中考数学10天冲刺压轴题6（通用版）

9（2014 年上海市杨浦区中考模拟第 24 题） 已知抛物线 yax22ax4 与 x 轴交于点 A、 B(点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C， ABC 的面积为 12 （1）求抛物线的对称轴及表达式； （2）若点 P 在 x 轴上方的抛物线上，且 tanPAB 2 1 ，求点 P 的坐标； （3）在 （2）的条件下， 过 C 作射线交线段 AP 于点 E，使得 tanBCE 2 1 ，联结 BE， 试问 BE 与 BC 是否垂直？请通过计算说明 9（1）由 yax22ax4，得 C(0,4)，对称轴为直线 x1所以 OC4 如图 1，由 SABC 1 2 AB OC12，得 AB6 由直线 x1 垂直平分 AB，得 A(2, 0)，B(4,0) 将 B(4,0)代入 yax22ax4，得 1 2 a 所以抛物线的表达式为 1 (2)(4) 2 yxx 2 1 4 2 xx （2）如图 2，作 PHx 轴于 H，设 1 ( ,(2)(4) 2 P xxx 由 1 tan 2 PH PAB AH ，得 1 (2)(4) 1 2 22 xx x 解得 x5所以 7 (5, ) 2 P 第 9 题图 1 第 9 题图 2 （3）如图 3，由 tanPABtanACOtanECB 1 2 ，知PABACOECB 由PABACO，可得PAC90 由ACOECB，可得ACEBCO45 所以ACE 是等腰直角三角形 因此EMAANC所以 EMAN4，MANC2所以 E(2, 2) 由 B(4,0)，C(0,4)，E(2, 2)，可得 CE240，BC232，CE28 因此 CE2BC2CE2所以EBC90所以 BEBC 【解法二】如图 4，由 A(2, 0)，B(4,0)，C(0,4)，E(2, 2)， 可得2 5CA，4CO ，2 10CE ，4 2CB 由 2 55 42 CA CO ， 2 105 24 2 CE CB ，得 CACE COCB 又因为ACOECB，所以ACOECB 因此AOCEBC90所以 BEBC 第 9 题图 3 第 9 题图 4 【解法三】由ACE 和OCB 都是等腰直角三角形， 可得 CACE COCB 又因为ACOECB，所以ACOECB 因此AOCEBC90所以 BEBC 【解法四】如图 5，设 CE 的中点为 Q 由 C(0,4)，E(2, 2)，可得 Q(1,1)，2 10CE 由 B(4,0)，Q(1,1)，可得10QB 因此 QCQEQB由此可得EBC90 【解法六】如图 6，由EABECB，可知 A、C、B、E 四点共圆 所以EBAECA45（如图 7） 所以EBCEBACBA90 【解法七】由 C(0,4)、B(4,0)、E(2, 2)，可知EBO45，CBO45 所以EBCEBOCBO90 第 9 题图 5 第 9 题图 6 第 9 题图 7 10 （2014 年上海市静安区中考模拟第 25 题） 如图 1， 反比例函数的图像经过点A(2, 5)和点 B(5, p)， 平行四边形 ABCD 的顶点 C、 D 分别在 y 轴的负半轴、x 轴的正半轴上，二次函数的图像经过点 A、C、D （1）求直线 AB 的表达式； （2）求点 C、D 的坐标； （3） 如果点 E 在第四象限内的二次函数的图像上， 且DCEBDO， 求点 E 的坐标 10 （1）因为反比例函数的图像经过点 A(2, 5)，所以 10 y x 代入点 B(5, p)，得 p2所以 B(5, 2) 设直线 AB 的解析式为 ykxb，代入 A(2, 5)和 B(5, 2)，得 25, 52. kb kb 解得 1, 7. k b 所以直线 AB 的表达式为 yx7 （2）如图 1，由 A(2, 5)、B(5, 2)，可知 A、B 两点间的水平距离、垂直距离都是 3， 直线 AB 与坐标轴的夹角为 45 因为 CDAB，CD/AB，所以 C、D 两点间的水平距离、垂直距离也都是 3 所以 C(0,3)、D(3, 0) （3）设抛物线的解析式为 yax2bxc，代入 A(2, 5)、C(0,3)、D(3, 0)，得 425, 3, 930. abc c abc 解得 1, 2, 3. a b c 所以物线的解析式为 yx22x3 第 10 题图 1 第 10 题图 2 第 10 题图 3 如图 2，延长 CE 交 x 轴于 F 由 B(5, 2)，C(0,3)、可知 B、C 两点间的水平距离、垂直距离都是 5，直线 BC 与坐 标轴的夹角也为 45设 BC 与 x 轴交于点 G 因此BGDFDC135 当DCEBDO 时，BGDFDC 所以 GBDF GDDC 因此 2 2 63 2 DF 解得 DF2 如图 3，过点 E 作 EHx 轴，垂足为 H设点 E 的坐标为(x, x22x3) 由 EHCO FHFO ，可得 2 (23)3 55 xx x 解得 13 5 x 所以点 E 的坐标为 1336 (,) 525 【解法二】如图 4，延长 CE 交 x 轴于 F，过点 C 作 BD 的平行线交 x 轴于 M 由 1 tantan 4 OMCBDO，OC3，可得 OM12 当BDOFMCDCE 时，FDCFCM 因此 FDFC FCFM ，即 2 FCFD FM 设 FDm，那么 32(3m)2m(m15)解得 FDm2 【解法三】如图 5，FDCCGM 所以 DFGC DCGM 因此 3 2 93 2 DF 解得 FD2 第 10 题图 4 第 10 题图 5 【解法四】如图 6，过 F 作 CD 的垂线与 CD 的延长线交于点 N，那么DFN 是等腰直 角三角形 设 NFNDm，由 1 tan 4 NCF，可得 1 43 2 m m 解得2m 所以 DF2 第 10 题图 6 9 （2014 年上海市浦东新区中考模拟第 24 题） 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 1 4 yxbxc与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 右侧） ，与 y 轴交于点 C(0,3)，且 OA2OC （1）求这条抛物线的表达式及顶点 M 的坐标； （2）求 tanMAC 的值； （3）如果点 D 在这条抛物线的对称轴上，且CAD45，求点 D 的坐标 9 （1）如图 1，由 C(0,3)，OA2OC，得 OC3，OA6所以 A(6, 0) 将 A (6, 0)、C(0,3)代入 2 1 4 yxbxc，得 960, 3. bc c 解得 b1，c3 所以抛物线的解析式为 22 11 3(2)4 44 yxxx 顶点 M 的坐标为(2,4) 第 9 题图 1 第 9 题图 2 （2）由 A (6, 0)、M (2,4)，得 A、M 两点间的水平距离、垂直距离都为 4 所以直线 AM 与坐标轴的夹角为 45 如图 2，设直线 AM 与 y 轴交于点 N，那么 ONOA6 作 CHAM 于 H，作 HGy 轴于 G， 那么CHN、NGH 都是等腰直角三角形 由 ON6，OC3，得 CN3因此 NG1.5，GO4.5 所以 tanMAC 1.51 4.53 CHNHNG HAHAGO （3）如图 3，设抛物线的对称轴直线 x2 与 x 轴的交点为 E 当点 D 在 AC 上方时，因为CADNAO45， 所以DAECAN 在 RtADE 中，AE4，tanDAE 1 3 所以 DE 4 3 此时点 D 的坐标为 4 (2, ) 3 当点 D在 AC 下方时， 因为CADCAD45， 所以DAD90因此ADDDAE 在 RtADE 中，AE4，tanADE 1 3 所以 DE12此时点 D的坐标为(2,12) 第 9 题图 3 10 （2014 年上海市闵行区中考模拟第 25 题） 如图 1，ABC 中，AI、BI 分别平分BAC、ABC，CE 是ABC 的外角ACB 的平 分线，交 BI 的延长线于 E，联结 CI （1） 设BAC2 如果用表示BIC 和E， 那么BIC_， E_； （2）如果 AB1，且ABC 与ICE 相似时，求线段 AC 的长； （3）如图 2，延长 AI 交 EC 的延长线于 F，如果30，sinF 3 5 ，设 BCm， 试用 m 的代数式表示 BE 图 1 图 2 10 （1）如图 1，BIC 0 11 180() 22 ABCACB 00 1 180(180) 2 BAC 0 90 如图 2，ACEE ， 如图 3，ACD222 ，所以得E 第 10 题图 1 第 10 题图 2 第 10 题图 3 （2）由于 CI 和 CE 分别是ACB 及其外角的平分线，所以ICE90 如果ABC 与ICE 相似，那么ABC 是直角三角形，有三种情况： 如图 4， 如果BAC90， 那么45， 此时ICE 与ABC 是等腰直角三角形 所以 ACAB1 如图 5，如果ABC90，那么BCAE 在 RtABC 中，390，所以30因此33ACAB 如图 6，如果ACB90，那么ABCE 同样的，