一元二次方程(讲义).doc

教学目标1 了解整式方程和一元二次方程的概念；2 知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。3 通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。教学建议教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。教学建议：1 教材分析：1）知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。2）重点、难点分析理解一元二次方程的定义： 是一元二次方程 的重要组成部分。方程 ，只有当 时，才叫做一元二次方程。如果 且 ，它就是一元二次方程了。解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程 （ ），把它化成一般形式为 ，由于 ，所以 ，符合一元二次方程的定义。（2）条件是用“关于 的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。如“关于 的一元二次方程 ”，这时题中隐含了 的条件，这在解题中是不能忽略的。（3）方程中含有字母系数的 项，且出现“关于 的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。如：“关于 的方程 ”，这就有两种可能，当 时，它是一元一次方程 ；当 时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。教学设计示例一元二次方程（1） 教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。教学难点和难点:重点:1一元二次方程的有关概念2会把一元二次方程化成一般形式难点: 一元二次方程的含义.教学过程设计一、引入新课 引例：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪? 分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。2.这个问题用什么数学方法解决?(间接计算即列方程解应用题。3让学生自己列出方程 ( x（x十5）150 ) 深入引导：方程x(x十5)150有人会解吗?你能叫出这个方程的名字吗？ 二、新课 1从上面的引例我们有这样一个感觉：在解决日常生活的计算问题中确需列方程解应用题，但有些方程我们解不了，但必须想办法解出来。事实上初中代数研究的主要对象是方程。这部分内容从初一一直贯穿到初三。到目前为止我们对方程研究的还很不够，从今天起我们就开始研究这样一类方程-一元一二次方程(板书课题)2什么是元二次方程呢？现在我们来观察上面这个方程：它的左右两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程，就这一点来说它与一元一次方程没有什么区别、也就是说一元二次方程首先必须是一个整式方程，但是一个整式方程未必就是一个一元二次方程、这还取决于未知数的最高次数是几。如果方程未知数的最高次数是2、这样的整式方程叫做一元二次方程(板书一元二次方程的定义)3强化一元二次方程的概念 下列方程都是整式方程吗?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程? (1)3x十25x3： (2)x24(2)(x十3)(3x4)(x十2)2； (4)(x1)(x2)x2十8 从以上4例让学生明白判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。 4. 一元二次方程概念的延伸 提问：一元二次方程很多吗?你有办法一下写出所有的一元二次方程吗? 引导学生回顾一元二次方程的定义，分析一元二次方程项的情况，启发学生运用字母，找到一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 (a0) 1）提问a0时方程还是一无二次方程吗?为什么?(如果a0、b就成了一元一次方程了)。2）讲解方程中ax2、bx、c各项的名称及a、b的系数名称3）强调：一元二次方程的一般形式中“”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别注意的是“”的右边必须整理成0。强化概念（课本P6）1说出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）x2十3x十2O （2）x23x十40； (3)3x2-50（4）4x2十3x20； (5)3x250； (6)6x2x=0。2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数、常数项：(1)6x23-7x； (3)3x(x-1)2(x十2)4；(5)(3x十2)24(x-3)2课堂小节(1)本节课主要介绍了一类很重要的方程一一元二次方程（如果方程未知数的最高次数为2，这样的整式方程叫做一元一二次方程）； (2)要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c0(a0)并且注意一元二次方程的一般形式中“”的左边最多三项、其中二次项、常数项可以不出现、但二次项必须存在。特别注意的是“”的右边必须整理成0；(3)要很熟练地说出随便一个一元二次方程中一二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数课外作业：略习题精选一、关于一元二次方程概念的题目（一）选择题1下列方程中有（）是一元二次方程（1） （2） （3） （4） （5） （6） （A）（1）（5）（6）（B）（1）（4）（5）（C）（1）（3）（4）（D）（2）（4）（5）2若方程 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是（）（A） （B） （C） 或 （D） 且 （二）填空题已知关于 的方程 当 时，方程为一元二次方程，当 时，方程为一元一次方程。（三） 解答题已知关于 的方程 是一元二次方程，求 的取值范围。【参考答案】（一）1A2D（二） ， （三） 的取值范围是 .二、关于一元二次方程一般形式的题目（一）选择题1方程 化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别为（）（A）3，4，2（B）3,2，4（C）3，2，4（D）2，2，02一元二次方程 化为一般形式 （ ）后， 的值分别为（）（A）6,4，3（B）6，4,3（C）5,4，3（D）5,4，33一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为1，则 的值为（）（A）1（B）1（C）2（D）2（二）填空题1 的二次项系数是，常数项为， 的值为。2方程 化为一般式为，二次项系数，一次项系数，常数项的和为。3一元二次方程 ，有两个解为1和1，则有 ，且有 （三）解答题1把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项。（1） （2） （3） （4） （5） 2下列关于 的方程是否为一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出二次项系数，一次项系数及常数项。（1） （2） （3） （4） 【参考答案】一、1B2C3B二、1 ，0,12 ；830,0三、1（1） ； ， ， （2） ； ， ， （3） ； ， ， （4） ； ，0， （5） ； ， ， 2（1） 是一元二次方程二次项系数 ，一次项系数4，常数项 （2）是一元二次方程二次项系数5，一次项系数 ，常数项0。（3）当 时，是一元二次方程二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 当 时，不是一元二次方程。（4） 是一元二次方程二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 典型例题例1 指出下列方程中哪些是一元二次方程（1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：（1）整理得： 移项，合并得： 是一元二次方程（2）移项得： 是一元二次方程（3） 方程的分母中含有未知数它不是一元二次方程（4） 方程中含有两个未知数 它不是一元二次方程（5） 它是一元二次方程（6）整理得： 移次，合并得： 二次项系数合并后为0它不是一元二次方程点拨：对方程要先进行整理，然后再根据条件：整式方程只含有一个未知数未知数的最高次数为2只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程。例2 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再指出其二次项，一次项及常数项。（1） （2） （3） （4）（ ）（5） 解：（1）整理，得 二次项： ，一次项 ，常数项0（2）整理，得： 二次项： ，一次项： ，常数项： （3）整理，得： （4）整理得： 二次项： ，一次项：0，常数项： （5）整理得： 二次项： ，一次项： ，常数项： 点拨：在移项，合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心。要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项的系数。特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号。例3 把下列关于 的方程化成一元二次方程的一般式，并指出它的二次项系数，一次项系数及常数项。（1） （ ）（2） （ ）（3） （4） 解：（1） （ ）二次项系数： ，一次项系数： ，常和项： （2） （ ）二次项系数： ，一次项系数：0常数项： （3） 二次项系数：2，一次项系数： 常数项： （4） 二次项系数： ，一次项系数： ，常数项：1点拨：对于字母系数的方程的整理，应先明确其未知数，再确定各项的系数，特别要注意，一定要讨论所除的二次项系数不能为0，因为一元二次方程只有在这个条件下才是有意义的。教学目标1 初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如 的方程；2 初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程；3 掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程；4 会用因式分解法解某些一元二次方程。5 通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。教学建议教学重点和难点重点：一元二次方程的四种解法。难点：选择恰当的方法解一元二次方程。教学建议：一、教材分析：1知识结构：一元二次方程的解法 2重点、难点分析（1）熟练掌握开平方法解一元二次方程用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程 ， 和方程 就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为 的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。（2）熟记求根公式 （ ）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：1）把方程化为一般形式，并做到 、 、 之间没有公因数，且二次项系数为正整数，这样代入公式计算较为简便。2）把一元二次方程的各项系数 、 、 代入公式时，注意它们的符号。3）当 时，才能求出方程的两根。（3）抓住方程特点，选用因式分解法解一元二次方程如果一个一元二次方程的一边是零，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法求解。这时只要使每个一次因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到两个根就是一元二次方程的解。我们共学习了四种解一元二次方程的方法：直接开平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程时，要认真观察方程的特征，选用适当的方法求解。二、教法建议1 教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质2. 注意培养应用意识教学中应不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践教学设计示例教学目标1. 使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0， b0， c0)可以转化为适合于直接开平方法的形式(x+m)2=n;2. 在理解的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；3. 在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。教学重点和难点重点：掌握用配方法解一元二次方程。难点：凑配成完全平方的方法与技巧。教学过程设计一 复习1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a0)2.不完全一元二次方程的哪几种形式?(答：只有三种ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a0)3.对于前两种不完全的一元二次方程ax2=0 (a0)和ax2+c=0 (a0),我们已经学会了它们的解法。特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m) 2=n(n0)的方程。例 解方程：(x-3) 2=4 (让学生说出过程)。解：方程两边开方，得 x-3=2，移项，得 x=32。所以 x1=5,x2=1. (并代回原方程检验，是不是根)4.其实(x-3) 2=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为一元二次方程。(把这个展开过程写在黑板上)(x-3) 2=4, x2-6x+9=4, x2-6x+5=0. 二 新课1.逆向思维我们把上述由方程方程方程的变形逆转过来，可以发现，对于一个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m) 2=n的形式。这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m) 2。2.通过观察，发现规律问：在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)2。 (添一项+1)即 (x2+2x+1)=(x+1) 2.练习，填空：x2+4x+( )=(x+ ) 2; y2+6y+( )=(y+ ) 2.算理 x2+4x=2x2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。总结规律：对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。即 .+ ( ) (让学生对式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项)项固练习(填空配方) 总之，左边的常数项是一次项系数一半的平方。 问：如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取?算理是什么? 巩固练习(填空配方) x2-bx+( )=(x- ) 2; x2-(m+n)x+( )=(x- ) 2.扩展资料配方法在解题中的应用河北省正定中学 赵建勋配方是数学中的一个重要方法，在解题中有广泛的应用本文通过例题谈谈它的一些应用一、应用于因式分解例1 分解因式x44解 配方，得 原式=x44x24-4x2（x22）2-（2x）2=（x22x2）（x2-2x2）例2 分解因式a2-4ab3b2-2bc-c2解 原式=（a2-4ab4b2）-（b2+2bcc2） （a-2b）2-（bc）2（a-bc）（a-3b-c）二、应用于解方程例3 解方程3x24y2-12x-8y16=0解 分别对x、y配方，得3（x2-4x4）4（y2-2y1）=0，3（x-2）24（y-1）20由非负数的性质，得 例4 解方程（x22）（y24）（z28）=64xyz（x、y、z均是正实数）解 原方程变形，得x2y2z2+4x2z2+2y2z2+8z2+8x2y2+32x2+16y2+64-64xyz=0各自配方，得（xyz-8）22（4x-yz）24（2y-xz）28（z-xy）2=0由非负数的性质，得 运用配方法可为应用非负数的性质创造条件，解题中应注意掌握三、应用于求二次函数的最值例5 已知x是实数，求yx2-4x+5的最小值解 由配方，得yx2-4x4-45=（x-2）21 x是实数，（x-2）20，当x-2=0，即x=2时，y最小，y最小=1例6 已知二次函数y=x2-6xc的图象的顶点与坐标原点的距离等于5，求c的值解 因为yx2-6xcx2-6x9-9c=（x-3）2c-9，所以这个二次函数的顶点坐标为（3，c- 9），它与坐标原点的距离是 四、应用于求代数式的值 本题联合应用了倒数法和配方法使问题得解倒数法是一种解题技巧，解题时注意应用 解 由已知条件，分别对a、b配方，得 （a2-4a4）（b2-2b1）0， （a-2）2（b-1）20 由非负数的性质，得a-20，b-10 a2，b1 五、判定几何图形的形状例9 已知 a、b、c是ABC的三边，且满足a2b2c2-ab-bc-ca0，判定ABC是正三角形证明 由已知等式两边乘以2，得2a22b22c2-2ab-2bc-2ca=0，拆项、配方，得（a2-2abb2）（b2-2bcc2）（c2-2caa2）0， （a-b）2（b-c）2+（c-a）20由实数的性质，得a-b=0，b-c=0，c-a=0， ab，bc，ca，a=b=c 故ABC是等边三角形习题精选用开平方法解一元二次方程一、选择题1方程 的解为（ ）A B C D 2方程 的解为（ ）A B C D 3方程 的实数根的个数是（ ）A0个 B1个 C2个 D无数个4方程 的根是（ ）A B C D 5对于形如 的方程，它的解的正确表达式为（ ）A都可以用直接开平方法求解，且 B当 时， C当 时， D当 时， 二、填空题6若 ，则 的值是 。7若方程 有解，则 的取值范围是 。8方程 的解为 。答案：1B 2D 3C 由 ，得 4D ， ， 5C 当 时， ， 6 7 8 用配方法解一元二次方程1用配方法解下列方程（1） （2） （3） （4） 2用配方法将下列各式化成 的形式（1） （2） （3） （4） 答案：1（1） ； （2） ；（3） ； （4） 。2（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 用公式法解一元二次方程一、选择题1用公式法解方程 ，得到（ ）A B C D 2方程 化简整理后，写成 的形式，其中 分别是（ ）A B C D 二、解答题3用公式法解下列方程（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；（5） ； （6） ；（7） 。答案：1B 2C 3（1） ； （2） ；（3） ； （4） ；（5） ； （6） ； （7） 。用因式分解法解一元二次方程一、填空题1方程 的根是 。2（盐城市，1998）方程 的解是 。3方程 的解是 。二、解答题4用因式分解法解方程（1） ； （2） ；（3） ； （4） 。5用因式分解法解下列方程（1） ； （2） ；（3） ；（4） 。答案：1 2 3 4（1） ； （2） ； （3） ； （4） .5（1） ； （2） ；（3） ； （4） .选择适当的方法解下列关于 的方程1. 2. 3. 4. 5. 6. 答案1. （用直接开平方法）2. （因式分解法）3. 4. 5. 6. （提示： ）解含有字母系数的一元二次方程解关于 的方程 .答案:当 =0时, = ;当 且 0时, , ;当 时,方程无实根.典型例题例1 用直接开平方法解下列方程分析 用直接开平方法解方程,要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式,右边是非负常数的形式,再根据平方根的定义求解.解：移项得： 将方程各项都除以4得： 是64的平方根 例2 用直接开平方法解下列方程。解： ， 点拨：对于无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过应注意二次根式的化简。例3 用配方法解方程解： 移项得： 配方得： 解这个方程 ， 点拨: 配方法是解一元二次方程的重要方法,是导出求根公式的关键.熟练掌握完全平方式是用配方法解题的基础. 对于二次项系数是1的方程, 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可完成配方.例4 用配方法解方程： 分析 因为二次项系数不为1, 所以要先将方程各项同时除以二次项系数后,再配方.解：方程两边同除以3得 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 点拨: “方程两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方”这一步,是配方法的关键, “将二次项系数化为1” 是进行这一关键步骤的重要前提.例1 用公式法解方程解：移项得： ， 例5 用公式法解方程移项得： 点拨：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化成一般式；（2）确定出 ， ， 的值；（3）求出 的值（或代数式）；（4）若 ，则可用求根公式求出方程的解，这样可以减少许多不必要的计算. 另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用, 其中也包括不完全的一元二次方程.典型例题例6 用因式分解法解下列方程。解: 移项得： 把方程左边因式分解得： 或 点拨: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一