河北高考数学第一轮总复习知识点检测 10.3圆的方程课件 旧人教

第三节圆的方程,基础梳理,1.圆的标准方程（1）方程表示圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程;（2）特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为.2.圆的一般方程方程+Dx+Ey+F=0可变形为（1）当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆;,（2）当=0时，方程表示一个点;(3)当r，所以点P在圆外.,学后反思（1）本题方法一与方法二都使用了待定系数法，其中方法一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是结合条件来求所设方程中的待定系数；方法三则应用了平面几何知识：圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而言，在解析几何问题中，用上平面几何知识，会使解题变得相对简单.(2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系.,举一反三,1.求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.,解析圆经过点A(5,2),B(3,2),圆心在x=4上，又圆心在2x-y-3=0上，圆心为（4，5），可设圆的方程为,又圆过B(3,2)，即,，圆的方程为,题型二与圆有关的参数问题,【例2】(2009威海模拟）已知圆的方程为,要使过定点A（1，2）的圆的切线有两条.求a的取值范围.,分析(1)若方程表示圆，则0,即(2)由定点A的切线有两条，则点A一定在圆外.,解若表示圆，则应满足,即4-30,又点A应在圆外，则即+a+90,由得故a的取值范围是,学后反思(1)一般地，方程表示圆隐含着条件0.此点易被忽视.(2)若点在圆+Dx+Ey+F=0外，则,举一反三,2.已知圆的方程,要使圆的半径不大于且过定点A（1，2）的圆的切线有两条，求a的取值范围.,解析圆的方程可化为.由已知即解得a-1或1a,所以a的取值范围为(,-11,).,题型三与圆有关的最值问题,【例3】已知实数x、y满足方程-4x+1=0.(1)求的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.,分析根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.,解原方程可化为,表示以（2，0）为圆心，为半径的圆.(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时,解得k=，如图1，所以的最大值为,最小值为-.,(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时,解得b=-2.如图2，所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.(3)表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心的连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值，如图3.又圆心到的原点的距离为所以，的最大值为的最小值为,学后反思（1）本例中利用图形的直观性，使代数问题得到非常简捷的解决，这是数形巧妙结合的好处.（2）本例的解题关键在于抓住“数”中的某些结构特征，从而联想到解析几何中的某些公式或方程，从而挖掘出“数”的几何意义，实现由“数”到“形”的转化.（3）与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：形如=形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题.,举一反三,3.已知圆C：,点A(-1,0),B(1,0),点P为圆上的动点，求d=的最大值、最小值及对应的P点坐标.,解析设则欲求d的最值，只需求=的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点即为所求.设过O,C两点的直线交圆C于两点，则此时此时,题型四与圆有关的简单的轨迹问题,【例4】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,分析动点M的轨迹与点A的位置变化有关，因此可以把点A的坐标用点M的坐标表示出来，再代入点A所满足的方程求得点M的轨迹方程.,解设点M的坐标为(x,y),点因为M是线段AB的中点，且B（4，3），所以所以又点A在圆上运动，,所以.把代入，得整理得.所以点M的轨迹是以为圆心，半径为1的圆.,学后反思（1）本例中M、A是相关动点，M、A、B三者存在着不变的关系，抓住该关系可以实现动点M、A的坐标间的转化.（2）一般地，设点时，动点设为（x,y），相关点设为，并将(x,y)用表示出来，代入满足的关系式.,举一反三,4.已知圆上一定点A(2,0),P为圆上的动点.求线段AP中点的轨迹方程.,解析设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x-2,2y）.P点在圆上，故线段AP中点的轨迹方程为,题型五圆的方程的实际应用,【例5】(12分)在气象台A正西方向300千米处有一台风中心B，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响，问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将受台风影响？持续多长时间？,分析几小时后气象台所在地受到台风影响，就是指以台风中心为圆心的圆何时开始经过该城市，持续多长时间即为台风圆何时离开.可建立直角坐标系，用变量t表示出B点坐标，进而求解.,解以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系，如图，则现在台风中心B的坐标为（-300，0）.根据题意可知,t小时后B的坐标为（-300+40tcos45,40tsin45）,即（-300+20t,20t）.3因为以台风中心为圆心，以250千米为半径长的圆上和圆内的区域将遭受台风影响，所以气象台A在圆上或圆内时，将受台风影响，所以令AB250,即.6整理得16-120t+2750,.8解得10故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时12,学后反思在解决有关的实际问题时，关键要明确题意，根据所给条件建立直角坐标系，建立数学基本模型，将实际问题转化为数学问题解决.,举一反三,5.有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍.已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在的曲线方程，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.,解析如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，AB=10,A(-5,0),B(5,0).设P(x,y),P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/公里).当由P地到A、B两地购物费用相等时，即价格+A地运费=价格+B地运费，化简整理，得,(1)当P点在以为圆心，为半径的圆上时，居民到A地或B地购货总费用相等，故此时到A地或B地购物均可.,（2）当P点在上述圆内时，故此时到A地购物合算.,（3）当P点在上述圆外时，故此时到B地购物合算.,易错警示,【例1】已知直线l：y=x+b与曲线C：有两个公共点，求实数b的取值范围.,正解方法一：曲线C中，y0，由消去x得.曲线C和直线l有两个公共点等价于此方程有两个不等的非负实根，所以解得1b.,易错分析常见错误是将直线方程和圆的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，有两个解用0，忽视了方程中要求y0，-1x1这一限制条件，导致了错误结论.另外，若采用数形结合方法解答，易误将化为，而不考虑y的取值范围，将图形由半圆扩大为整圆.,方法二：方程y=x+b表示斜率为1的平行直线系，方程表示单位圆位于x轴及其上方的半圆，如下图所示.,【例2】已知圆的方程是，点P（x,y）在圆上运动，求的最值.,错解因为,所以，所以，所以有最小值-1，但没有最大值.,当l通过点A（-1，0），B（0，1）两点时，l与C交于两点，此时b=1，直线记为，当l和半圆相切时，切线记为，此时b=2，那么l夹在与之间时，直线l与曲线C有两个不同的公共点，因此1b.,错解分析本题在解答过程中，把未知数y替换为x这一步是正确的；配方后，由于把未知数x的取值范围默认为全体实数，而导致结果错误.事实上，在已知的方程中，配方得，圆心为（1，0），半径为1，所以0x2，而不是xR.,正解由得，所以，又因为x0,2，所以0，8，所以最小值是0，最大值是8.,10.（2010福州模拟）圆-4x+2y+c=0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若APB=90，则实数c=.,答案:-3,解析:由题意知，圆=5-c,5-c0，P(2,-1).APB=90，PA=PB，2=PBsin45PB=5-c=8，c=-3.,11.已知方程-2(t+3)x+2(1-4)y+16+9=0(tR)的图形是圆.（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4）恒在所给圆内，求t的取值