广州市2020届高三年级阶段性训练题理科数学参考答案及评分标准.pdf

广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 1 广州市广州市 2020 届届高高三年级阶段训练题三年级阶段训练题 理科数学试题理科数学试题参考参考答案及评分答案及评分标准标准 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D B C A C A B B D C 二、填空题二、填空题 13. 2 14. 26 15. 25 16. 3 1 2 , 3 3 2 三、解答题三、解答题 17. (12 分) （1） 解解: 因为 1 1 2 2 nn n Sa , 所以 11 1 2 2 nn n Sa . 1 分 得 11 1 11 2 22 nnnn nn SSaa , 2 分 即 11 1 2 2 nnn n aaa , 3 分 所以 1nn aa 1 2n . 4 分 （2）解法解法 1: 由 2nnn baa 211nnnn aaaa 5分 211nnnn aaaa 6 分 1 11 22 nn 7 分 1 1 2n . 8分 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 2 得 1 2 11 24 b . 9 分 因为 2 1 1 1 1 2 1 2 2 n n n n b b , 10 分 所以数列 n b是以 1 4 为首项，公比为 1 2 的等比数列. 11 分 所以数列 n b的前n项和为 11 1 1142 1 1 22 1 2 n n n T . 12 分 解法解法 2:由 1nn aa 1 2n , 得 1 1 11 3 23 2 nn nn aa ,5 分 所以数列 1 1 3 2 n n a 是公比为1的等比数列. 6 分 由 11 0 1 21 2 Sa, 得 1 1a , 则 1 1 10 11 1 3 23 2 n n n aa , 所以 1 1 41 1 33 2 n n n a . 7 分 故 2nnn baa 11 11 4141 11 33 233 2 nn nn 1 1 2n . 8 分 得 1 2 11 24 b . 9 分 因为 2 1 1 1 1 2 1 2 2 n n n n b b , 10 分 所以数列 n b是以 1 4 为首项，公比为 1 2 的等比数列. 11 分 所以数列 n b的前n项和为 11 1 1142 1 1 22 1 2 n n n T . 12 分 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 3 z y x OC B A P 18. (12 分) （1）证明证明: 取AC的中点O，连接PO，BO， 因为PAPC，所以POAC. 1 分 因为ABBC，所以BOAC. 2 分 因为POBOO，PO平面POB，BO平面POB， 所以AC 平面POB.3 分 因为PB 平面POB， 所以ACPB.4 分 （2）解法解法 1：不妨设2AC ， 因为3ACPB，则 2 3 3 PB . 因为ABBC，90ABC ，则 1 1 2 BOAOAC. 因为PAPC，120APC ，则60APO . 在 RtPOA中， 3 tan603 AO PO ， 5 分 因为 222 4 3 BOPOPB， 所以POBO. 6 分 因为POAC，ACBOO，AC 平面ABC，BO平面ABC， 所以PO 平面ABC. 7 分 如图，以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标 系Oxyz. 则0, 1,0A， 3 1,0,0 ,0,1,0 ,0,0, 3 BCP ， 3 1,1,0 ,0,1,0,2,0 3 ABAPAC . 8 分 设平面PAB的法向量n, ,x y z， 由n0AB ，n0AP ，得 0, 3 0, 3 xy yz 令3z ，则1,1yx. 故平面PAB的一个法向量为n 1, 1, 3. 9 分 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 4 D OC B A P 则 25 cos, 525 AC AC AC n n n .10 分 记直线AC与平面PAB所成角为， 则sin 5 cos, 5 AC n. 11 分 所以直线AC与平面PAB所成角的正弦值为 5 5 . 12 分 解法解法 2：作ADPB于D，连接CD， 根据题意，得ABPCBP， 则CDPB，ADCD. 5 分 因为ADCDD，AD 平面ACD，CD平面ACD， 所以PB 平面ACD. 6分 因为PB 平面PAB， 所以平面PAB平面ACD. 7 分 则AD是直线AC在平面PAB上的射影. 所以CAD为直线AC与平面PAB所成角. 8 分 不妨设2AC ， 因为3ACPB，则 2 3 3 PB . 因为ABBC，90ABC ，则2AB ，1AO. 因为PAPC，120APC ，则30PAO . 在 RtPOA中， 2 3 cos303 AO PA ， 故 2 3 3 PAPB. 则ABP的面积为 2 2 11 22 SABPAAB 15 6 ， 又 1 2 SPB AD，即 1512 3 623 AD，得 5 2 AD . 9 分 在ACD中， 5 2 CDAD，2AC ， 则 222 2 5 cos 25 ACADCD CAD AC AD ， 10 分 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 5 故 2 5 sin1 cos 5 CADCAD. 11 分 所以直线AC与平面PAB所成角的正弦值为 5 5 .12 分 19. (12 分) （1）解解：由于0 .63, 0 .62内的频率为0.0750.2250.50.15， 5 .63, 0 .63内的频率为375. 05 . 075. 0， 得0.15 0.3750.5250.5， 令这80个零件尺寸的中位数为x，则x5 .63, 0 .63，1 分 即有5 . 075. 0)63(15. 0 x， 解得47.63x 故这80个零件尺寸的中位数为63.47. 2 分 （2）解解：从频率分布直方图中可得尺寸在62.5,64.5之外的零件共有7个，其中尺寸位于 62.0,62.5上的共有3个, 位于64.5,65上的共有4个， 则X的所有可能取值为1,2,3,4， 3 分 31 34 4 7 4 1 35 C C P X C , 22 34 4 7 18 2 35 C C P X C , 4 分 13 34 4 7 12 3 35 C C P X C ， 04 34 4 7 1 4 35 C C P X C ， 5 分 则X的分布列为： 6 分 所以 41812116 1234 353535357 EX . 7 分 （3）解解：根据频率分布直方图，每个零件是二等品的概率为 P 0.0750.2250.1000.50.2. 8 分 设余下的 89 个零件中的二等品的个数为Y，依题意知89,0.2YB， 所以89 0.217.8EY . 9 分 若不对余下的零件作检验，设检验费用与赔偿费用之和为S， X 1 2 3 4 P 4 35 18 35 12 35 1 35 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 6 则11 99 500SY1089500Y. 若对余下的零件作检验，则这一箱零件所需要的检验费用为9900元. 10 分 若不对余下的零件作检验，则检验费用与赔偿费用之和的期望值为 1089 5009989ESEY. 11 分 (本问题从下面两方面本问题从下面两方面回回答都合理，都给满分答都合理，都给满分) 因为9900ES ，所以应该对余下的零件作检验.12 分 由于9989ES 与9900相差不大，又因为对余下零件检验要投入大量人力和物力， 所以对余下的零件不作检验. 12 分 20. (12 分) （1）解解：函数 fx的定义域为0,， 由 ln x be f xax x ，得 2 xx b xee a fx xx ， 1 分 则 1fa， 1fbe . 故曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为1ybea x， 即0axyabe . 2 分 因为曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为22xy e0， 所以2a ，1b. 4 分 （2）证法证法 1: 由(1)知 2ln x e f xx x , 则 22 22 xx xx xee xxee fx xxx . 令 2 xx g xxxee0 x , 得 22 xxxx gxexeexe, 则 gx在0,上单调递减. 由于 020 g , 120ge, 则存在 1 0,1x , 使得 1 0gx. 5 分 当 1 0,xx时, 0gx; 当 1, xx时, 0gx. 故 g x在 1 0,x上单调递增, 在 1, x 上单调递减. 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 7 由于 010g , 120g, 2 240ge, 故存在 0 1,2x , 使得 0 0g x, 6 分 当 0 0,xx时, 0g x , 则 0fx; 当 0, xx时, 0g x , 则 0fx. 故函数 fx在 0 0,x上单调递增, 在 0, x 上单调递减. 7 分 故函数 fx存在唯一的极大值点 0 x. 8 分 由于 0 0g x，即 00 00 20 xx xx ee，得 0 0 0 2 1 x x e x ， 0 1,2x ， 则 0 00 0 2ln x e f xx x 0 0 2 2ln 1 x x . 9 分 令 2 2ln 1 h xx x ，12x， 则 2 22 0 1 h x x x . 故函数 h x在1,2上单调递增. 10分 由于 0 12x，则 0 22ln22h xh.11 分 即 0 0 2 2ln 1 x x 2ln22. 所以 0 2ln22f x. 12 分 证法证法 2: 由(1)知 2ln x e f xx x , 则 222 2122 0 xx x xx xee xexxxee fxx xxxx . 当01x时， 0fx； 当1x 时，令 21 x g xxex, 得 21220 xxx gxexexee , 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 8 则 g x在1,上单调递减. 5 分 又 120g, 2 240ge, 故存在 0 1,2x , 使得 0 0g x, 6分 当 0 0,xx时, 0g x , 则 0fx; 当 0, xx时, 0g x , 则 0fx. 故函数 fx在 0 0,x上单调递增, 在 0, x 上单调递减. 7 分 故函数 fx存在唯一的极大值点 0 x. 8 分 由于 0 0g x，即 0 00 210 x xex，得 0 0 0 2 1 x x e x ， 0 1,2x ， 则 0 00 0 2ln x e f xx x 0 0 2 2ln 1 x x . 9 分 令 2 2ln 1 h xx x ，12x， 则 2 22 0 1 h x x x . 故函数 h x在1,2上单调递增. 10分 由于 0 12x，则 0 22ln22h xh.11 分 即 0 0 2 2ln 1 x x 2ln22. 所以 0 2ln22f x. 12 分 21. (12 分) (1) 解法解法 1 1:因为点P是抛物线 2 1 :3 4 C yx的顶点,所以点P的坐标为0, 3.1 分 依题意知直线AB的斜率存在，设直线:AB ykxb, 1122 ,A x yB xy, 则 1122 ,3 ,3PAx yPBx y . 因为4PA PB , 所以 1212 334x xyy . 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 9 因为A,B是C上的两个动点, 所以 2 11 1 3 4 yx, 2 22 1 3 4 yx. 则 22 1212 1 4 16 x xx x . 整理得 22 121 2 16640 x xx x, 解得 12 8x x . 2 分 由 2 , 1 3, 4 ykxb yx 得 2 41240 xkxb, 则 12 4xxk, 12 124x xb . 故1248b，解得1b . 所以直线:1AB ykx. 3 分 所以直线AB过定点0, 1. 4 分 所以点0,1D不在直线AB上. 5 分 解法解法 2 2: 因为点P是抛物线 2 1 :3 4 C yx的顶点,所以点P的坐标为0, 3.1 分 设 1122 ,A x yB xy,则 1122 ,3 ,3PAx yPBx y . 因为4PA PB , 所以 1212 334x xyy . 因为A,B是C上的两个动点, 所以 2 11 1 3 4 yx, 2 22 1 3 4 yx. 则 22 1212 1 4 16 x xx x . 整理得 22 121 2 16640 x xx x, 解得 12 8x x . 2 分 直线AB的斜率为 22 12 1212 1212 11 44 4 xx yyxx k xxxx , 则直线AB的方程为 2 12 11 1 3 44 xx yxxx , 即 1122 12 1 1 3 444 xxxxx yxx 1212 3 44 xxx x x 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 10 12 1 4 xx x . 3 分 所以直线AB过定点0, 1. 4 分 所以点0,1D不在直线AB上. 5 分 解法解法 3 3: 因为点P是抛物线 2 1 :3 4 C yx的顶点,所以点P的坐标为0, 3.1 分 设 1122 ,A x yB xy,则 1122 ,3 ,3PAx yPBx y . 因为4PA PB , 所以 1212 334x xyy . 因为A,B是C上的两个动点, 所以 2 11 1 3 4 yx, 2 22 1 3 4 yx. 则 22 1212 1 4 16 x xx x . 整理得 22 121 2 16640 x xx x, 解得 12 8x x . 2 分 直线AD的斜率为 2 11 1 11 116 4 yx k xx , 直线BD的斜率为 2 22 2 22 116 4 yx k xx , 则 22 12 12 12 1616 44 xx kk xx 22 2112 12 1616 4 xxxx x x 21 4 xx . 3 分 依题意知 12 xx, 得 12 0 xx, 则 12 0kk,得 12 kk. 故A,B,D三点不共线. 4 分 所以点0,1D不在直线AB上. 5 分 (2) 解法解法 1 1:线段PA的中点坐标为 2 11 ,3 28 xx , 2 1 1 1 1 4 4 PA x x k x , 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 11 则线段PA的中垂线方程为 2 11 1 4 3 82 xx yx x . 6 分 同理得线段PB的中垂线方程为 2 22 2 4 3 82 xx yx x . 由解得 12 4 xx xk , 2 2yk. 8 分 所以点M的坐标为 2 ,2kk. 设点,M x y,则 2 , 2. xk yk 消去k, 得 2 1 2 xy. 所以点M的轨迹方程为 2 1 2 xy. 9 分 抛物线: 2 1 2 xy的焦点为 1 0, 8 F ,准线为 1 : 8 l y , 设点M到直线l的距离为 1 d,根据抛物线的定义得 1 dMF, 因为点M到x轴的距离为d,点1,0N, 则 1 1 8 MNdMNd 1 8 MNMF 10 分 1 8 NF 11 分 651 8 . 当,M N F三点共线,且点M在NF的延长线时, 等号成立. 所以MNd取得最大值为 651 8 . 12 分 解法解法 2 2:线段PA的中点坐标为 2 11 ,3 28 xx , 2 1 1 1 1 4 4 PA x x k x , 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 12 则线段PA的中垂线方程为 2 11 1 4 3 82 xx yx x . 6 分 同理得线段PB的中垂线方程为 2 22 2 4 3 82 xx yx x . 由解得 12 4 xx x , 2 12 8 xx y . 8 分 设点,M x y,则 12 2 12 , 4 . 8 xx x xx y 消去 12 xx, 得 2 1 2 xy. 所以点M的轨迹方程为 2 1 2 xy. 9 分 抛物线: 2 1 2 xy的焦点为 1 0, 8 F ,准线为 1 : 8 l y , 设点M到直线l的距离为 1 d,根据抛物线的定义得 1 dMF, 因为点M到x轴的距离为d,点1,0N, 则 1 1 8 MNdMNd 1 8 MNMF 10 分 1 8 NF 11 分 651 8 . 当,M N F三点共线,且点M在NF的延长线时, 等号成立。 所以MNd取得最大值为 651 8 . 12 分 22. (10 分) (1)解解:由 cos , ( 1sin, xt t yt 为参数), 得sincoscos0 xy, 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 13 1 -11 O y x 所以曲线 1 C的普通方程为sincoscos0 xy. 2 分 由 sin , ( 1 cos2 , x y 为参数),得 22 220 xyy. 所以曲线 2 C的普通方程为 22 220 xyy. 5 分 （2）解法解法 1 1:把 cos , 1sin xt yt 代入 22 22xy， 得 222 2cossin2 sin10tt ，6 分 由于 2 22 2sin4 2cossin80, 则 12 22 2sin 2cossin tt ， 1 2 22 1 2cossin t t . 8 分 则 2 12121 2 4ABttttt t 22 2 2 2cossin . 9 分 由于2AB ，则 22 2 2 2 2cossin . 解得sin0. 经检验，sin0符合题意， 所以sin0. 10 分 解法解法 2:由（1）可知 1 C是直线，且过点0,1， 2 C是椭圆 22 22xy在x轴上方（包括与x轴的两个交点） ， 如图可知，若 1 C与 2 C有两个交点，则 1 C的斜率1,1k . 设 1: 1Cykx, 1122 ,A x yB xy, 由 22 1, 22, ykx xy 得 22 2210kxkx , 6 分 由于 2 22 242880kkk, 则 12 2 2 2 k xx k , 12 2 1 2 x x k . 7 分 2 2 1212 14ABkxxx x 2 2 22 24 1 22 k k kk 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 14 2 2 2 21 2 k k . 8 分 由于2AB ,得 2 2 2 21 0 2 k k ，解得0k . 9 分 则tan0，得sin0. 10 分 23.(10 分) （1）解解法法 1 1:因为0a ，0b ，且1ab, 所以 12 ab 2 abab ab 1 分 2 3 ba ab 2 32 ba ab 2 分 32 2 . 3 分 当且仅当 2ba ab ,即 22 2ba时,等号成立. 由 22 0,0, 1, 2, ab ab ba 解得 21, 22. a b 4 分 所以 12 ab 的最小值为32 2. 5 分 解解法法 2 2:因为0a ，0b ，且1ab, 所以 12