2013年湖南省高考数学试卷(理科)

2013年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2013湖南）复数z=i（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）（2013湖南）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A抽签法B随机数法C系统抽样法D分层抽样法3（5分）（2013湖南）在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b若2asinB=b，则角A等于（）ABCD4（5分）（2013湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）AB0CD5（5分）（2013湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x24x+5的图象的交点个数为（）A3B2C1D06（5分）（2013湖南）已知，是单位向量，若向量满足，则的取值范围为（）ABCD7（5分）（2013湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A1BCD8（5分）（2013湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过ABC的重心，则AP等于（）A2B1CD二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（1216题）9（2013湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（为参数）的右顶点，则常数a的值为10（5分）（2013湖南）已知a，b，cR，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为11（5分）（2013湖南）如图，在半径为的O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为12（5分）（2013湖南）若，则常数T的值为13（5分）（2013湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为14（5分）（2013湖南）设F1，F2是双曲线C：（a0，b0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为15（5分）（2013湖南）设Sn为数列an的前n项和，Sn=（1）nan，nN*，则（1）a3=；（2）S1+S2+S100=16（5分）（2013湖南）设函数f（x）=ax+bxcx，其中ca0，cb0（1）记集合M=（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b，则（a，b，c）M所对应的f（x）的零点的取值集合为（2）若a，b，c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）x（，1），f（x）0；xR，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形，则x（1，2），使f（x）=0三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）（2013湖南）已知函数f（x）=sin（x）+cos（x），g（x）=2sin2（）若是第一象限角，且f（）=，求g（）的值；（）求使f（x）g（x）成立的x的取值集合18（12分）（2013湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望19（12分）（2013湖南）如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD=90，ACBD，BC=1，AD=AA1=3（）证明：ACB1D；（）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值20（13分）（2013湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（10，0），C（14，0）处现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小21（13分）（2013湖南）过抛物线E：x2=2py（p0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l（）若k10，k20，证明：；（）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程22（13分）（201