数分课后习题.pdf

506第十四章 曲线积分与曲面积分 () () F q z y x 图14.6电场作功 例14.2.5.?q? ?,? ?A “ pq?B “ pq? ?W. 解.这是一个第二型的曲线积分问题.根 据库仑定律, px,y,zq处的单位正电荷在静电 场中所受的力为 F “ q r r3 “ q px,y,zq px2 y2 z2q32 , 因此 F沿所作的功为 W “ qx px2 y2 z2q32 dx qy px2 y2 z2q32 dy qz px2 y2 z2q32 dz “ q xx1 yy1 zz1 px2 y2 z2q32 dt “ q 2 rpq rpq dr2 r3 “ q rpq rpq dr r2 “ q ” 1 rpq 1 rpq . 这说明,静电场所作的功只与单位电荷的起始位置和终点位置有关,与具体运动路 径无关.! 习题14.2 1.计算下列积分: p1q C xdx ydy zdz, C是从p1,1,1q到p2,3,4q的直线段; p2q C px2 y2qdx px2 y2qdy, C是以p1,0q, p2,0q, p2,1q, p1,1q为顶点的正 方形,逆时针方向; p3q C px yqdx px yqdy x2 y2 , C是圆x2 y2“ a2,逆时针方向; p4q C px2 2xyqdx py2 2xyqdy, C是抛物线y “ x2从p1,1q到p1,1q的 一段. p5q C px yqdx px yqdy, C是椭圆 x2 a2 y2 b2 “ 1,逆时针方向. 14.3第一型曲面积分507 2.计算积分 C py zqdx pz xqdy px yqdz, 其中C为椭圆x2 y2“ 1, x z “ 1,从x的正向看去, C沿顺时针方向. 3.设Ppx,yq, Qpx,yq在曲线上连续,证明 Ppx,yqdx Qpx,yqdy LpqM, 其中M “ sup aP 2 Q2. 4.设C为圆周x2 y2“ R2,方向为逆时针.利用上一题估计积分 IR“ C ydx xdy px2 xy y2q2 , 并证明lim R8 IR“ 0. 5.计算质量为m的质点在重力场的作用下沿曲线从点A “ pq到点B “ pq所作的功W. 6.证明,如果 是可求长曲线的重新参数化,则它们的长度相等. 14.3第一型曲面积分 我们从曲面的面积开始.设m n, Rm为Rm中的开集.C1映射 : Rn称为Rn中的一个参数曲面.我们想要定义参数曲面的面积,先从线性 映射开始.设 : Rm Rn为线性映射, I Rm为矩形.如果是退化的(秩小 于m),则pRmq包含在一个维数小于m的子向量空间中,我们自然定义pIq的 m维体积为零;如果非退化,则pRmq维数为m, pIq为m维欧氏空间中的 可求体积集,我们来计算它的m维体积.以下为了区分不同维数的体积,我们将m 维体积称为面积,并用记号来表示它. 0 I (I) 0 Rm Rn 图14.7矩形在线性映射下的像 514第十四章 曲线积分与曲面积分 习题14.3 1.用重积分的变量替换公式证明,参数曲面的面积与参数的选取无关. 2.求z “ axy包含在圆柱x2 y2“ a2内的面积. 3.求锥面z2“ x2 y2被柱面x2 y2 2ax “ 0在z 0的部分截下的面积. 4.计算球面x2 y2 z2“ a2被柱面x2 y2“ ax所截下的面积. 5.计算曲面|x1| |x2| |xn| “ a的面积. 6.计算n维球面x2 1 x22 x2n“ a2 的面积. 7.重新研究第七章第一节中几种曲面的面积公式,它们和本节中的定义一致吗? 8.计算下列曲面积分: p1q px y zqd, 为x2 y2 z2“ a2, z 0; p2q d p1 x yq2 , 为x y z “ 1, x,y,z 0; p3q a x2a4 y2b4 z2c4d, 为 x2 a2 y2 b2 z2 c2 “ 1; p4q xyzd, 为z “ x2 y2, z 1. 9.设球面x2 y2 z2“ a2上分布着密度为的均匀物质,求该物质的引力场. 10.用S2表示球面x2 y2 z2“ 1.当f连续时,证明 S2 fpax by czqd “ 2 1 1 fu a a2 b2 c2du. 14.4第二型曲面积分 如同在曲线上一样,在曲面上也存在着第二种类型的积分,这种积分涉及到“方 向”的概念.参数曲线的方向是由其参数决定的,参数曲面也是如此.设 : Rn 为参数曲面,如果 : 1 为C1的可逆映射,则 也是参数曲面,它是 的重新参数化.如果detJ恒为正,则称和 是同向的;如果detJ恒为 负,则称和 是反向的. 14.4第二型曲面积分519 解. 为R4中的超曲面,它由五个部分组成,其中四部分分别位于坐标平面 上,在这四部分上被积函数均为零.第五部分为 1: w “ 1 x y z,px,y,zq P “ tx y z 1, x 0, y 0, z 0u, 其法向量为pwx,wy,wz,1q “ p1,1,1,1q,这是外侧方向,因此 I “ 1 xyzwdx dy dz “ xyzp1 x y zqdxdydz “ tyz1, y, z0u yz 1yz 0 xdxdydz 3 tyz1, y, z0u yz 1yz 0 x2dxdydz “ 1 2 tyz1, y, z0u yzp1 y zq2dydz tyz1, y, z0u yzp1 y zq3dydz “ 1 7!. 在计算的过程中我们用到了x,y,z的对称性.! 习题14.4 1.用多重积分的变量替换公式证明,第二型曲面积分在两个同向的参数下其值不 变,在反向的两个参数下其值正好相差一个符号. 2.计算积分 I “ xdy dz ydz dx zdx dy, 其中为球面px aq2 py bq2 pz cq2“ R2的外侧. 3.计算积分 I “ yzdy dz zxdz dx xydx dy, 其中是柱面x2 y2“ a2的外侧. 4.计算积分 I “ x3dy dz, 其中是上半椭球面 x2 a2 y2 b2 z2 c2 “ 1, z 0的上侧. 5.计算积分 I “ yzdy dz zxdz dx xydx dy, 其中是四面体x y z a, x 0, y 0, z 0的外侧. 14.5几类积分之间的联系535 0 y z x 图14.23球面区域 例14.5.14.? I “ B py zqdx pz xqdy px yqdz, ?tx2y2z2“ 1, x,y,z 0u, ?. 解.由Stokes公式得 I “ 2 dy dz dz dx dx dy. 由于球面的单位外法向量为px,y,zq,故上述第 二型曲面积分可以写为第一型曲面积分: I “ 2 p1,1,1q px,y,zqd “ 2 px y zqd, 根据x,y,z的对称性得 I “ 6 zd “ 6 tx2y21, x,y0u z b 1 z2 x z2ydxdy “ 3 2. 注.如果注意到积分 dy dz dz dx dx dy的几何意义就是八分之一 球面向三个坐标平面作投影的面积之和,则计算结果可以立即得到. 习题14.5 1. pq利用余面积公式计算积分 I “ x2 a4 y2 b4 z2 c4 12 d, 其中为椭球面 x2 a2 y2 b2 z2 c2 “ 1. 2. pq利用函数fpx1, ,xnq “ x1 xn以及余面积公式计算n 1维单形 tx1 xn“ a, x1, ,xn 0u 的面积. 3.利用Green公式计算下列积分: p1q C xy2dx x2ydy, C为圆周x2 y2“ a2,逆时针方向; p2q C px yqdx px yqdy, C椭圆 x2 a2 y2 b2 “ 1,逆时针方向; 536第十四章 曲线积分与曲面积分 p3q C pxyq2dxpx2y2qdy, C是从p1,1q经过p3,2q到p2,5q再回到p1,1q 的三角形边界; p4q C exsinydxexcosydy, C是上半圆周x2y2“ ax py 0q,逆时针方向. 4.利用Green公式计算下列曲线所围成的面积: p1q抛物线px yq2“ ax pa 0q和x轴; p2q双纽线px2 y2q2“ a2px2 y2q pa 0q; p3q x3 y3“ 3axy pa 0q. 5.设C为平面上的连续可微的闭曲线, v为任意一个固定的向量,证明 C v nds “ 0, 其中 n为C的单位外法向量. 6. pq设pxq为ra,as上的连续可微函数,且p0q “ 1p0q “ 0.证明,存在 0 a,使得pxq在r,s上的图像与圆周tx2 y2“ 2u正好只有两个 交点. (提示:用微分中值定理). 7.利用Gauss公式计算下列积分: p1q x3dy dz y3dz dx z3dx dy, 为球面x2 y2 z2“ a2,方向为 外侧; p2q x2dy dz y2dz dx z2dx dy, 为矩形区域r0,as3的边界,方向 为外侧; p3q px yqdy dz py zqdz dx pz xqdx dy, 为曲面z “ x2 y2 pz 1q,方向向下; 8.设为R3中的有界区域,其边界为C1曲面.如果 v为任意一个固定的向量, 证明 B v nd “ 0, 其中 n为的单位外法向量. 9.设为R3中的有界区域,其边界为C1曲面, px0,y0,z0q R B.记 r “ x x0 r , y y0 r , z z0 r , r “ a px x0q2 py y0q2 pz z0q2, 证明 dxdydz r “ 1 2 B r nd. 14.5几类积分之间的联系537 10.利用Stokes公式计算下列积分: p1q C ydx zdy xdz, C是圆周x2 y2 z2“ a2, x y z “ 0,从x轴看 上去圆周的方向是逆时针的; p2q C y2dx z2dy x2dz, C是圆周x2y2z2“ a2, x y z “ a,从x轴 看上去圆周的方向是逆时针的; p3q C pzyqdxpxzqdypyxqdz, C是从pa,0,0q经过p0,a,0q到p0,0,aq 再回到pa,0,0q的三角形边界; 11.证明,梯度场的旋度为零;旋度场的散度为零. 12.设v为C1函数, X为向量场,证明 divpvXq “ v divX v X,rotpvXq “ v rotX v X. 13.如果u, v为C2函数,则有 divpuvq “ u v uv,puvq “ vu uv 2u v. 14.设 X, Y为向量场,证明divpX Y q “Y rotX X rotY . 15.设为R3中的有界区域,其边界为C1曲面,方向为外侧.如果v为C1函 数, X为C2向量场,则 v rotXdxdydz “ B vprotX nqd. 16. pq设为平面上的有界区域,其边界为C1曲线.如果u为上的C2函数, 且u “ 0,则对内部的任意点px0, y0q,均有 upx0, y0q “ 1 2 B “ r n r u Bu Bn lnrds, 其中r “ apx x 0q2 py y0q2, r “ 1 r pxx0, y y0q, n为B的单位外法 向量. 17. pq设为R3中的有界区域,其边界为C1曲面.如果u为上的C2函数, 且u “ 0,则对内部的任意点px0, y0, z0q,均有 upx0, y0, z0q “ 1 4 B “ r n r2 u 1 r Bu Bn d, 其中 r “ a px x0q2 py y0q2 pz z0q2, r “ 1 r px x0, y y0, z z0q, n为B的单位外法向量. 16.1含参变量的积分587 定理16.1.5.?fpx,yq?fypx,yq?ra,bs rc,ds?,?apyq, bpyq?y?,?Fpyq?y?,? F1pyq “ bpyq apyq fypx,yqdx fpbpyq,yqb1pyq fpapyq,yqa1pyq. 证明.证明留作练习.! 例16.1.4.?a 0,? Ipaq “ a 0 lnp1 axq 1 x2 dx. 解.利用上面的定理,得 I1paq “ lnp1 a2q 1 a2 a 0 x p1 axqp1 x2qdx “ a 1 a2 arctana lnp1 a2q 2p1 a2q . 关于a积分,得 Ipaq “ lnp1 a2q 2 arctana C. 因为Ip0q “ 0,故C “ 0.最后就得到 Ipaq “ lnp1 a2q 2 arctana. 习题16.1 1.设fpx,yq关于y的偏导数存在,且fypx,yq是ra,bs rc,ds上的连续函数,则 极限 lim yy0 fpx,yq fpx,y0q y y0 “ fypx,y0q 关于x P ra,bs一致收敛. (提示:用微分中值定理.) 2.设fpxq在ra,bs上连续,则对任意x P pa,bq,有 lim h0 1 h x a rfpt hq fptqsdt “ fpxq fpaq. 3.证明n阶Bessel函数 Jnpxq “ 1 0 cospn xsinqd 满足Bessel方程 x2J2 npxq xJ 1 npxq px 2 n2qJnpxq “ 0. 588第十六章 含参变量的积分 4.计算下列积分 p1q 0 lnp1 2acosx a2qdx;p2q 2 0 arctanpatanxq tanx dx pa 0q. 5.计算下列积分 p1q 2 0 ln 1 acosx 1 acosx dx cosx p|a| 1q;p2q 1 0 sin ln 1 x xb xa lnx dx pb a 0q. 6.设 1,计算积分 I “ 2 0 lnp2 sin2xqdx. 7.定义函数 Kpx,yq “ $ p2q 8 0 cosxy ?xdx, y P p0,8q; p3q 8 0 sinx xp xqdx, P p0,8q; p4q 8 0 sinx 2 x2 dx, P p0,8q; 5.研究含参变量的积分 Ipq “ 2 0 lnp2 sin2qd 关于的一致收敛性. 604第十六章 含参变量的积分 6.研究下列函数在指定区间内的连续性: p1q Fpxq “ 8 0 cosxt 1 t2 dt, x P p8,8q; p2q Fpxq “ 8 0 xex 2tdt, x P p8,8q; p3q Fpxq “ 0 sint txp tqx dt, x P p0,2q. 7.从已知积分(a 0) 8 0 eax 2dx “1 2 c a , 8 0 dx a x2 “ 1 2 ?a, 1 0 xa1dx “ 1 a, 通过微分求下列积分: p1q 8 0 eax 2x2ndx, p2q 8 0 dx pa x2qn1 ,p3q 1 0 xa1lnnxdx. 8.计算下列积分(a,b 0): p1q 8 0 xeax 2 sinbxdx, p2q 8 0 eax ebx x dx, p3q 8 0 peax ebxq2 x2 dx. 9.计算下列积分(a,b 0): p1q 8 0 eax ebx x sinmxdx,p2q 8 0 lnpa2 x2q b2 x2 dx,p3q 8 0 eay 2by2dy. 10.利用等式 8 0 etp 2x2qdt “ p2 x2q1计算Laplace积分: I “ 8 0 cosx 2 x2 dx,J “ 8 0 xsinx 2 x2 dx. 11.计算下列积分(a,b 0): p1q 8 0 eax 2 ebx 2 x2 dx,p2q 8 0 sin2x x2 dx,p3q 8 0 sin3x x dx. 12.计算下列积分: p1q 8 0 sin4x x2 dx,p2q 8 8 sinpx2qcos2xdx,p3q 8 0 sinpx2q x dx. 16.3特殊函数 本节考虑互相之间有密切联系的两个含参变量积分,它们的定义为 Bpp,qq “ 1 0 xp1p1 xqq1dx pp,q 0q,psq “ 8 0 xs1exdx ps 0q. (16.3) 函数Bpp,qq称为Beta函数, psq称为Gamma函数,统称Euler积分. 614第十六章 含参变量的积分 上式代入倍元公式,化简可得 ep2sq“ eCpsqps12q121 1 2s s, s 0. 因为0 psq p12sq1,在上式中令s 8可得 1 “ eC, 即C “ 0,从而再次得到(16.11). 象阶乘的Stirling公式一样,利用Euler-Maclaurin公式可以得到(16.11)中 psq的更精确的估计. 习题16.3 1.证明Beta函数在定义域内无限次可微. 2.证明下列递推关系: pBpp,q 1q “ qBpp 1,qq,Bpp 1,q 1q “ pq pp qqpp q 1qBpp,qq. 3.证明下列等式,其中m,n为正整数: Bpp,nq “ 1 2 3pn 1q p pp 1q pp 2qpp n 1q, Bpm,nq “ pm 1q!pn 1q! pm n 1q! . 4.证明Gamma函数在其定义域内无限次可微. 5.证明等式