高中数学 1.3.1.2 正弦函数的性质课件 新人教B必修4

1.3.1（二）正弦函数的性质,由正弦函数y=sinx的作图过程以及正弦函数的定义，容易得出正弦函数y=sinx还有以下重要性质.,(1)定义域：,正弦函数y=sinx的定义域是实数集R或(，)，记作：ysinx，xR.,(2)值域:因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线y=1和y=1之间，所以sinx1，即1sinx1,也就是说，正弦函数的值域是1，1.,正弦函数y=sinx,xR,当且仅当x2k，kZ时，正弦函数取得最大值1；,当且仅当x2k，kZ时，正弦函数取得最小值1,(3)周期性:,由sin(x2k)sinx(kZ)知：正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。当自变量x的值每增加或减少2的整数倍时，正弦函数y的值重复出现。在单位圆中，当角的终边饶原点转动到原处时，正弦线的数量（长度和符号）不发生变化，以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示。这种性质称为三角函数的周期性。,一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期,由此可知，2，4，2，4，2k(kZ且k0)都是正弦函数的周期,对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。,注意：(1)周期函数中，x定义域M，则必有x+TM,且若T0，则定义域无上界；T0则定义域无下界；,(2)“每一个值”，只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如f(x0+T)f(x0)）；,(3)T往往是多值的（如y=sinx,T=2,4,2,4,都是周期）周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）.,根据上述定义，可知：正弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2.,(4)奇偶性:,由sin(x)sinx,可知：ysinx为奇函数,因此正弦曲线关于原点O对称.,(5)单调性,从ysinx的图象上可看出：,当x时，曲线逐渐上升，sinx的值由1增大到1;,当x时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到1。,结合上述周期性可知：,正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；,在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1,例1：设sinx=t3，xR，求t的取值范围。,解：因为1sinx1,所以1t31,由此解得2t4.,解：,(1)令w2x，那么xR得ZR，且使函数ysinw，wR，取得最大值的集合是ww2k，kZ,由2xw2k，,得xk.,即使函数ysin2x，xR取得最大值的x的集合是xxk，kZ,函数ysin2x，xR的最大值是1.,(2)当3x+=2k+即x=(kZ)时,y的最大值为0.,例3：求下列三角函数的周期：y=sin(x+)；(2)y=3sin(+)(3)y=|sinx|,解：(1)令z=x+而sin(2+z)=sinz,即：f(2+z)=f(z),f(x+2)+=f(x+),函数的周期T=2.,(2)y=3sin(),解：令z=，则,f(x)=3sinz=3sin(z+2),函数的周期T=4.,=f(x+4),=3sin(),=3sin(+2),(3)y=|sinx|,解：f(x+)=|sin(x+)|=|sinx|,所以函数的周期是T=.,一般地，函数yAsin(x)（其中）的周期是,例4：不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0,(1)sin()sin()；(2)sin()sin(),解：(1),且函