2020中考数学压轴题专题18 创新型与新定义综合问题

专题18创新型与新定义综合问题【考点1】几何综合探究类阅读理解问题【例1】（2019甘肃天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，ACBD试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE已知AC=4，AB=5，求GE的长【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形理由见解析.（2）见解析.（3）GE=【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形理由如下：AB=AD，点A在线段BD的垂直平分线上，CB=CD，点C在线段BD的垂直平分线上，直线AC是线段BD的垂直平分线，ACBD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）如图1，ACBD，AOD=AOB=BOC=COD=90，由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，AD2+BC2=AB2+CD2；（3）连接CG、BE，CAG=BAE=90，CAG+BAC=BAE+BAC，即GAB=CAE，在GAB和CAE中，GABCAE（SAS），ABG=AEC，又AEC+AME=90，ABG+AME=90，即CEBG，四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，AC=4，AB=5，BC=3，CG=4，BE=5，GE2=CG2+BE2-CB2=73，GE=【名师点睛】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键【变式1-1】（2019甘肃白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是ABC的外角ACH的平分线上一点，且AM=MN求证：AMN=60点拨：如图，作CBE=60，BE与NC的延长线相交于点E，得等边BEC，连接EM易证：ABMEBM（SAS），可得AM=EM，1=2；又AM=MN，则EM=MN，可得3=4；由3+1=4+5=60，进一步可得1=2=5，又因为2+6=120，所以5+6=120，即：AMN=60问题：如图，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1求证：A1M1N1=90【答案】见解析.【解析】延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1，如图所示：则EB1=B1C1，EB1M1=90=A1B1M1，EB1C1是等腰直角三角形，B1EC1=B1C1E=45，N1是正方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点，M1C1N1=90+45=135，B1C1E+M1C1N1=180，E、C1、N1三点共线，在A1B1M1和EB1M1中，A1B1M1EB1M1（SAS），A1M1=EM1，1=2，A1M1=M1N1，EM1=M1N1，3=4，2+3=45，4+5=45，1=2=5，1+6=90，5+6=90，A1M1N1=18090=90【名师点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键【变式1-2】（2019湖北咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形理解：（1）如图1，点A，B，C在O上，ABC的平分线交O于点D，连接AD，CD求证：四边形ABCD是等补四边形；探究：（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB=AD，连接AC，AC是否平分BCD？请说明理由运用：（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD=10，AF=5，求DF的长【解析】（1）如图1，四边形ABCD为圆内接四边形，A+C=180，ABC+ADC=180，BD平分ABC，ABD=CBD，AD=CD，四边形ABCD是等补四边形；（2）AD平分BCD，理由如下：如图2，过点A分别作AEBC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，则AEB=AFD=90，四边形ABCD是等补四边形，B+ADC=180，又ADC+ADF=180，B=ADF，AB=AD，ABEADF（AAS），AE=AF，AC是BCF的平分线，即AC平分BCD；（3）如图3，连接AC，四边形ABCD是等补四边形，BAD+BCD=180，又BAD+EAD=180，EAD=BCD，AF平分EAD，FAD=EAD，由（2）知，AC平分BCD，FCA=BCD，FCA=FAD，又AFC=DFA，ACFDAF，即，DF=55【名师点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等【考点2】代数类新定义及阅读理解型问题【例2】（2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+22017+22018，则2S=2+22+22018+22019，得2SS=S=220191，S=1+2+22+22017+22018=220191.请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+29=_；（2）3+32+310=_；（3）求1+a+a2+an的和（a0，n是正整数），请写出计算过程【答案】（1）2101；（2）；（3）a=1时，S=n+1；a1时，S=【解析】（1）设S=1+2+22+29，则2S=2+22+210，得2SS=S=2101，S=1+2+22+29=2101；故答案为：2101；（2）设S=3+3+32+33+34+310，则3S=32+33+34+35+311，得2S=3111，所以S=，即3+32+33+34+310=；故答案为：；（3）设S=1+a+a2+a3+a4+an，则aS=a+a2+a3+a4+an+an+1，得：（a1）S=an+11，a=1时，不能直接除以a1，此时原式等于n+1；a1时，a1才能做分母，所以S=，即1+a+a2+a3+a4+an=.【名师点睛】根据题目给出的信息，提炼解题方法认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法【变式2-1】（2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=100a+10b+c【基础训练】（1）解方程填空：若+=45，则x=_；若=26，则y=_；若+=，则t=_；【能力提升】（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被_整除，一定能被_整除，mn一定能被_整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”该“卡普雷卡尔黑洞数”为_；设任选的三位数为（不妨设abc），试说明其均可产生该黑洞数【答案】（1）247（2）11；9；10【解析】（1）=10m+n，若+=45，则102+x+10x+3=45，x=2，故答案为：2若=26，则107+y（10y+8）=26，解得y=4，故答案为：4由=100a+10b+c，及四位数的类似公式得若+=，则100t+109+3+1005+10t+8=10001+1003+10t+1，100t=700，t=7，故答案为：7（2）+=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），则+一定能被11整除，=10m+n（10n+m）=9m9n=9（mn），一定能被9整除mn=（10m+n）（10n+m）mn=100mn+10m2+10n2+mnmn=10（10mn+m2+n2）mn一定能被10整除故答案为：11；9；10（3）若选的数为325，则用532235=297，以下按照上述规则继续计算，972279=693，963369=594，954459=495，954459=495，故答案为：495当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c（100c+10b+a）=99（ac），结果为99的倍数，由于abc，故ab+1c+2，ac2，又9ac0，ac9，ac=2，3，4，5，6，7，8，9，第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981189=792，972279=693，963369=594，954459495，954459=495，故都可以得到该黑洞数495【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大【变式2-2】（2019济宁）阅读下面的材料：如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1x2，都有f（x1）f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1x2，都有f（x1）f（x2），则称f（x）是减函数例题：证明函数f（x）=（x0）是减函数证明：设0x1x2，f（x1）f（x2）=0x1x2，x2x10，x1x200即f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2），函数f（x）（x0）是减函数根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）=+x（x0），f（1）=+（1）=0，f（2）=+（2）=（1）计算：f（3）=_，f（4）=_；（2）猜想：函数f（x）=+x（x0）是_函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想【答案】（1），；（2）增；（3）见解析【解析】（1）f（x）=+x（x0），f（3）=3=，f（4）=4=，故答案为：，；（2）43，f（4）f（3），函数f（x）=+x（x0）是增函数，故答案为：增；（3）设x1x20，f（x1）f（x2）=（x1x2）（1）x1x20，x1x20，x1+x20，f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2），函数f（x）=+x（x1）小红通过观察反比例函数y=的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG=2CF，CFDF，由此得出一个关于，之间数量关系的命题：若n1，则_（2）证明命题小东认为：可以通过“若ab0，则ab”的思路证明上述命题小晴认为：可以通过“若a0，b0，且ab1，则ab”的思路证明上述命题请你选择一种方法证明（1）中的命题【解析】（1）AE+BG=2CF，CFDF，AE=，BG=，DF=，+故答案为：+（2）方法一：+=，n1，n（n1）（n+1）0，+0，+方法二：=1，+【名师点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题【变式3-2】定义：如图，若双曲线与它的其中一条对称轴相交于两点A，B，则线段AB的长称为双曲线的对径（1）求双曲线的对径;（2）若某双曲线对径是.求k的值;（3）仿照上述定义,请你定义双曲线的对径.【答案】（1）2；（2）25；（3）定义见解析.【解析】试题分析：过A点作ACx轴于C，（1）解方程组，可得到A点坐标为(1，1)，B点坐标为(1，1)，即OCAC1，由勾股定理可求AB，于是得到双曲线的对径；（2）根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为，即AB，OA5，根据OAOCAC，则OCAC5，得到点A坐标为(5，5)，把A(5，5)代入双曲线 (k0)即可得到k的值；（3）双曲线 (k0)的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线（k0)的对径.试题解析：如图，过A点作ACx轴于C，（1）解方程组，得，A点坐标为(1，1)，B点坐标为(1，1).OCAC1，OAOC. AB2OA2.双曲线的对径是2.（2）双曲线的对径为，即AB，OA5.OAOCAC，OCAC5. 点A坐标为(5，5).把A(5，5)代入双曲线 (k0)得k5525，即k的值为25.（3）若双曲线 (k0)与它的其中一条对称轴yx相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线 (k0)的对径.考点：1.新定义；2.反比例函数综合题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理.【考点4】变换操作类阅读型问题【例4】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边. (1)写出你所学过的特殊的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 、 ；(2)如图1，已知格点（小正方形的顶点）O(0,0)、A(3,0)、B(0,4)，点C 为图中所给方格中的另一个格点，四边形OACB 是以OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点C 的坐标；(3)如图2，将DABC（ BC AB ）绕顶点 B 按顺时针方向旋转60，得到DDBE ，连接 AD 、DC ，四边形 ABCD 是勾股四边形，其中DC 、BC 为勾股边，求DCB 的度数.【答案】（1）矩形，正方形（答案不唯一）；（2）C（3,4），（4,3）；（3）DCB=30.【解析】【分析】（1）根据矩形与正方形的性质可得答案；（2）利用勾股定理可得AB=5，然后在格点中找满足OC=5的点即可；（3）连接CE，根据旋转的性质可得ABCDBE，则BC=BE，因为CBE=60，所以BCE是等边三角形，则BC=CE，BCE=60，根据勾股四边形的定义与勾股定理的逆定理可得DCE=90，则可得DCB的度数.【详解】解：（1）矩形；正方形（答案不唯一）；（2）AB=32+42=5 ，则C点坐标如图为：（3,4），（4,3）；（3）连接CE，由旋转的性质得：ABCDBE，则BC=BE，AC=BD，CBE=60，BCE是等边三角形，BC=CE，BCE=60，四边形ABCD为勾股四边形，其中DC、BC为勾股边，AC2=CD2+BC2，BD2=CD2+CE2 ，DCE=90，BCD=DCEBCE=9060=30.【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，全等三角形-旋转，等边三角形的判定等，解此题的关键在于准确理解题中勾股四边形的定义，利用勾股定理及其逆定理进行证明.与计算.【变式4-1】1类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”（1） 概念理解：如图1，在四边形中，添加一个条件，使得四边形是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件： （2） 问题探究：如图2，小红画了一个，其中，并将沿的平分线方向平移得到，连结、小红要使平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段的长）？（3） 应用拓展：如图3，“等邻边四边形”中，、为对角线，试探究、的数量关系【答案】（1）DA=AB（答案不唯一）；（2）应平移2或或或的距离；（3）BC2+CD2=2BD2【解析】试题分析：（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；（2）先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；由平移的性质易得BB=AA，ABAB，AB=AB=2，BC=BC=1，AC=AC=，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；（3）由旋转的性质可得ABFADC，由全等性质得ABF=ADC，BAF=DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得ACFABD，由相似的性质和四边形内角和得CBF=90，利用勾股定理，等量代换得出结论解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；（2）正确，理由为：四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形，四边形是“等邻边四边形”，这个四边形有一组邻边相等，这个“等邻边四边形”是菱形；ABC=90，AB=2，BC=1，AC=，将RtABC平移得到ABC，BB=AA，ABAB，AB=AB=2，BC=BC=1，AC=AC=，（I）如图1，当AA=AB时，BB=AA=AB=2；（II）如图2，当AA=AC时，BB=AA=AC=；（III）当AC=BC=时，如图3，延长CB交AB于点D，则CBAB，BB平分ABC，ABB=ABC=45，BBD=ABB=45BD=B，设BD=BD=x，则CD=x+1，BB=x，在RtBCD中，BD2+（CD）2=（BC）2x2+（x+1）2=（）2，解得：x1=1，x2=2（不合题意，舍去），BB=x=（）当BC=AB=2时，如图4，与（）方法一同理可得：BD2+（CD）2=（BC）2，设BD=BD=x，则x2+（x+1）2=22，解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），BB=x=；（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，AB=AD，将ADC绕点A旋转到ABF，连接CF，ABFADC，ABF=ADC，BAF=DAC，AF=AC，FB=CD，BAD=CAF，=1，ACFABD，=，BD，BAD+ADC+BCD+ABC=360，ABC+ADC360（BAD+BCD）=36090=270，ABC+ABF=270，CBF=90，BC2+FB2=CF2=（BD）2=2BD2，BC2+CD2=2BD2考点：1阅读理解题；2平移，旋转的图形变换性质；3三角形全等、相似的判定与性质；4勾股定理的运用【变式4-2】（2019湖南长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形相似四边形对应边的比叫做相似比（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）四条边成比例的两个凸四边形相似；（_命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（_命题）两个大小不同的正方形相似（_命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，ABC=A1B1C1，BCD=B1C1D1，=求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似（3）如图2，四边形ABCD中，ABCD，AC与BD相交于点O，过点O作EFAB分别交AD，BC于点E，F记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值【解析】（1）四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例两个大小不同的正方形相似是真命题故答案为假，假，真（2）如图1中，连接BD，B1D1BCD=B1C1D1，且=，BCDB1C1D1，CDB=C1D1B1，C1B1D1=CBD，=，=，ABC=A1B1C1，ABD=A1B1D1，ABDA1B1D1，=，A=A1，ADB=A1D1B1，=，ADC=A1D1C1，A=A1，ABC=A1B1C1，BCD=B1C1D1，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似（3）如图2中，四边形ABCD与四边形EFCD相似，=，EF=OE+OF，=，EFABCD，=，+=+，=，AD=DE+AE，=，2AE=DE+AE，AE=DE，=1【名师点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题1（2019湘西州）阅读材料：设=（x1，y1），=（x2，y2），如果，则x1y2=x2y1，根据该材料填空，已知=（4，3），=（8，m），且，则m=_【答案】6【解析】=（4，3），=（8，m），且，4m=38，m=6；故答案为：6【名师点睛】本题考查新定义，点的坐标；理解阅读材料的内容，转化为所学知识求解是关键2（2019白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”若等腰ABC中，A=80，则它的特征值k=_【答案】或【解析】当A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50，特征值k=；当A为底角时，顶角的度数为：1808080=20，特征值k=；综上所述，特征值k为或；故答案为或【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏3.我们定义：对于抛物线，以轴上的点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”，若抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，则的取值范围是_.【答案】m5【解析】【分析】先求出抛物线的顶点坐标（-1，6），进而利用待定系数法求出衍生抛物线的解析式，联立即可得出结论；【详解】解抛物线y=-x2-2x+5=-（x+1）2+6，抛物线的顶点坐标为（-1，6），抛物线的顶点坐标（-1，6）关于（0，m）的对称点为（1，2m-6），即：新抛物线的顶点坐标为（1，2m-6），设衍生抛物线为y=a（x-1）2+2m-6，抛物线y=-x2-2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y，a=1，衍生抛物线为y=（x-1）2+2m-6=x2-2x+2m-5，联立得，x2-2x+2m-5=-x2-2x+5，整理得，2x2=10-2m，这两条抛物线有交点，10-2m0，m5；【点睛】此题主要考查了待定系数法，抛物线顶点坐标的求法，新定义的理解和掌握，点的对称点坐标的求法，理解新定义是解本题的关键4.（2019河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数示例：即4+3=7则（1）用含x的式子表示m=_；（2）当y=2时，n的值为_【答案】（1）3x；（2）1【解析】（1）根据约定的方法可得：m=x+2x=3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可得x+2x+2x+3=m+n=y当y=2时，5x+3=2解得x=1n=2x+3=2+3=1故答案为：1【名师点睛】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法5.（2019湖北宜昌3分）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=，那么三角形的面积为S=如图，在ABC中，A，B，C所对的边分别记为a，b，c，若a=5，b=6，c=7，则ABC的面积为A6B6C18D【答案】A【解析】a=7，b=5，c=6，p=9，ABC的面积S=6故选A【名师点睛】考查了二次根式的化简，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大6.（2019山东临沂）一般地，如果x4=a（a0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个它们互为相反数，记为，若=10，则m=_【答案】10【解析】=10，m4=104，m=10故答案为：10【名师点睛】本题考查了方根的定义关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个7.（2019湖北十堰）对于实数a，b，定义运算“”如下：ab=（a+b）2（ab）2若（m+2）（m3）=24，则m=_【答案】3或4【解析】根据题意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）2=24，（2m1）249=0，（2m1+7）（2m17）=0，2m1+7=0或2m17=0，所以m1=3，m2=4故答案为：3或4【名师点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法48.据规定判断下面四个结论：正方形和菱形都是广义菱形；平行四边形是广义菱形；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；若M、N的坐标分别为（0，1），（0，1），P是二次函数y=x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y=1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形其中正确的是_（填序号）【答案】【解析】根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，正确；平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，错误；由给出条件无法得到一组对边平行，错误；设点P（m，m2），则Q（m，1），MP=|m2+1|，PQ=m2+1，点P在第一象限，m0，MP=m2+1，MP=PQ，又MNPQ，四边形PMNQ是广义菱形正确故答案为：【名师点睛】本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键9.（2019浙江湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是_【答案】4【解析】如图2中，连接EG，作GMEN交EN的延长线于M在RtEMG中，GM=4，EM=2+2+4+4=12，EG=4，EH=4，故答案为：4【名师点睛】本题考查正方形的性质，七巧板，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题10（2019广西贵港）我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a0，且b24a0）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x22x3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：图象与坐标轴的交点为（1，0），（3，0）和（0，3）；图象具有对称性，对称轴是直线x=1；当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大；当x=1或x=3时，函数的最小值是0；当x=1时，函数的最大值是4其中正确结论的个数是_【答案】4【解析】（1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y=|x22x3|，是正确的；从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1，因此也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大，因此也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=1或x=3，因此也是正确的；从图象上看，当x3，函数值要大于当x=1时的y=|x22x3|=4，因此时不正确的；故答案是：4【名师点睛】理解“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y=|ax2+bx+c|与二次函数y=ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握11.（2019贵州安顺）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（JNplcr，15501617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，17071783年）才发现指数与对数之间的联系对数的定义：一般地，若ax=N（a0且a1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216，对数式2=log525，可以转化为指数式52=25我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（MN）=logaM+logaN（a0，a1，M0，N0），理由如下：设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，MN=aman=am+n，由对数的定义得m+n=loga（MN）又m+n=logaM+logaNloga（MN）=logaM+logaN根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式34=81转化为对数式；（2）求证：loga=logaMlogaN（a0，a1，M0，N0）（3）拓展运用：计算log69+log68log62=【解析】（1）4=log381（或log381=4），故答案为：4=log381；（2）证明：设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，=amn，由对数的定义得mn=loga，又mn=logaMlogaN，loga=logaMlogaN；（3）log69+log68log62=log6（982）=log636=2故答案为：212定义：有一个角是其对角两倍的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角已知四边形ABCD是圆美四边形求美角的度数；如图1，若的半径为，求BD的长；如图2，若CA平分，求证：【答案】(1)120;(2)6;(3)见解析.【解析】【分析】先判断出，再判断出，即可得出结论；先求出，再求出DE，最后用锐角三角函数即可得出结论；作出辅助线，判断出是等边三角形，得出，进而判断出，得出，即可得出结论【详解】解：四边形ABCD是圆美四边形，四边形ABCD是圆内接四边形，；由知，如图1，连接DO并延长交于E，连接BE，的半径为，在中，；如图2，在CA上截取，由知，平分，是等边三角形，在和中，【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键13.（2019枣庄）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算：ab=2a+b，例如34=23+4=10（1）求4（3）的值；（2）若x（y）=2，（2y）x=1，求x+y的值【答案】（1）5；（2）.【解析】（1）根据题中的新定义得：原式=83=5；（2）根据题中的新定义化简得：，+得：3x+3y=1，则x+y=【名师点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键14在课外活动中，我们要研究一种凹四边形燕尾四边形的性质.定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）.（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ； 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）.特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形.小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究.下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，BCD=120，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）【解析】试题分析：（1）根据凹四边形的定义即可得出结论；（2）由燕尾四边形的定义可以得出燕尾四边形的性质；（3）连接BD，根据SABD-SBCD即可求出燕尾四边形ABCD的面积.试题解析：（1）.（2）它是一个轴对称图形；两组邻边分别相等；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线等等.已知：如图，在凹四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC.求证：B=D.证明：连接AC.AB=AD,CB=CD,AC=AC，ABCADC.B=D.（3）燕尾四边形ABCD的面积为.15定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的奇妙四边形.（1）如图，已知四边形是的奇妙四边形，若，则_；（2）如图，已知四边形内接于，对角线交于点，若，求证：四边形是的奇妙四边形；作于，请猜想与之间的数量关系，并推理说明.【答案】（1）24；（2）见解析，或，见解析.【解析】【分析】(1)由=SADC+SABC=ACBD即可得到答案.（2）证：四边形是的奇妙四边形，证即可.过点作，垂足为点,或.【详解】解：（1）=SADC+SABC=ACBD=68=24（2）如图，由题得，四边形是的奇妙四边形.如图，过点作，垂足为点，与之间的数量关系：或图推理说明如下：解法一：如图，连结并延长交于点，连结图为的中点又为的中点是的中位线为直径即（等角的余角相等）解法二：如图，连结、，过点作于点， ， 又【点睛】本题考查的知识点是新情境下圆的应用，解题的关键是熟练的掌握新情境下圆的应用.16定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形理解：如图1，点在上，的平分线交于点，连接求证：四边形是等补四边形；探究：如图2，在等补四边形中连接是否平分请说明理由运用：如图3，在等补四边形中，其外角的平分线交的延长线于点求的长【答案】（1）证明见解析；（2）平分，理由见解析；（3）.【解析】【分析】由圆内接四边形互补可知，再证，即可根据等补四边形的定义得出结论；过点分别作于点，垂直的延长线于点，证，得到，根据角平分线的判定可得出结论；连接，先证推出再证利用相似三角形对应边的比相等可求出的长【详解】证明：四边形为圆内接四边形，四边形是等补四边形；平分，理由如下：如图2，过点分别作于点，垂直的延长线于点，则，四边形是等补四边形，又是的平分线，即平分如图3，连接，四边形是等补四边形，又，平分由知，平分又即【点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等17定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“准菱形”，利用该定义完成以下各题：（1）理解：如图1，在四边形ABCD中，若_（填一种情况），则四边形ABCD是“准菱形”；（2）应用：证明：对角线相等且互相平分的“准菱形”是正方形；（请画出图形，写出已知，求证并证明）（3）拓展：如图