2019届河北省衡水金卷模拟试题一数学文.pdf

1 衡水金卷 2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（一） 理数 第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 2 |20Ax xx，|1381 x Bx，|2 ,Cx xn nN，则()ABC （） A2B0,2C0,2,4D2,4 2. 设i是虚数单位，若 5 () 2 i i xyi i ，x，yR，则复数xyi的共轭复数是（） A2iB2iC2iD2i 3. 已知等差数列 n a的前n项和是nS，且456718aaaa，则下列命题正确的是（） A 5 a是常数B 5 S是常数C 10 a是常数D 10 S是常数 4. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小 三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个 用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A 3 16 B 3 8 C 1 4 D 1 8 5. 已知点F为双曲线C： 22 22 1 xy ab （0a，0b）的右焦点，点F到渐近线的距离是点F到 左顶点的距离的一半，则双曲线C的离心率为（） 2 A2或 5 3 B 5 3 C2D2 6. 已知函数 2 sin ,0 , ( ) 1,(0,1, x x f x xx 则 1 ( )f x dx （） A2B 2 C2 2 D2 4 7. 执行如图程序框图，则输出的S的值为（） A2021B2019C2 505D2 5051 8. 已知函数 2 3 ( )sincos3 cos(0) 2 f xxxx的相邻两个零点差的绝对值为 4 ， 则函 数( )f x的图象（） A可由函数( )cos4g xx的图象向左平移 5 24 个单位而得 B可由函数( )cos4g xx的图象向右平移 5 24 个单位而得 C可由函数( )cos2g xx的图象向右平移 7 24 个单位而得 D可由函数( )cos2g xx的图象向右平移 5 6 个单位而得 9. 6 1 (23)(1)x x 的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（） A73B61C55D63 10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一个正六边形及其三条对角线，则该几何体的外接球 的表面积是（） 3 A4B8C16D32 11. 设O为坐标原点， 点P为抛物线C： 2 2(0)ypx p上异于原点的任意一点，过点 P作斜率为 0的直线交y轴于点M，点P是线段MN的中点，连接ON并延长交抛物线于点H，则 | | OH ON 的 值为（） ApB 1 2 C2D 3 2 12. 若函数( )yfx，xM，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任 意实数x，都有( )()af xfxT恒成立，此时T为( )f x的类周期，函数( )yf x是M上的a级 类周期函数， 若函数( )yf x是定义在区间0,)内的 2 级类周期函数， 且2T， 当 0 ,2 )x时， 21 2,01, ( ) 2 (2),12, xx f x fxx 函数 21 ( )2ln 2 g xxxxm，若 1 6,8x，2 (0,)x，使 21 ()()0g xf x 成立，则实数 m的取值范围是（ ） A 5 (, 2 B 13 (, 2 C 3 (, 2 D 13 ,) 2 第卷（共 90 分） 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知向量(2sin,cos)a，(1, 1)b，且ab，则 2 ()ab 4 14. 已知x，y满足约束条件 20, 20, 4180, xy xy xy 则目标函数53zxy的最小值为 15. 在等比数列 n a中， 241 2aaa，且 4 a与 7 2a的等差中项为17，设( 1) n nn ba，*nN， 则数列 n b的前2018项和为 16. 有一个容器， 下部是高为5.5cm的圆柱体， 上部是与圆柱共底面且母线长为6cm的圆锥， 现不考 虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 . ） 17. 已知ABC的内角 A，B，C的对边 a，b，c分别满足22cb， 2 coscoscos0bAaCcA，又点D满足 12 33 ADABAC （1）求a及角A的大小； （2）求|AD的值 18. 在四棱柱 1111 ABCDA B C D中，底面ABCD是正方形，且 1 2BCBB， 11 60A ABA AD （1）求证： 1 BDCC； 5 （2） 若动点E在棱 11 C D上，试确定点 E的位置，使得直线DE与平面1 BDB 所成角的正弦值为 7 14 19.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗2019 年春节前夕，A市某质检部门随机 抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示 （1）求所抽取的100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x（同一组中数据用该组区间的中点 值作代表）； （2）由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 Z服从正态分布 2 (,)N，利用该正态分 布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率； 将频率视为概率，若某人从某超市购买了4 包这种品牌的速冻水饺，记这4 包速冻水饺中这种质 量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望 附：计算得所抽查的这100 包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95； 若 2 ( ,)ZN，则()0.6826PZ，(22 )0.9544PZ 20. 已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积 为 2 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l：2ykx与椭圆C相交于A，B两点，点D的坐标为 1 (0,) 2 ，问直线AD与BD的 斜率之和 ADBD kk是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由 21. 已知函数( )2(1) x f xeaxb，其中e为自然对数的底数 （1）若函数( )f x在区间0,1上是单调函数，试求实数a的取值范围； 6 （2）已知函数 2 ( )(1)1 x g xeaxbx，且(1)0g，若函数( )g x在区间 0,1上恰有 3 个零 点，求实数a的取值范围 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中， 圆 1 C的参数方程为 1cos , 1sin xa ya （是参数，a是大于 0 的常数） 以 坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 2 C的极坐标方程为2 2 cos() 4 （1）求圆 1 C的极坐标方程和圆 2 C的直角坐标方程； （2）分别记直线l： 12 ，R与圆 1 C、圆 2 C的异于原点的交点为A，B，若圆 1 C与圆 2 C外 切，试求实数a的值及线段|AB的长 23. 选修 4-5 ：不等式选讲 已知函数( )| 21|f xx （1）求不等式( )10|3|f xx； （2）若正数m，n满足2mnmn，求证：()( 2 )16f mfn 2019 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）答案 一、选择题 1-5:BADAB 6-10:DCBAB 11、12：CB 二、填空题 7 13. 18 5 14.2 15. 1008 41 312 16. 31225 6 cm 三、解答题 17. 解： （1）由2 coscoscos0bAaCcA及正弦定理得 2sincossincoscossinBAACAC， 即2sincossin()sinBAACB， 在ABC中，sin0B， 所以 1 cos 2 A， 又(0,)A，所以 2 3 A 在ABC中，由余弦定理得 22222 2cos7abcbcAbcbc， 所以7a （2）由 12 33 ADABAC，得 2 2 12 () 33 ADABAC 44414 2 1 () 99929 ， 所以 2 | 3 AD 18. 解： （1）连接 1 A B， 1 A D，AC， 因为 1 ABAAAD， 11 60A ABA AD， 所以 1 A AB和 1 A AD均为正三角形， 于是 11 A BA D 设AC与BD的交点为O，连接 1 AO，则 1 A OBD， 又四边形ABCD是正方形，所以ACBD， 而 1 AOACO，所以 BD平面1 A AC， 又 1 AA平面 1 A AC，所以 1 BDAA， 又 11 / /CCAA，所以 1 BDCC 8 （2）由 11 2ABA D，及22BDAB，知 11 A BA D， 于是 11 12 22 AOAOBDAA，从而 1 AOAO， 结合 1 AOBD，AOBDO， 得 1 AO底面ABCD， 所以OA、OB、OA两两垂直 如图，以点O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz， 则(1,0,0)A，(0,1,0)B，(0,1,0)D， 1(0,0,1) A，( 1,0,0)C，(0,2,0)DB， 11 ( 1,0,1)BBAA， 11 ( 1,1,0)DCDC， 由 11 ( 1,0,1)DDAA，易求得1( 1, 1,1)D 设 111 D EDC（0,1） ，则(1,1,1)( 1,1,0) EEE xyz，即(1,1,1)E 设平面 1 B BD的一个法向量为( , , )nx y z ， 由 1 0, 0, n DB n BB 得 0, 0, y xz 令1x，得(1,0,1)n， 设直线 DE与平面 1 BDB所成角为，则s in|c o s,|DE n 22 |1 (1)01 1|7 14 2( 1)1 ， 解得 1 2 或 1 3 （舍去） . 所以当E为 11 D C的中点时，直线DE与平面 1 BDB所成角的正弦值为 7 14 . 9 19. 解： （1）所抽取的100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x为： 50.1 15 0.225 0.335 0.2545 0.1526.5x （2）Z服从正态分布 2 (,)N，且26，11.95， (14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826PZPZ， Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826 根据题意得 1 (4,) 2 XB， 04 4 11 (0)() 216 P XC； 14 4 11 (1)( ) 24 P XC； 24 4 13 (2)() 28 P XC； 34 4 11 (3)( ) 24 P XC； 44 4 11 (4)() 216 P XC. X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 1 ()42 2 E X 20. 解： （1）由已知可得 222 2 , 2 2 sin2, 4 , c a c abc 解得 2 2a， 22 1bc， 故所求的椭圆方程为 2 2 1 2 x y （2）由 2 2 1, 2 2, x y ykx 得 22 (12)860kxkx， 则 222 6424(12)16240kkk，解得 6 2 k或 6 2 k 设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy， 10 则 122 8 12 k xx k ， 122 6 12 x x k ， 则 1 1 1 2 AD y k x ， 2 2 1 2 BD y k x ， 所以 122112 12 1 () 2 ADBD y xy xxx kk x x 1212 12 3 2() 2 kx xxx x x 66 0 3 kk ， 所以 ADBD kk 为定值，且定值为0 21. 解： （1）( )2(1) x fxea， 当函数( )f x在区间0,1上单调递增时，( )2(1)0 x fxea在区间0,1上恒成立， min 2(1)()1 x ae（其中 0,1x） ，解得 3 2 a； 当函数( )f x在区间0,1上单调递减时，( )2(1)0 x fxea在区间 0,1上恒成立， max 2(1)() x aee（其中0,1x） ，解得1 2 e a 综上所述，实数a的取值范围是 3 (,1,) 22 e （2）( )2(1)( ) x g xeaxbf x 由(0)(1)0gg，知( )g x在区间(0,1)内恰有一个零点， 设该零点为 0 x，则( )g x在区间 0 (0,)x内不单调， 所以( )fx在区间 0 (0,)x 内存在零点1 x ， 同理，( )f x在区间 0 (,1)x内存在零点 2 x， 所以( )fx在区间(0,1)内恰有两个零点 由（ 1）知，当 3 2 a时，( )f x在区间0,1上单调递增，故( )f x在区间(0,1)内至多有一个零点， 不合题意 当1 2 e a时，( )fx在区间0,1上单调递减，故( )f x在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意， 11 所以 3 1 22 e a 令( )0fx，得ln(22)(0,1)xa， 所以函数( )f x在区间0,ln(22)a上单调递减，在区间(ln(22),1a内单调递增 记( )f x的两个零点为 1 x， 2 x 12 ()xx, 因此 1 (0,ln(22)xa， 2 (ln(22),1)xa，必有(0)10fb，(1)220feab 由(1)0g，得abe， 所以 1 ( )1()10 2 feabee， 又(0)10fae，(1)20fa， 所以12ea 综上所述，实数a的取值范围为(1,2)e 22. 解： （1）圆 1 C ： 1cos , 1sin xa ya （是参数）消去参数， 得其普通方程为 222 (1)(1)xya， 将cosx，siny代入上式并化简， 得圆 1 C的极坐标方程为 22 2