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数字信号处理课后习题详解数字信号处理课后习题详解 第一章第一章 1.1 试画出正弦序列试画出正弦序列 sin(16n/5)的波形，它是不是一个周期序列？若是，其周期 长度是多少？ 的波形，它是不是一个周期序列？若是，其周期 长度是多少？ 解：matlab 环境下实现源代码如下： n=0:15; y=sin(16*pi*n/5); stem(n,y); xlabel(n); ylabel(x(n) 图形如下图所示。 225 16 8 5 p q =，取 k=p，则周期 N=p=5，即 sin(16n/5)是一个周期序列， 周期长度为 5；图中也可以看出这点。 1.2 判断下列序列是否是周期序列，若是，确定其周期长度。判断下列序列是否是周期序列，若是，确定其周期长度。 (1) 3 ( )cos() 74 x nn = 解： 2214 3 3 7 p q = p，q 是互为质数的整数，取 k=q 则周期 N=p=14周期长度为 14 (2) ) 7 cos() 4 sin()( nn nx = 解： 1 2 8 4 N = 2 2 14 7 N =N1，N2最小公倍数为56 其周期长度为56 1.3 试画出如下序列的波形 (1) x(n)=3(n+3)+2(n+1)-4(n-1)+2(n-2) (2)x(n)= 0.5nR5(n) 解：(1) (2) 1.4 今对三个正弦信号今对三个正弦信号)2cos()( 1 ttxa=、)6cos()( 2 ttxa=、)10cos()( 3 ttxa=进 行理想采样，采样频率为 进 行理想采样，采样频率为8=s，求这三个采样输出序列，比较其结果。画出，求这三个采样输出序列，比较其结果。画出 xa1(t)、xa2(t)、xa3(t)的波形及采样点位置并解释频谱混叠现象。的波形及采样点位置并解释频谱混叠现象。 解：matlab环境下实现源代码如下： t=-1:0.01:1; x1=cos(2*pi*t); x2=-cos(6*pi*t); x3=cos(10*pi*t); t2=-1:0.25:1; y1=cos(2*pi* t2); y2=-cos(6*pi* t2); y3=cos(10*pi* t2); subplot(311) plot(t,x1);xlabel(t);ylabel(Xa1(t) hold stem(t2, y1) subplot(312) plot(t,x2);xlabel(t);ylabel(Xa2(t) hold stem(t2, y2) subplot(313) hold stem(t2, y3) plot(t,x3);xlabel(t);ylabel(Xa3(t) 三个信号波形 已知8=，则 4 1 8 2 ,4 2 = s T。 ( ) 1 x t =( )() 1 n x ttnT = =( ) () 1 n x ttnT = =() () 1 n x nTtnT = =() ()cos 2/ 4 n ntnT = =() ()cos/ 2/ 4 n ntn = 同理：( ) 2 x t=() ()cos 3/ 2/ 4 n ntn = ，( ) 3 x t=() ()cos 5/ 2/ 4 n ntn = 因为f1=12，所以有频谱混淆现象； 因为f2=52，所以有频谱混淆现象。 1.5 一个采样周期为T的采样器，开导通时间为，0T，若采样器的输入信 号 为xa(t)， 求 采 样 器 的 输 出 信 号 ( )( ) ( ) pa x tx t p t=的 频 谱 结 构 式 中 ， = = n nTtrtp),()( = 其它0 01 )( Tt tr 解：采样过程为距形周期脉冲采样过程， )(tp 是周期函数，展开成傅里叶级数 P(t)= s jkt k k C e = ，其中 T s 2 = ， Ck= dt T T tjk etP T s 2 2 )( 1 = dt T tjk e T s 2 0 1 =/T Sa(2/k) 2/ tjk e s P(j)= = k T ) t/2Sa(k 2 2/ tjk e s (-ks) djpjXajXajpj p x =)()( 2 1 )(*)( 2 1 )( ， 将p(j)代 入 得 )( 2 2 sk Sa)( sjkjXa sk j e k T j p x = = 提示：DTFT tjk e s = )(2sk 1.6 令令 x(n)和和)( j eX表示一个序列及其表示一个序列及其 DTFT，并且，并且 x(n)为实因果序列，利用为实因果序列，利用 )( j eX求下面各序列的求下面各序列的 DTFT。 (1)k x(n)，k为任意常数；(2) x(n-n0)，n0为正整数。 (3) )2()(nxng= 解：(1)k x(n) DTFT kX( j e) (2)DTFT(x(n-n0)= nj e n = n0)- x(n = 0 x(m) nj e nj e m = = 0nj e X( j e) (3) = = n njj enxeX )()( 22 ( )(2 )( )() kw jj j n nk DTFT g nxn ex k eX e = = (4) ( ), 2 0, n xn n 为偶数 为奇数 解： () () 1 ( )( ) ( )( 1)( ) 2 111 ( )( ) ( )( ) 222 11 ()() 22 j nnjn nn jnjnj njn nnn jj DTFT g ng n ex nx n e x kex k ex k ex k e X eX e = = =+ =+=+ =+ 为奇数）（为偶数nne n xngDTFT nj n 0)() 2 ()(+= = )( 22jkj n eXekx= = ）（ 1.7 求下列序列的求下列序列的Z变换，收敛域及零极点分布图。变换，收敛域及零极点分布图。 (3) -0.5nu(-n-1) 解： ( )0.5(1) nn X zunz = 1 0.5n n z = 11 0 (0.5)n n z + = = 1 1 0.5 1 0.5 z z = 1 1 1 0.5z = 收敛域为 1 0.51z ，即0.5z0 零点： 1 102 (0.5)1 jk ze = = 2 1 10 0.5,0,1,29 jk zek =K 2 1 10 (2) ,0,1,29 jk zek =K 极点：z=0.5，当k取0时，零点和极点抵消 1.8 利用Z变换的性质求Z变换 (1) + = 其它, 0 21,2 0 , )( NnNnN Nnn nx 解：x(n)图示为 三角脉冲可以看成两个距形序列的卷积 x(n)=f(n+1)其中f(n)=h(n)*h(n) 而h(n)=u(n-1)-un-(N+1) u(n) 1 1 1Z z 则h(n) 1 1 1 1 1 1 Z z N z z z f(n) =h(n)*h(n) 2 1 1 2 2 1 1 )1 ( 1 )()()( = = z N z z z z z zHzHzF N 则x(n)的Z变换X(z)=Zf(n+1)=ZF(z)= 2 1 1 1 z N z z 1.10 求以下函数的逆求以下函数的逆z变换变换 (1) 2|1 , )21)(1 ( 1 11 z zz 解：(1)采用部分分式法 ： 1 2 1 1 211 )( + = z A z A zx则 1 21 1 1 1 1 = = = z z A；2 1 1 2 1 2 = = = z z A 因为收敛域为1 |z| 2，所以f(n)=-u(n)-2n+1u(-n-1) (2) )5 . 01)(5 . 01 ( 5 1 z z z ，0.5|z|2 解： (5) ( ) (0.5)(1 0.5 ) z z X z zz = ， 12 ( ) 0.51 0.5 AAX z zzz =+ ， 1 0.5 ( )0.55 (0.5)6 1 0.25 z X z Az z = = 2 2 ( )25 (1 0.5 )2 20.5 z X z Az z = = 6264 ( ) 0.51 0.50.52 zzz X z zzzz = = + 0.52z0.5 第二部分的极点是z=2，收敛域是|z|2 ( )6(0.5)( )4 2(1) nn x nu nun= (3)2 0 cos 1 1 1 1 + + zz z (查过资料，建议将0cos 1 z改为20cos 1 z) 解：X(z)= 2 0 cos 1 1 1 1 + + zz z = 2001 1 1 1 + + + z jw e jw ez z = + 10 1 10 1 1 1 z j ez j e z 00 0 1 2, 00 0 1 1 0 2 0 1 00 1 z X(z) j e j e j e K j e j e j e K j ez K j ez K j ez j ez z + = + = + = + = 所以 X(z)= 00 0 1 j e j e j e + 0j ez z + 00 0 1 j e j e j e + 0j ez z = 0 ) 22 0 ( 0sin 2 0 cos 0 ) 22 0 ( 0sin 2 0 cos j ez z j e j ez z j e + x(n)= )( 2 0sin 2 0 cos0 2 0 cos2 )( ) 2 0 2 0 ( 0sin 2 0 cos ) 2 0 2 0 ( 0sin 2 0 cos nu j e n nu nj e nj e + = + + + 1.11 设序列设序列x(n)和和y(n)的的z变换分别为变换分别为X(z)和和Y(z),试求试求Y(z)与与X(z)的关系的关系 (1) y(n)=Cnx(n) 解：( )( )( ) nnn nn Y zy n zc x n z = = 11 ( )()() n n x n c zX c z = = (2) y(2n)=x(n); y(2n+1)=0 解： ( )( ) n n Y zy n z = =( )( ) pq pq y p zy q z =+ 偶数奇数 2 (2 )0 n yn z =+ 2 ( )() n n x n z = = 2 ()X z= (3) y(2n)=y(2n+1)=x(n) 解： ( )( ) n n Y zy n z = =y(q)z( ) qp qp y p z =+ 偶数奇数 2(21) (2 )(21) nn nn yn zynz + = =+ 2(21) ( )( ) nn nn x n zx n z + = =+ 212 ()()X zz X z =+ 12 (1)()zX z =+ (4) y(n)=x(-n) 解：( )( ) n n Y zy n z = =() n n xn z = = 1 ( )() n n x n z = = 1 ()X z= 1.12 用直接法或Parseval定理求下列各已知序列的 x(n)y(n) n = (1) )()(),()(nu n bnynu n anx= 解：直接法： x(n)y(n) n = = () ab n n abnu n b n nu n a = = = = 1 1 0 )()( ， 1ab 1.14 试用直接计算法求下面两个序列的线性卷积，并画出卷积过程图 (1)x1(n)= (n)+2(n+2)-(n-4)，x2(n)= 2(n-1)+(n-3) 解：y(n)= x1(n)* x2(n)=(n)+2(n+2)-(n-4)* 2(n-1)+(n-3) =4(n+1)+4(n-1)+(n-3)-2(n-5)-(n-7) (略；反折移位相加) 1.15 设设x(n)、y(n)、w(n)为三个序列，试证明：为三个序列，试证明： (2) x(n)*y(n)+w(n) =x(n)*y(n)+x(n)*w(n) 证明：x(n)* y(n)+ w(n)= = + m mnwmnymx)()()( ( ) ()( ) () mm x m y nmx m w nm = + = x(n)*y(n)+x(n)*w(n)，即得证！ 1.17 列出题图所示系统的差分方程，并在初始条件列出题图所示系统的差分方程，并在初始条件y(0)=1和和y(n)=0,n0下，求下，求 以下输入序列的输出以下输入序列的输出y(n)，并图示之。，并图示之。 +T 1/3 x(n)y(n) (1) (n)x(n)= 由图知 1)y(ny(n) 3 1 x(n)+=+ 即 )()( 3 1 -1)y(nnxny=+ 输入 (n)x(n)= ，输出y(n)就是h(n)，n0时，y(n)=0，为因果序列 已知y(0)=1 y(1)= 3 4 )0( 3 1 x(0)y(0) 3 1 =+=+ ； y(2)= 3 4 3 1 y(1) 3 1 = ； y(3)= 3 4 2 3 1 y(2) 3 1 = y(n)= ) 1( 34)()(, 1,34 3 4 1 3 1 += = nnu nnyn n n 图示为 (2)x(n)=u(n) 解：(2)方法一 由框图可得：x(n)+ y(n)/2= y(n+1) 当x(n)= u(n)得 3 y(n+1)- y(n)= u(n) 取z变化得 3zY(z)- Y(z)=z/(z-1) 化简得Y(z)=z/(3 z-1)( z -1)= z /2(z -1) - z /2(3z -1) 所以y(k)=A1/2 -1/6 (1/3)k(k) 因为y(0)=1，所以A=3 则y(k)=3/2 -1/2(1/3)k(k) 方法二 由上图可知 1 ( )( )(1) 3 x ny ny n+=+即 1 (1)( )( ) 3 y nx ny n+=+ (0)1y= 14 (1)(0)(0) 33 yyx=+= 113 (2)(1)(1) 39 yyx=+= 140 (3)(2)(2) 327 yyx=+= 1121 (4)(3)(3) 381 yyx=+= 1364 (5)(4)(4) 3243 yyx=+= 1364 (6)(5)(5) 3729 yyx=+= 1 (7)(6) 3 yy= M 1 ( )(1) 3 y ny n= 0,0 1,1 1 ( ) (1) 1,15 3 1 (1),6 3 n n y n y nn y nn 0或n0时 x(n)=0. n=0时，y(-1)=2y(0)-2x(0)-2x(-1)=-2. n=-1时， y(-2)=2y(-1)-2x(-1)-2x(-2)=2y(-1)= 2 2 . . n=m 时，y(-m)= m 2 所以y(n)= n 2，n0，即y(n)= n 2u(-n-1). 图示为： 1.19 分别用直接卷积和分别用直接卷积和z变换求变换求f(n)= x(n) *y(n) (1) x(n)=anu(n)，y(n)= bn u(n) 0|a|,|b|1 解：(1)法一：直接卷积 )(ky f = f (k) * h(k)( ) ()( )() iki ii f i h kia u i bu ki = = 当i k时，u(k - i) = 0 u(k)* u(k) = (k+1)u(k) 1 00 1 , ( )( )( ) 1 (1), k i kkk ik ik f ii k a b a bab yka bu kbu k a b b bkab + = = += 法二：Z变换法 ( )( ) ( ) zz F zX z Y z zazb = 当ba=时； 2 2 )( )( bz z zF = 2 22 (1)( )(1) ()() kkk bzz kbbkf kbk zbzb +=+ Q即： 当b a = / 时； 12 ( )AAF z zzazb =+ 1 ( ) () z a F za Aza zab = = ， 2 b A ba = ，( ) ab zz abba F z zazb =+ ( )() ( ) nn ab f nab u n abba =+ 11 ( ) nn ab u n ab + = (2)x(n) =anu(n)，