解决几何、力学、物理的应用问题，此部分练习主要强调思路，题目不宜过繁。4、学时分配讲课10，习题课29.1二重积分的概念与性质29.2二重积分计算29.3三重积分计算 49.4重积分的应用2习题课2第十章、曲线积分与曲面积分1、基本要求对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，格林公式及其应用，对面积的曲面积分，对坐标的曲面积分，高斯公式，斯托克斯公式，场论初步。2、重点与难点（1）重点：两类曲线积分和两类曲面积分的计算。格林公式，（2）难点：，曲线积分与路径无关，高斯公式，斯托克斯公式。3、教学建议（1） 两类曲线积分的计算方法要注意讲清如何转化为定积分的。（2） 注意讲清楚格林公式、高斯公式、斯托克斯公式成立的条件。（3） 散度、旋度、环流量、通量只介绍概念。 4、学时分配讲课12，习题课2 10.1 对弧长的曲线积分 2 10.2 对坐标的曲线积分 210.3 格林公式及其应用 210.4 对面积的曲面积分 210.5 对坐标的曲面积分 210.6 高斯公式，通量与散度 110.7 斯托克斯公式，环流量与旋度 1习题课 2第十一章、无穷级数1、基本要求级数收敛及部分和的概念，等比级数，级数，调和级数的敛散性，正项级数的比较判别法与极限形式，比值法，交错级数的莱布尼定理，级数的绝对收敛与条件收敛，幂级数收敛半径及收敛区间的求法，、动和的麦克劳林展开式。函数级数在其收敛区间内分析性质，简单函数的幂级数的间接展开法。函数展开级数的充分条件，奇函数，偶函数的展开。2、重点与难点 （1）重点：部分和概念，正项级数的比值法，绝对收敛与条件收敛，级数的收敛半径与收敛区间，泰勒级数，函数的幂级数展开式，函数级数，函数展开为正弦级数或余弦级数。（2）难点：正项级数的比较审敛法，函数展开为幂级数的间接法，级数系数求法及收敛区域的确定。3、教学建议（1）常数项级数性质不必全证，级数运算性质只叙述不证明，但要会用此性质求简单级数的和函数。（2）幂级数,强调用求收敛半径。（3）间接法展开作一定量练习。（4）对级数部分可适当介绍一点变换知识，以开阔眼界。4、学时分配讲课16，习题课211.1常数项级数的概念和性质211.2常数项级数审敛法211.3幂级数211.4函数展开为幂级数211.5函数的幂级数展开式的应用211.7级数411.8一般周期的级数 2 习题课2第十二章、微分方程1、基本要求微分方程的解，通解，特解，初始条件，变量可分离方程，齐次方程，柏努力方程，一阶线性方程的解法，全微分方程解法，可降阶的高阶方程的降阶法，高阶常系数线性齐次方程的解法，常系数齐次线性方程解法。简单的实际问题的数学模型。2、重点与难点（1）重点：微分方程的基本概念，变量可分离方程及一阶线性方程的解法，二阶线性微分方程的结构，二阶常系数齐次与非齐次方程的解法。（2）难点：高阶方程的解法，常系数非齐次方程的特解，微分方程的实际应用问题。3、教学建议（1）本部分从教改角度应当是建模与解方程并重，应多介绍有关数学建模的例子