《线性代数B》模拟试卷五参考答案.doc

线性代数B模拟试卷五参考答案一、填空题（每空3分，共18分）1设，则= 1 ；解：2设，则向量与的夹角为 ；解：因为，而，所以与正交，即与的夹角为（或者）3设向量组，则的一个最大线性无关组为：；解：因为，所以，从而的一个最大线性无关组为：（或者，或者）4已知 3 阶方阵有特征值 -1，1，2，则 =。解：因为，则，因为3 阶方阵有特征值 -1，1，2所以，从而5设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 , 且它的三个解向量满足，,则的通解为： ；解：因为，所以的基础解系含向量的个数为：，又的三个解向量，所以是的一个非零解，从而可作为其基础解系。故的通解为：（）6设，则 不是 （是/不是）向量空间。解：因为对，则，所以不是向量空间。二、选择题（每小题4分，共24分）1行列式 （ D ）（A） （B） （C） （D） 解：，故选（D）2设 ，则中的系数为 C 。(A) -1 ； (B) 1 ； (C) -3 ； (D) 3 。 解：将的各行各列化为只有一项含有，再将这些含的项移到主对角线上即可求出中的系数；，所以中的系数为，选（C）3设 均为 阶可逆方阵，下列各式正确的是 B 。(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。 提示：利用矩阵的运算规律，选（B）4设是 维向量组，下列命题中正确的是（ C ）。（A） 零向量不能由线性表示；（B） 如不能由线性表示，则线性无关；（C） 如线性相关，不能由线性表示，则线性相关；（D） 如中，任意 个向量都线性无关，则线性无关。提示：利用向量组线性相关性的定义及判定，选（C）5已知，为3阶非零矩阵，且，则下列叙述正确的是 A 。(A) 时，的秩必为 1 ；(B) 时，的秩必为 2 ；(C) 时，的秩必为 2 ；(D) 时，的秩必为 1 。 解：因为，所以，当时，；当时，；又为3阶非零矩阵，所以又，则，因此，时，；当时，选（A）6设非齐次线性方程组 的未知量个数为 ，方程个数为 ，则在条件 C 成立时，一定有解。(A) 矩阵的列向量组线性无关； (B) 矩阵的列向量组线性相关；(C) 矩阵的行向量组线性无关； (D) 矩阵的行向量组线性相关。提示：一定有解，又为型矩阵，所以当时，此时。所以当矩阵的行向量组线性无关时，一定有解。选（C）三、计算行列式 。（8分）解：注：本题有多种解法，只要行列式性质使用正确，并且结果正确即可给满分；四、设，且，求未知矩阵。（8分）解：因为，所以 1分因为，则与均可逆，所以 3分因为 所以 ，5分故 8分注：此题如有其它解法，只要计算过程及结果正确，均可给满分。五、问 取何值时，非齐次线性方程组 （1）有惟一解？（2）无解？（3）有无穷多解？并求出通解。（14分）解法一：原方程组的系数行列式为：（1）当，即且时，原方程组有唯一解；（2）当，即或时，原方程组无解或有无穷多解；当时，原方程组的增广矩阵为：此时，故当时原方程组有无穷多解，且，令，得原方程组的通解为：（）当时，原方程组的增广矩阵为：此时，故当时原方程组无解。解法二：原方程组的增广矩阵为：（1）当且时，原方程组有唯一解；（2）当时，因为此时，故当时原方程组有无穷多解，且，令，得原方程组的通解为：（）（3）当时，因为此时，故当时原方程组无解。六、已知二次型，记 （1）写出该二次型的矩阵；（2）求一个正交矩阵 ，使得 为对角阵；（3）写出该二次型在正交变换 下的标准型，其中；（4）该二次型是否为正定二次型，只需回答是或者不是。（14分）解：（1）该二次型的矩阵（2）因为 令，得特征值为：，；当时，因为，取；当时，因为，取；当时，因为，取；令，则为正交阵，且（3）该二次型在正交变换下的标准型为：（4）该二次型不是正定二次型。七、设，且与相似，求。（7分）解：因为与相似，所以与有相同的特征值和行列式，2分，即5分解得或，7分注：此题还可以通过比较两个矩阵的特征多项式从而得到最终的结果，此时，只要计算过程及结果