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29.04.2020,1.3.2球的表面积与体积公式的推导(了解),9.11球的体积和表面积,高等于底面半径的旋转体体积对比,一、球的体积公式的推导,学习球的知识要注意和圆的有关知识结合起来，所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法,我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是长是R、宽是R的矩形.,一、球的体积公式的推导,那么圆的面积就近似等于R2.,当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式,当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式求值的步骤是：,即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积,分割,求近似和,化为准确和,一、球的体积公式的推导,已知球的半径为R,求球的体积.,一、球的体积公式的推导,解：如图，将此球的上半球自下而上n等分，,则各截面圆的半径为：,已知球的半径为R,求球的体积.,一、球的体积公式的推导,解：如图，将此球的上半球自下而上n等分，,则各截面圆的半径为：,各部分可近似的看做一个圆柱，各部分的面积为：,已知球的半径为R,求球的体积.,一、球的体积公式的推导,解：如图，将此球的上半球自下而上n等分，,各部分可近似的看做一个圆柱,各部分的面积为：,已知球的半径为R,求球的体积.,一、球的体积公式的推导,解：如图，将此球的上半球自下而上n等分，,这种解题的思想，称为极限思想.,R,R,一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等。,结论:,(2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.,(1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和等于球的表面积.,球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?,下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式思路如下：,二、球的表面积公式的推导,二、球的表面积公式的推导,第一步：分割,球面被分割成n个网格,表面积分别为：,则球的表面积：,则球的体积为：,二、球的表面积公式的推导,第二步：求近似和,由第一步得：,第三步：化为准确和,如果网格分的越细,则:“
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