高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程1椭圆的参数方程学案含解析.docx

1椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆1的参数方程是(是参数)，规定参数的取值范围是已知实数x，y满足1，求目标函数zx2y的最大值与最小值将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题椭圆1的参数方程为(为参数)代入目标函数得z5cos 8sin cos(0)cos(0).所以目标函数zmin，zmax.利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解1已知椭圆1，点A的坐标为(3,0)在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大解：椭圆的参数方程为(为参数)设P(5cos ，4sin )，则|PA|3cos 5|8，当cos 1时，|PA|最大此时，sin 0，点P的坐标为(5,0)2椭圆1上一动点P(x，y)与定点A(a,0)(0a3)之间的距离的最小值为1，求a的值解：椭圆的参数方程为(为参数)设动点P(3cos ，2sin )，则|PA|2(3cos a)24sin252a24.0a3，0a.于是若0a1，则当cos a时，|PA|min 1，得a(舍去)；若1a，则当cos 1时，由|PA|min1，得|a3|1，a2，故满足要求的a值为2.椭圆参数方程的应用：求轨迹方程已知A，B分别是椭圆1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求ABC的重心G的轨迹方程由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点C坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解由题意知A(6,0)，B(0,3)由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos ，3sin )，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得即消去参数得到(y1)21.本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便3已知椭圆方程是1，点A(6,6)，P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨迹方程解：椭圆的参数方程为(为参数)设P(4cos ，3sin )，Q(x，y)，则有即(为参数)9(x3)216(y3)236，即为所求轨迹方程4设F1，F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右两个焦点(1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a4，即a2.又点A在椭圆上，因此1，得b23，于是c2a2b21，所以椭圆C的方程为1，焦点坐标为F1(1,0)，F2(1,0)(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos ，sin )，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则x，y，所以xcos ，sin .消去，得21.即为线段F1P中点的轨迹方程.椭圆参数方程的应用：恒成立问题已知椭圆y21上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点，求证：|OP|OQ|为定值利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，MB2的方程，从而得到P，Q两点坐标，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|OQ|的值设M(2cos ，sin )，为参数，B1(0，1)，B2(0,1)则MB1的方程：y1x，令y0，则x，即|OP|.MB2的方程：y1x，令y0，则x.|OQ|.|OP|OQ|4.即|OP|OQ|4为定值利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可5对任意实数，直线yxb与椭圆(02)恒有公共点，则b的取值范围是_解析：将(2cos ，4sin )代入yxb，得4sin 2cos b.恒有公共点，以上方程有解令f()4sin 2cos 2sin()2f()2.2b2.答案：6曲线(ab0)上一点M与两焦点F1，F2所成角为F1MF2.求证：F1MF2的面积为b2tan.证明：M在椭圆上，由椭圆的定义，得|MF1|MF2|2a，两边平方，得|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|4a2.在F1MF2中，由余弦定理，得|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos |F1F2|24c2.由两式，得|MF1|MF2|.故SF1MF2|MF1|MF2|sin b2tan.课时跟踪检测(十)一、选择题1椭圆(为参数)，若，则椭圆上的点(a,0)对应的等于()A B. C2 D.解析：选A点(a,0)中xa，aacos ，cos 1，.2已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为()A. B C2 D2解析：选C点M的坐标为(1,2)，kOM2.3直线1与椭圆1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得PAB的面积等于4，这样的点P共有()A1个 B2个 C3个 D4个解析：选B设椭圆上一点P1的坐标为(4cos ，3sin )，如图所示，则S四边形P1AOBSOAP1SOBP143sin 34cos 6(sin cos )6sin.当时，S四边形P1AOB有最大值为6.所以SABP16SAOB664.故在直线AB的右上方不存在点P使得PAB的面积等于4，又SAOB64，所以在直线AB的左下方，存在两个点满足到直线AB的距离为，使得SPAB4.故椭圆上有两个点使得PAB的面积等于4.4两条曲线的参数方程分别是(为参数)和(t为参数)，则其交点个数为()A0 B1 C0或1 D2解析：选B由得xy10(1x0,1y2)，由得1.如图所示，可知两曲线交点有1个二、填空题5椭圆(为参数)的焦距为_解析：椭圆的普通方程为1.c221，2c2.答案：26实数x，y满足3x24y212，则2xy的最大值是_解析：因为实数x，y满足3x24y212，所以设x2cos ，ysin ，则2xy4cos 3sin 5sin()，其中sin ，cos .当sin()1时，2xy有最大值为5.答案：57在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(为参数，ab0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆 O的极坐标方程分别为sinm(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆 O相切，则椭圆C的离心率为_解析：l的直角坐标方程为xym，圆O的直角坐标方程为x2y2b2，由直线l与圆O相切，得mb.从而椭圆的一个焦点为(b,0)，即cb，所以ab，则离心率e.答案：三、解答题8已知两曲线参数方程分别为(0)和(tR)，求它们的交点坐标解：将(0)化为普通方程，得y21(0y1，x)，将xt2，yt代入，得t4t210，解得t2，t(yt0)，xt21，交点坐标为.9对于椭圆(为参数)，如果把横坐标缩短为原来的，再把纵坐标缩短为原来的即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程(为参数)那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系解：设圆的参数方程为(为参数)，如果将该圆看成椭圆，那么在椭圆中对应的数值分别为abr，所以c0，则离心率e0.即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁10在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点