福建高三数学研讨会讲座《基于“减负增效”的解析几何复习教学建议》课件

基于“减负增效”的解析几何复习教学建议,2011年福建省泉州市高三数学学科会,基于“减负增效”的解析几何复习教学建议,一、版块知识分析,二、考纲考情分析,三、亮点试题赏析,四、“减负增效”略策,一、版块知识分析1、知识结构,（不含线性规划、空间直角坐标系、极坐标系和参数方程）,一、版块知识分析1、知识结构,一、版块知识分析1、知识结构,一、版块知识分析2、内容本质,在2004年高考上海理科卷中有这样一个试题：教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是_.,百度百科名片：解析几何系指借助坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫做坐标几何.,基本介绍：解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分.平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题.,以上的解释指出了解析几何的主要工具是“坐标系”，研究的主要对象是“几何对象之间的关系和性质”，蕴含的主要核心数学思想是“数形结合思想”，他是沟通代数与几何的桥梁.,回到2004年高考上海理科卷的试题，当时给出的参考答案是：用代数的方法研究图形的几何性质.,（2004年高考上海理科卷）教材中“坐标平面上直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是_.,这是一个问的很直接、很深刻的问题.不少学生也许能够解答一些解析几何的试题，但不一定能真正地感受到解析几何的本质是“用代数的方法研究图形的几何性质”.感受解析几何的本质，并通过实践有所领悟，对于形成正确的、良好的数学思维是有很大的帮助的.,一、版块知识分析3、能力要求,考试大纲中“考核目标与要求”所要求的五大能力两大意识，在高中解析几何课程中基本上都能找到良好的考查载体，其中重点考查的是抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识和创新意识.,评注本题是立体几何与平面解析几何交汇考查的典范，对空间想象能力提出较高的要求，同时也充分考查了解析几何的本质思想几何问题代数化思想，是一个难得的好题,3.1空间想像能力空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想像能力.,评注本题以圆锥曲线为载体考查了类比推理、归纳推理、演绎推理以及证明方法，重点考查了抽象概括能力.在近年的试题中，以类比推理、归纳推理为基础、考查从归纳、猜想到论证的证明题崭露头角，这就对解题者提出了更高的素质要求.,3.2抽象概括能力抽象概括能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断.,评注本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等知识，重点考查运算求解能力、推理证明能力.实质上，推理的过程隐含运算求解，运算求解的过程本身也是一种推理.,3.3推理论证能力中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题真实性初步的推理能力.,3.4运算求解能力运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.,3.4运算求解能力,3.4运算求解能力,3.4运算求解能力,3.4运算求解能力,3.4运算求解能力,评注本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系等知识点,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，考查运算求解能力、推理论证能力.第一小题的解法1：利用椭圆的定义求椭圆的标准方程，解法2：利用待定系数法求椭圆的标准方程第二小题的解法1、2：利用函数方程的思想，解法3：利用椭圆的参数方程，解法4是：利用柯西不等式，解法5：利用数形结合在上述众多解法的选择中，学生需谋定而后动，需根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径，从而考查了学生运算求解能力.,2、能力要求,3.5应用意识应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.,3.5应用意识,评注这是一道与圆锥曲线和数列有关的应用题，考查了椭圆及其标准方程，直线与圆的方程，直线与圆锥曲线的位置关系和等比数列的求和公式等数学学科的重点内容.要求考生综合运用所学数学知识、思想和方法解决问题.引导考生置身于现实社会的大环境中，关心自己身边的数学问题，关注社会的热点问题(环境与气候)，促使考生在学习和实践中形成和发展应用数学的意识，属中档偏难题.,2、能力要求,3.6创新意识创新意识是理性思维的高层次表现.对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.,3.6创新意识,评注本题来源于课本中平面向量的坐标表示.解题过程中，平面直角坐标系的建立过程和坐标的表示方法为考生提供了一个可模仿的思维模式，所以解决本题的核心并不只是在于是否知道“斜坐标”，而是应该知道平面直角坐标系是如何建立的，又该如何把平面直角坐标系创造性地迁移到斜坐标系.我们也见过不少类似的题目，他们都来源于知识产生过程所蕴含的数学知识和方法.,一、版块知识分析4、思想方法,高考命题的着眼点看上去是考查知识，但核心是检测在一定数学思想和方法下学生综合学习的能力.利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质，其核心是“数形结合”的思想方法，由于解析几何内容的综合性，在解决问题的过程中，就必然还要用到其它的思想方法，如函数与方程思想、转化与化归思想、分类与整合思想、特殊与一般思想，以及待定系数法、换元法等等.,3.1数形结合思想,评注这是个过定点的直线与圆相交的问题，解题时注意数形结合，以形助数，观察过定点的直线族的斜率的变化范围.解析几何主要解决两个问题,一是由曲线求方程；二是由方程研究曲线,复习时要突出这两个问题，因此数形结合思想为解析几何的核心思想.,4.1数形结合思想,评注本题在研究直线与抛物线的位置关系时，通过联立方程，判断判别式的符号，用方程研究曲线，都体现了“以数释形”的“解析”思想.,4.2函数方程思想,评注本题考查椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系、用函数方程的思想求解弦长问题与最值问题，其中有设而不解、韦达定理、整体代换、基本不等式等，考查字母运算能力、运算求解能力，难度较大.,4.3转化与化归思想,评注在第（）题，先假设存在这样的直线，再按直线的斜率是否存在进行讨论.当直线的斜率存在时，设出直线方程，把转化为，用平面几何知识的射影定理进而把问题转化为，进而转化为.从向量问题转化为平面几何的问题，再从平面几何的垂直问题转化为向量的内积问题，接着把向量的内积问题转化为坐标运算的问题，最后用设而不解的方法进行求解，其中的转化过程充分体现转化化归的思想.,4.4分类与整合思想,评注本题重点考查分类与整合的思想.由直译法求轨迹可得曲线C的方程为，实数m的取值范围决定了曲线C的形状，曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.因此，需对曲线的形状进行分类讨论.常见的题型中也常见：圆锥曲线的焦点位置不确定引起的讨论；假设直线时，斜率存在与不存在的谈论；直线与双曲线或抛物线位置关系中，联立方程并消元，得到准二次方程，对该方程首项系数进行讨论.,二、考纲考情分析,1、考试大纲要求,1.1平面解析几何初步（1）直线与方程在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.,（2）圆与方程掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.（3）空间直角坐标系了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.会推导空间两点间的距离公式.,1.2圆锥曲线与方程（1）圆锥曲线了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.了解圆锥曲线的简单应用.理解数形结合的思想.（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.,二、考纲考情分析,2、高中平面解析几何的内容要求的层次分析,了解部分:(理科)了解斜截式与一次函数的关系、初步了解用代数方法处理几何问题的思想、了解空间直角坐标系、了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程、了解圆锥曲线的简单应用、了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；,(文科)了解斜截式与一次函数的关系、初步了解用代数方法处理几何问题的思想、了解空间直角坐标系、了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用、了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程、了解圆锥曲线的简单应用.,可见解析几何这一知识板块的重要性，这方面知识的考查在难题、中档题都有可能出现（虽然近年福建在解答题方面做出了降低难度的选择，但是根据考试说明的要求，我们在平时的教学中还是应上到一定的难度，以不变应万变）.,理解、掌握部分：除上述了解部分外，其余都在理解、掌握的水平上；,二、考纲考情分析,3、考试大纲与考试说明的差异比比较,二、考纲考情分析,3、考试大纲与考试说明的差异比较,二、考纲考情分析,4、近三年福建课标卷相关考题展示与点评,20092011福建高考（理科）解析几何试题的总体分布,二、考纲考情分析,4、近三年福建课标卷相关考题展示与点评,20092011福建高考（文科）解析几何试题的总体分布,二、考纲考情分析,4、近三年福建课标卷相关考题展示与点评,从上表可以看出:,（5）对于用代数方法研究有关直线与椭圆、抛物线位置关系问题，体现在解法上，不仅仅只是利用根与系数关系研究，而是在方法的选择上更加灵活，如联立方程求交点或向量的运算等，思维层次的要求并没有降低.关注全国其他课标卷我们发现依然有不少的省份都把它定位为准压轴题、把关题,这也应引起我们的注意.,（4）大题以中档题、存在性设问方式呈现.,（3）直线与椭圆、抛物线位置关系的要求层次有所降低.,（2）解析几何的难度明显下降；,（1）每份试卷基本上是1小题1大题，理科平均18分，文科平均17分，理科考查权重应为(18+16)/324=11%，应考分值16.5；理科考查权重(18+12)/250=12%，应考分值18，实际考查与考查权重基本上相吻合；,二、考纲考情分析,4、近三年福建课标卷相关考题展示与点评,（6）在2009-2011年高考福建卷的解析几何试题中，归纳其考点，主要考点如下：考点1：直线的方程考点2：圆的方程考点3：圆锥曲线的方程考点4：圆锥曲线的几何性质考点5：直线与圆锥曲线的位置关系,二、考纲考情分析,考点1：直线的方程,该部分内容一般不做单独考查，而是与其他知识交汇融合.如：（2011年福建高考理17），（2011年福建高考文18），（2009年福建高考理13）.,评注本题涉及直线的点斜式方程、抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系等知识点；主要考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.,二、考纲考情分析,考点2：圆的方程,一般地，圆的方程也与其他知识进行交汇，可以小题的形式出现也可以解答题的形式出现.如：（2011年福建高考理17），（2011年福建高考文18），（2010年福建高考理2）.,评注本题涉及抛物线的几何性质以及圆的方程等知识点；主要考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想.,二、考纲考情分析,考点3：圆锥曲线的方程,考查方式一般是给出圆锥曲线的某几何性质，然后求解圆锥曲线的方程，或利用定义求圆锥曲线的轨迹方程，它经常在选择、填空题中进行单独考查，也经常作为解答题的第一步.如（2010年福建高考理7）双曲线的方程、（2010年福建高考理17）椭圆的方程，（2010年福建高考文13）双曲线的方程，（2010年福建高考文19）抛物线的方程、（2010年福建高考文11）椭圆的方程、（2010年福建高考理17）椭圆的方程、（2009年福建高考理13）抛物线的方程，（2009年福建高考理19）椭圆的方程，（2009年福建高考文4）双曲线的方程，（2009年福建高考文22）椭圆的方程.,二、考纲考情分析,考点3：圆锥曲线的方程,评注本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系等知识点；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，考查运算求解能力、推理论证能力本题属解析几何的常规题，考查“坐标法”的基本运用，题目基础，属于根据条件依次算出的“算出性”的题目本题的第二小题是“存在性”命题，要求考生根据题目要求探索结论成立的条件是否存在，体现出新课标课改的精神,二、考纲考情分析,考点3：圆锥曲线的方程,评注本题涉及待定系数法求双曲线方程、椭圆的几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等知识点；主要考查运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想,二、考纲考情分析,考点4：圆锥曲线的几何性质,圆锥曲线的几何性质一般考查长短轴、实虚轴、顶点坐标、焦点坐标、焦距、离心率、准线、渐近线等几何性质，可以小题的形式出现也可以解答题的形式出现，如以解答题的形式出现一般作为条件出现在题干中.如（2011年福建高考文18）抛物线准线，（2010年福建高考理2）抛物线的焦点，（2010年福建高考文11）椭圆的焦点，（2010年福建高考理7）双曲线的焦点，（2010年福建高考文11）椭圆的焦点.,二、考纲考情分析,考点4：圆锥曲线的几何性质,评注本题涉及椭圆与双曲线的定义、椭圆与双曲线的离心率等知识点；主要考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.,评注本题涉及双曲线的方程、双曲线的渐近性等知识点；主要考查运算求解能力.,二、考纲考情分析,考点5：直线与圆锥曲线的位置关系,在2005到2009年的福建省高考卷中，此类试题都是放在解答题的最后一题或者倒数第二题进行考查（选修题不算），作为整份试卷较难的压轴题出现，从2009年福建省参加新课改后的高考后，福建省的命题就力求在“规避模式化”上作出努力，在2010、2011年解答题的题序上就做出了变动，最为明显的变化是：把解析几何的题目降低难度，理科放在第了17题的位置.主要考查直线与圆锥曲线的相交相切等位置关系，如（2011年福建高考文18）抛物线，（2011年福建高考理17）抛物线，（2010年福建高考文19）抛物线，（2010年福建高考理17）抛物线，（2009年福建高考文22）椭圆，（2009年福建高考理19）椭圆.,二、考纲考情分析,考点5：直线与圆锥曲线的位置关系,评注本题涉及直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等知识点；主要考查推理论证能力、运算求解能力、应用意识；考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.,二、考纲考情分析,考点5：直线与圆锥曲线的位置关系,评注本题考查求抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等知识点；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，考查运算求解能力、推理论证能力,二、考纲考情分析,考点5：直线与圆锥曲线的位置关系,评注本题涉及椭圆的方程、椭圆与圆锥曲线的位置关系等知识点；主要考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想.比较近三年的文科试题，可以感觉到在这一部分试题上，难度突降.,三、亮点试题赏析,从近三年本省及其它省的课标卷试题中，可以看出解析几何部分的考题不仅形式优美、内涵丰富，而且注重基础性、层次性、综合性，可以说是精彩纷呈，众多试题让人眼前一亮，常有赏心悦目之感，甚至过目难忘，并为之拍案叫绝.,三、亮点试题赏析,1.在回归定义中凸显核心概念,波利亚说“回到定义”是一项重要的智力活动回到定义是“为了掌握那些专业术语后面数学对象间的实际关系”面对一个数学题，“如果我们只知道概念的定义，别无其他，我们就不得不回到定义”数学定义的学习是数学学习的开始，一切定理、公式的推出都是从定义出发的，因此，在数学解题中，如能善于使用定义，你将深深体会到“有技巧在定义”.,1.在回归定义中凸显核心概念,三、亮点试题赏析,2.在建系过程中凸显本质思想,平面解析几何是通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题.为了借助坐标系，首先就必须建立起平面直角坐标系，实际应用中每一个解析几何问题的解决都必须经历建系的过程，因此，建系是解析几何的首要任务，它理应成为考查学生本知识板块的一个精彩考点.,三、亮点试题赏析,2.在建系过程中凸显本质思想,三、亮点试题赏析,类似试题有：,2.在建系过程中凸显本质思想,三、亮点试题赏析,3.在知识交汇处凸显命题思想,“对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体，注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面.从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度.”这是考试大纲在“考查要求”中的要求，基于此，在知识交汇处设计试题更能凸显命题思想.,三、亮点试题赏析,3.在知识交汇处凸显命题思想,三、亮点试题赏析,3.在知识交汇处凸显命题思想,评注本题涉及待定系数法求双曲线方程、椭圆的几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等知识点，融合交汇了解析几何、平面向量、函数等知识.因为向量具有几何和代数的双重属性，因此在这两个知识板块进行知识交汇显得非常自然和谐.,类似试题有：,三、亮点试题赏析,4.在回归课本中凸显通性通法,从近年的高考试题中，我们可以发现高考命题的一个重要规律：很多高考试题在课本中都能找到题源.因为高考命题的一个不变的原则就是“源于课本，又不囿于课本”，因此，在高考的复习中，我们必须重视课本知识的回顾和整理，对课本知识重新认识，挖掘其更深层次的内容，充分发挥课本上的典型例题和习题的作用，提高复习效率，达到事半功倍的复习效果.,三、亮点试题赏析,4.在回归课本中凸显通性通法,三、亮点试题赏析,4.在回归课本中凸显通性通法,三、亮点试题赏析,4.在回归课本中凸显通性通法,评述本题以双曲线与向量知识为载体，探究动点的轨迹方程，并利用“设而不求”的方法，求解参数.解析几何的通性通法要成为具体的解决问题的法宝，必须辅以思辨，并以数形结合思想引领优化，才能在具体的解题中发挥效力，这也是解析几何成为区分高水平学生的题材的原因.另外，本题的背景的深刻也是此类试题命制的常用方法.,三、亮点试题赏析,5.在基础问题中凸显核心内容,常态试题是考查数学基础知识、基本技能的重要阵地，考试说明在命题指导思想中也指出:考查考生对基础知识、基本技能的掌握程度是高考考查的重要目标之一，对数学基础知识的考查，要求既全面，又突出重点.对于支撑数学知识体系的主干知识要占有较大的比例，是支撑数学试卷的主体.因此，考查核心内容、主干知识的问题在高考的试卷中都较为基础、常态.,三、亮点试题赏析,5.在基础问题中凸显核心内容,三、亮点试题赏析,评注本题涉及椭圆与双曲线的定义、椭圆与双曲线的离心率等核心知识；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等核心思想方法.新而不难，不落俗套，简约而不简单。,6.在开放试题中凸显课程理念,课程标准十大理念之一：提供多样性课程，适应个性选择.同时课程标准也提倡“在数学教育中，评价应建立多元化的目标，关注学生的个性与潜能的发展”.这些理念体现在试题中，可以在试题中设置多样性的选择，从中体现人文关怀.,三、亮点试题赏析,6.在开放试题中凸显课程理念,三、亮点试题赏析,6.在开放试题中凸显课程理念,三、亮点试题赏析,四、“减负增效”策略,解析几何这一知识板块试题的命题特点可以说是：注重基础，突出重点，强调综合，聚焦亮点.不仅考查直线、圆以及圆锥曲线等众多知识，同时它承载着重要数学思想与数学能力的考查，因此，此知识板块的复习任务相当繁重.在2009以前，解析几何题都是放在压轴或者次压轴的位置，当时很多老师在复习教学中，本着教学应面向大多数的原则，认为在压轴题上的拿分上应该是少数优秀学生的事，在此知识板块不愿意多花时间，导致此版块的复习草草收场，甚至建议中下的学生放弃此题.而2010年和2011年这两年的高考中，理科的解析几何的试题已经被提到解答题的第17题位置，这也给了大部分学生更多的得分机会.其实不论难度如何，我们没有理由不重视这一部分内容的复习，那么，如何更好地“减负增效”地进行复习呢？,四、“减负增效”策略,1.研究纲领文件，构建共同平台首先，应认真研读考试大纲、考试说明，所谓“万变不离其宗”，虽然高考试题每年都在变化，但命题的依据是考试说明和考试大纲,要以此为根本,弄清高考对基础知识、基本技能、基本思想、数学素养等方面的要求，为教学工作提供支持.其次，重视教材的基础作用和示范作用，教材是我们实质性的纲领性文件，解析几何的客观题一般直接或间接来源于课本，往往是课本的原题或变式题，主观题的生长点往往也在课本,所以在复习中一定要精通课本,贯彻“源于课本,高于课本”的原则，并通过模拟习题学会举一反三、触类旁通，做到以例题辐射整体，实现知识的内化、系统化、网络化.,四、“减负增效”策略,2.改进教学模式，追求高效课堂教学模式提倡做、批、讲、思的和谐统一，使学生形成一个完整的思维系统，方能取得高效的教学效果.先做，让学生主动学习，自我完善认知结构，并从中发现问题，有感受才会深刻；后批，教师通过批改，可以更全面地了解学生，使后续的评讲更有针对性；再讲，在教师了解学生的基础上，精讲精析，使基础知识再深化、解题方法再优化、数学思想再渗透，同时，应让学生展示与交流，听听他们的声音