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平面向量的基本定理,成都市树人学校,一、问题情境,火箭在飞行过程中的某一时刻速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。在利用平行四边形法则对速度进行分解的过程中，我们看到一个速度可以分解为两个不共线方向的速度之和。,那么平面内的任一向量否可以用两个不共线的向量来表示呢？,例:设是同一平面内的两个不共线的向量,是这一平面内的任一向量,问能否用来表示?,则有且只有一对实数,使得,数学理论,在平面内任取一点o,过点C作平行于OB的直线,交直线OA于M,过点C作平行于OA的直线,交直线OB于N,因为,三、数学理论,平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使,把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,平面向量的基本定理的几点说明：,1、作为基底的向量是不共线的。凡共线的两个向量都不能作为基底。,2、平面内的任意一个向量（包括0）都可以被基底唯一的表示出来。,3、基底不能含有0。,例1：判断下列说法是否正确。1、一个平面内有且只有一对不共线向量可作为该平面所有向量的基底。,2、一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面所有向量的基底。,3、零向量不可为基底中的向量。,三、数学理论,一个平面向量用一组基底表示成的形式，我们称它为向量的分解。当相互垂直时，就称为向量的正交分解。,四、数学应用,A,D,C,B,M,分析:利用关系式,例1如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于M，若，试用基底表示,分析:利用关系式,解:,四、数学应用,例2如图在三角形ABC中，D、E、F分别为边上的中点，且。（1）试用基底表示（2）证明：,分析：（1）,（2）将，用基底统一表示出来，加起来验证是否为0即可。,显然,四、数学应用,例3如图在三角形ABC中，AD=AB，CF=FD，若，试用基底表示。,分析：在中,代入得：,方法小结：将内部的向量向外部的基底转化，寻求含有基底的三角形。,四、数学应用,例4如图在平行四边形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，且，试用基底，表示。,分析：,四、数学应用,例4如图在平行四边形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，且，试用基底，表示。,分析：所求向量是不共线的两个向量，所以可以表示平面内的任何向量包括即：,本方法再
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