第5课时线线角与线面角

第九章直线、平面、简单几何体,第5课时线线角与线面角,1.两条异面直线所成的角（1）定义：直线路a，b是异面直线，经过空间一点O分别引直线aa，bb，我们把直线a和b所成的锐角或直角叫做两条异面直线a，b所成的角范围：090.（2）作法:平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,要点疑点考点,2.直线和平面所成的角.（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和平面所成的角规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们成0角范围：090（2）作法：作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影,要点疑点考点,3.射影定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短,4.最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角.,要点疑点考点,2.相交成90的两条直线与一个平面所成的角分别是30与45，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为()(A)(B)(C)(D),1.平面的斜线与所成的角为30，则此斜线和内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是()(A)30(B)60(C)90(D)150,基础题例题,C,C,3.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在的平面成60的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是_.,基础题例题,A,4.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()(A)(B)(C)(D),基础题例题,B,5.正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（）A.90B.60C.45D.30,基础题例题,6.PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A.B.C.D.,C,能力思维方法,7.如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和AD的中点.求：(1)AE与CF所成的角；(2)CF与平面BCD所成的角.,解题分析(1)注意到F是AD的中点,连接DE,取DE的中点K,则FK/AE,(2)显然平面AED与平面BCD垂直,因此,只需要在平面AED内,过F作ED的垂线,从而得到点F在平面BCD上的射影.,能力思维方法,7.如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和AD的中点.求：(1)AE与CF所成的角；(2)CF与平面BCD所成的角.,A,B,C,D,E,F,解:(1)连接DE,取DE的中点K,连接FK,.,K,F是AD的中点,AE/FK,则CFK为异面直线AE与CF所成的角(或其补角),设四面体棱长为a,则可求得,即异面直线AE与CF所成的角为,能力思维方法,7.如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和AD的中点.求：(1)AE与CF所成的角；(2)CF与平面BCD所成的角.,A,B,C,D,E,F,解:(2)各棱长都相等,E为BC中点,.,K,BCAE,BCDE,BC面AED,面AED面BCD,交线为DE,过F作FHDE于H,H,则FH面DBC,连接CH,FCH为CF与面BCD所成的角,O,(O为BCD的中心),故CF与面BCD所成的角为,【解题回顾】本题解法是求异面直线所成角常采用的“平移转化法”：把异面直线转化为求两相交直线所成的角，需要通过引平行直线作出平面图形，化归为平面几何问题来解决.,能力思维方法,8.如图，在正方体AC1中，(1)求BC1与平面ACC1A1所成的角；(2)求A1B1与平面A1C1B所成的角.,能力思维方法,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,解:(1)连接BD与AC交于O,O,连接C1O,AC、BD为正方形ABCD的对角线,BDAC,又AA1面ACC1A1,BDAA1,而AA1AC=A,C1O面ACC1A1,BD平面ACC1A1于O,OC1B为BC1与平面ACC1A1所成的角,故BC1与平面ACC1A1所成的角为30o,8.如图，在正方体AC1中，(1)求BC1与平面ACC1A1所成的角；(2)求A1B1与平面A1C1B所成的角.,能力思维方法,解:(2)法一：A1BC1是正三角形，,且A1B1=B1C1=B1B，,棱锥B1A1BC1是正三棱锥，,过B1作B1H平面A1BC1，,H,垂足为H，,连接A1H,B1A1H是A1B1与平面A1C1B所成的角,8.如图，在正方体AC1中，(1)求BC1与平面ACC1A1所成的角；(2)求A1B1与平面A1C1B所成的角.,能力思维方法,解:(2)法二：连接B1C交BC1于E，,E,连接A1E，,过B1作B1HA1H于H，,H,得B1HBC1,BC1A1B1,BC1平面A1B1E,BC1B1H，,B1H平面ABC1,B1A1H是A1B1与平面A1C1B所成的角,在B1A1E中,【解题回顾】“线线